SINTESI DELLE ATTIVITA DI LABORATORIO PROPOSTE DA E.Marchetti L.Rossi Costa Laboratorio Didattico effediesse

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1 Convegno IRRE Ottobre 2005 MATEMATICA e SCUOLA Facciamo il punto SINTESI DELLE ATTIVITA DI LABORATORIO PROPOSTE DA E.Marchetti L.Rossi Costa Laboratorio Didattico Politecnico di Milano,Dipartimento di Matematica, 13 Ottobre

2 LAVORO INTERDISCIPLINARE Scienze naturali Storia Storia dell Arte e Architettura Geografia e Ambiente Musica Applicazioni tecniche Geometria e Algebra Relazioni di viaggi e collezioni di materiale esemplificativo 2

3 Mondo animale Mondo vegetale Minerali e fossili SCIENZE NATURALI 3

4 STORIA Inquadramento storico di forme primitive Forme ricorrenti in varie civiltà Legami tra civiltà attraverso le forme (?) 4

5 ALCUNI DISEGNI STORICI 5

6 ARTE e ARCHITETTURA Inquadramento di forme artistiche in Storia dell Arte Inquadramento storico di edifici nella Storia dell Architettura 6

7 GEOGRAFIA e AMBIENTE Simmetrie in campo urbanistico: piante di città Simmetrie in monumenti ed edifici Collocazione geografica di monumenti Finalità di un monumento nel contesto sociale Legami con le varie civiltà locali 7

8 MUSICA Esempi in musica classica e moderna: J.S.Bach (canoni e fughe, canone inverso) Dodecafonia ( rottura di simmetria!) I.Xenakis (musica e padiglione Philips) 8

9 GEOMETRIA E ALGEBRA Analisi delle simmetrie piane dal punto di vista della Matematica Assi e/o centro di simmetria Piano Cartesiano come ambiente in cui inserire le forme Eventuali strumenti algebrici per una sintetica formalizzazione di alcune forme 9

10 COLLEZIONE di FORME PIANE Proposta di lavoro: osservare eventuali simmetrie separare forme dotate di simmetrie da quelle che non hanno simmetria alcuna nell insieme delle forme simmetriche cercare quelle tra loro equivalenti : uno o più assi di simmetria, centro di simmetria, simmetrie traslazionali creare sottoinsiemi da analizzare più a fondo 10

11 ALCUNE FORME 11

12 ESERCITAZIONE Anche nella vita comune si incontrano tanti motivi con simmetrie traslazionali o con rosoni ciclici e diedrali. La prima esercitazione può essere basata sulla ricerca da parte degli studenti di una collezione di figure da studiare e catalogare in base alla simmetria presentata 12

13 LE TRASFORMAZIONI DEL PIANO Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza che associa punti del piano a punti dello stesso piano. Il punto P associato ad un dato punto P nella trasformazione f è detto corrispondente o immagine o trasformato di P. In simboli: P P' f 13

14 ISOMETRIE del PIANO Le trasformazioni che conservano la distanza si chiamano isometria: scelti due punti A e B del piano e detti A e B i corrispondenti, i segmenti A B e AB hanno la stessa lunghezza. L identità, le riflessioni (centrali e assiali), la rotazione, la traslazione, la glissoriflessione sono trasformazioni isometriche. Si possono formalizzare algebricamente le trasformazioni utilizzando opportuni operatori matriciali che agiscono sui punti del piano cartesiano, individuati da vettori colonna. 14

15 FORMALIZZAZIONE ALGEBRICA Se P(x,y) e P (x,y ) sono due punti del piano cartesiano, che si corrispondono in una delle trasformazioni prima considerate, allora il legame fra i vettori v, v, relativi ai punti, può essere espresso con la seguente notazione matriciale: v =Av