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1 La circonferenza Copyright c 008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. L equazione della circonferenza La circonferenza come luogo geometrico Questioni da affrontare Casi particolari Il cerchio di Apollonio Per punti non allineati Per punti allineati Intersezioni con una retta Rette tangenti

2 L equazione della circonferenza La circonferenza come luogo geometrico In matematica, ed in particolare in geometria, un luogo geometrico, o, più semplicemente, un luogo, è l insieme di tutti e soli i punti del piano o dello spazio che hanno in comune una determinata proprietà. La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fissato C detto centro della circonferenza. Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Questioni da affrontare Premesso che è sempre possibile disegnare una circonferenza con il compasso noto il centro ed il raggio della circonferenza, vogliamo affrontare i due seguenti problemi complementari:. trovare l equazione della circonferenza di centro e raggio noti cioè noto il grafico della circonferenza vogliamo trovare l equazione corrispondente. disegnare la circonferenza di equazione data: x + y + ax + by + c = 0 ovvero determinare le coordinate del centro C(α,β) ed il raggio r. L equazione della circonferenza La circonferenza è il luogo dei punti P(x,y) del piano equidistanti da un punto fissato C(α,β) detto centro della circonferenza. (x α) + (y β) = r x + y αx βy + α + β r = 0 L equazione della circonferenza Dunque noti il centro della circonferenza C(α,β) e il raggio r calcolo l equazione della circonferenza: x + y αx βy + α + β r = 0

3 L equazione della circonferenza Viceversa nota l equazione della circonferenza per confronto con l equazione x + y + ax + by + c = 0 x + y αx βy + α + β r = 0 calcolo le coordinate del centro C(α,β) e il raggio r: α = a β = b a + b r = 4c Osservazioni: a + b 4c > 0 circonferenza reale a + b 4c = 0 circonferenza che degenera in un punto a + b 4c < 0 circonferenza immaginaria Casi particolari: il centro coincide con l origine degli assi x + y αx βy + α + β r = 0 C(α,β) = C(0,0) x + y r = 0 Casi particolari: il raggio è nullo La circonferenza si riduce ad un punto! x + y αx βy + α + β r = 0 r = 0 x + y αx βy + α + β = 0 Viceversa ogni punto può essere descritto dall equazione di una circonferenza. Esempi: x + y = 0 C(0,0) x + y x y + = 0 C(,) x + y 6x + 4y + = 0 C(, )

4 Casi particolari: a = 0 la circonferenza ha il centro sull asse y. x + y + by + c = 0 α = a = 0 Casi particolari: b = 0 x + y + ax + c = 0 β = b = 0 la circonferenza ha il centro sull asse x. Casi particolari: a = b = 0 x + y + c = 0 = C(0,0) il centro della circonferenza coincide con l origine degli assi. Casi particolari: c = 0 x + y a + b + ax + by = 0 r = La circonferenza è sempre reale e passa per l origine degli assi. Casi particolari: a = c = 0 x + y + by = 0 = C(0, b ) r = b la circonferenza è tangente all asse x e ha il centro sull asse y Esempio: x + y y = 0 C(,0) r = 4

5 Casi particolari: b = c = 0 x + y + ax = 0 = C( a,0) r = a la circonferenza è tangente all asse y e ha il centro sull asse x Esempio: x + y x = 0 C(,0) r = Ricapitoliamo... Ricapitoliamo con delle animazioni! La circonferenza come luogo geometrico Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Ricapitoliamo... Ricapitoliamo con delle animazioni! 5

6 Per punti non allineati passa sempre una circonferenza x + y + ax + by + c = 0 A(, ),B(, ),C(, ) x + y x y = 0 Per punti non allineati passa sempre una circonferenza 4 x + y + ax + by + c = 0 A(0, 0),B(, ),C(, 0)

7 E per punti allineati? 4 x + y + ax + by + c = 0 A(, ),B(0, 0),C(, ) Intersezione della retta per l origine con una circonferenza { x + y x y + = 0 y = mx Intersezione di una retta con una circonferenza { x + y + ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 Rette tangenti ad una circonferenza { x + y + ax + by + c = 0 y y 0 = m(x x 0 ) 7

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