Trasformazioni del piano isometrie

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1 Trasformazioni del piano Sia E il piano euclideo. Trasformazione del piano in sé: è una funzione T da E ad E con buone proprietà di continuità, (la parola continuità qui ha un significato tecnico che non trattiamo), che sia dal punto di vista insiemistico, una corrispondenza biunivoca. A seconda della geometria cui siamo interessati, ci concentriamo su trasformazioni che preservano alcune proprietà. Si noti che essendo una funzione da E in E può succedere (ma non sempre succede) che esista uno o più punti p tali che T(p)=p, tali punti sono detti punti fissi, o uniti, della trasformazione. Se X è un sottoinsieme di E, ad esempio una linea o un poligono, può succedere che T(X) =X, allora si dice che X è invariante per T. Si noti che T(X)=X non implica che ogni punto di X è fisso, ma solo che ogni punto di X viene trasformato in un (eventualmente altro) punto di X. Vedremo esempi di questi casi. Applicando consecutivamente due trasformazioni prima T e poi S, ovvero componendo si ottiene una nuova trasformazione, indicata con S T, poichè si mantiene la proprietà di essere corrispondenza biunivoca. Attenzione: in generale S T non è uguale a T S. La trasformazione identità, col simbolo I è quella che manda ogni punto in se stesso, ovvero lascia fissi tutti i punti del piano, è un elemento neutro per la composizione. Data una trasformazione T, essendo essa una corrispondenza biunivoca, si può sempre costruire una trasformazione S che sia la sua inversa insiemistica, non necessariamente però S ha le stesse buone proprietà di T!! isometrie Isometria del piano: è una corrispondenza biunivoca T del piano E in sétrasformazione- con la proprietà di lasciare immutate le distanze, ovvero dati comunque due punti A e B di E indicata con d la distanza d(a,b)= d(t(a),t(b)) in particolare dati 3punti A,B,C, questi definiscono un triangolo, l isometria porta i tre punti in T(A),T(B), T(C), mantenendo le distanze invariate, dunque il triangolo ABC si trasforma nel triangolo T(A)T(B)T(C), che per il terzo criterio, è equivalente a ABC. Si deduce che T trasforma rette in rette e che anche gli angoli restano invariati! (mantenendo le distanze, T trasforma circonferenze in circonferenze, di ugual raggio) Quindi

2 Prop: una isometria trasforma angoli in angoli di pari ampiezza ( conserva gli angoli ). Inoltre: Prop: L inversa (insiemistica) di una isometria è ancora una isometria. La precedente proprietà ci permette di dimostrare, verificando gli assiomi di gruppo, che: Prop: l insieme delle isometrie del piano, con l operazione di composizione, ha la struttura di gruppo. Indichiamo tale gruppo col simbolo Iso(E). Nota: verificare che la composizione di trasformazioni è associativa, e osservare che il gruppo ottenuto è non commutativo. Esempi di isometrie piane: traslazioni rotazioni simmetrie assiali ortogonale (o riflessione) simmetrie centrali: sono così chiamate le rotazioni di 180 gradi attorno ad un punto glissoriflessioni (dette anche antitraslazioni, o glissosimmetrie, o simmetrie con scorrimento): sono per definizione la composizione di una traslazione con una riflessione assiale. Una volta definito cosa significa scegliere una orientazione del piano, traslazioni e rotazioni sono dette isometrie dirette, perché mantengo l orientazione, mentre simmetrie assiali e glissoriflessioni sono dette isometrie inverse, perché cambiano l orientazione del piano. Intuitivamente, le prime corrispondono a movimenti interni al piano, le seconde richiedono dei ribaltamenti ovvero richiedono di uscire dal piano e muoversi attraverso lo spazio, per essere applicate. Si noti che applicando due volte una riflessione R attorno ad un asse r si ottiene l identità, ovvero R 2 =I.

3 La composizione di isometrie dirette è ancora una isometria diretta, l identità è una isometria diretta, dunque le isometrie dirette costituiscono un sottogruppo di Iso(E). La composizione di due isometrie inverse dà una isometria diretta, composizione di una isometria diretta e una inversa dà una isometria inversa. Con la composizione di funzioni, questi sottoinsiemi danno origine, con alcune cautele, a sottogruppi del gruppo delle isometrie. Proprietà: dati due punti distinti A e B del piano E, le uniche isometrie che lasciano fissi A e B sono l identità e la simmetria rispetto alla retta AB. Esercizio: dimostrare Teorema: a) Ogni traslazione si può ottenere come composizione di due simmetrie ortogonali. b) Ogni rotazione R di un angolo attorno ad un punto fisso O si può ottenere come composizione di due simmetrie ortogonali. Dunque: ogni isometria del piano euclideo E si può ottenere come composizione di simmetrie ortogonali. esercizio: fare degli esperimenti! 1) Trasl(E)={T v traslazione relativa la vettore v, v qualsiasi} è un gruppo, di cardinalità infinita, del continuo 2) fissato un vettore v Trasl(v)={kT v traslazione relativa la vettore kv, ove k è un qualsiasi numero reale} è un gruppo di cardinalità infinita, del continuo. 3) fissato un vettore v Trasl(v) Z ={nt v traslazione relativa la vettore nv, ove n è un qualsiasi intero} è un gruppo di cardinalità infinita numerabile (è un gruppo discreto). 4) Fissato un punto O Rot(O)={R rotazione di centro O e angolo, ove è un qualsiasi numero reale} è un gruppo di cardinalità infinita, del continuo. 5) Fissato un punto O e un angolo

4 Rot(O) Z ={R n rotazione di centro O e angolo a n, ove n è un qualsiasi intero} è un gruppo di cardinalità infinita numerabile (è un gruppo discreto), se non ha rapporto razionale con è invece di cardinalità finita, se 360/ è un numero razionale. 6) M={T, ove T è una traslazione oppure una rotazione, o una composizione di queste} È un gruppo di isometrie, il gruppo delle isometrie dirette, detto anche gruppo dei movimenti (interni) di E. Nota: se in un sottogruppo di Iso (E) c è una traslazione, allora ci sono tutti i multipli di questa traslazione (cioè la traslazione composta con se stessa un numero n di volte, per ogni n),dunque un sottogruppo di Iso(E), se è finito, non può contenere traslazioni, ma solo rotazioni e riflessioni. Un sottogruppo finito di Iso(E) si dice gruppo di rosoni, perché si può pensare come il gruppo che lascia fissa una certa figura detta rosone, con richiamo alle decorazioni parietali arabe. L orbita di un punto P rispetto a un gruppo G di isometrie è l insieme dei punti che sono immagine di qualche trasformazione appartenente a G: O G (P)={ t(p) tale che T è elemento di G} Se tale orbita, per il generico punto P è una curva continua, allora G si dice gruppo continuo, se è una successione (anche infinita) di punti, allora G è detto discreto. Teorema (del punto fisso): Un gruppo discreto di isometrie piane è finito se e solo se ammette almeno un punto fisso, vale a dire un punto che viene trasformato in se stesso da tutte le isometrie del gruppo. Come abbiamo visto, un sottogruppo finito di isometrie del piano è un gruppo di rosoni, ed è necessariamente discreto. Se ci soffermiamo sui sottogruppi discreti ma infiniti, di isometrie de piano, questi sono di due tipi: i gruppi dei fregi e i gruppi di mosaici, a seconda del risultato decorativo che si ottiene muovendo con essi una figura data. I gruppi di fregi contengono come sottogruppi i gruppi di tipo (3): generati da una traslazione per un vettore fissato, e dunque considerando essa e tutti i suoi multipli interi: una figura viene ripetuta uguale a se stessa lungo una striscia di rette parallele al vettore che genera il gruppo di traslazioni (appoggiate ai due punti più distanti della figura): si disegna un vero e proprio fregio. Dunque, vice versa: un fregio è

5 una figura piana il cui gruppo di simmetria (l'insieme delle isometrie che mutano la figura in se stessa) contiene delle traslazioni, purchè traslazioni in un'unica direzione e tutte multiple di una traslazione fissata). Una tale figura è necessariamente illimitata. I gruppi di mosaici (o gruppi di carte da parati, o gruppi cristallografici piani, o tassellazioni regolari del piano) sono generati da due traslazioni indipendenti, si estendono dunque in due direzioni non parallele a riempire ordinatamente tutto il piano. Sia in un fregio che in un mosaico è presente un modulo, una figura che si ripete indefinitamente (in una oppure in due direzioni), che può possedere, o meno, una propria simmetria interna. Per un mosaico, il modulo è definito dal parallelogramma individuato dai due vettori che generano il gruppo, all interno di questo parallelogramma, può esserci un disegno minimo, ovvero la più piccola figura ripetuta tramite altre isometrie dentro il parallelogramma stesso. Questi gruppi discreti vengono dunque classificati tenendo conto della compatibilità fra la simmetria del modulo e la simmetria globale dettata dalle traslazioni. Ad esempio, un gruppo di fregi può contenere oltre alla traslazione base, un gruppo di rotazioni del modulo del fregio, oppure una riflessione rispetto ad un asse centrale parallelo alla direzione di traslazione, oppure una riflessione rispetto ad un asse ortogonale alla direzione di traslazione, o entrambe queste riflessioni. Si può dimostrare che: teorema: a) esistono solo 7 tipi diversi di gruppi di fregi. b) esistono solo 17 tipi diversi di gruppi di mosaici (o tassellazioni regolari). Nota: ovviamente, se si vuole ricoprire il paino in maniera non regolare, si può farlo infiniti modi diversi!

6 ROSONI FREGI

7 MOSAICI Simmetrie Come già anticipato quando abbiamo parlato dei moduli dei gruppi discreti infiniti di isometrie del piano, una figura piana (o un sottoinsieme del piano) F si dice simmetrica se esiste una isometria T del piano non banale, ovvero diversa dall identità, che lascia F invariata, ovvero tale che T(F)=F. Data F, il sottoinsieme del gruppo Iso (E) di tutte le isometrie che fissano F, con l aggiunta dell identità è anche esso un gruppo, infatti la composizione di isometrie che fissano F fissa ancora F (verificare!). Tale gruppo è detto gruppo delle simmetrie di F, lo indichiamo con Sym (F). Si noti che in generale una figura qualsiasi F ha Sym(F)={I}, solo particolari figure hanno una simmetria non banale. Vice versa, si può dimostrare che dato un sottogruppo G di Iso(E) esiste una figura F tale che G è il gruppo di simmetria di F, ovvero G=Sym (F), per qualche F. I poligoni regolari di n lati hanno un gruppo di simmetrie finito, detto gruppo diedrale e indicato con D n. Tale gruppo ha 2n elementi, ed è generato dalla rotazione attorno al centro di un angolo pari alla n-esima parte dell angolo giro, e da una riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria. Rotazione di angolo 360/n:

8 Riflessione attorno ad un asse di simmetria: Esercizio: studiare D 3 e D 4, gruppi di simmetrie del triangolo equilatero e del quadrato rispettivamente. Trasformazioni non isometriche Segnaliamo alcune interessanti trasformazioni che NON sono isometrie: affinità: trasformazioni del piano che trasformano rette in rette, e coppie di rette parallele in coppie di rette parallele, ma in generale, non preservano distanze ed angoli, quindi un quadrato può trasformarsi in un parallelogramma. omotetia (di centro un punto O) e rapporto k (non nullo): è una affinità tale che d(o,t(a)) = kd(o,a) (nota: O è punto fisso di T, per k>1sono dilatazioni, per k=1 è l identità, per 0<k<1 sono contrazioni, per k=-1si trova la simmetria di centro O, ovvero la rotazione di 180 gradi attorno ad O, per k<0 si dice omotetia inversa )

9 Il teorema di Talete spiega perché le omotetie mantengono invariate le proporzioni delle figure. Nella figura: A è il centro dell omotetia e AB/AB il rapporto, BCD e B C D sono figure simili. similitudine (affinità che è composizione di omotetia e isometria) simmetria non ortogonale attorno alla retta r e parallelamente al vettore d, S r,d è una affinità di ordine 2, ovvero S r,d 2 =I, che trasforma rette parallele in rette parallele, conserva dunque le aree e i rapporti fra segmenti paralleli, ma non le lunghezze dei segmenti né gli angoli. Trasformazioni dello spazio Le definizioni e la teoria proposta e per le trasformazioni del piano possono riproporsi anche per lo spazio a tre o più dimensioni, la combinatorica (la casistica)

10 diventa più ricca. Si scopre, ad esempio che anche i gruppi cristallografici dello spazio sono in numero finito, questo implica ad esempio che in natura, i cristalli chimici hanno solo un numero finito di possibilità di forme diverse!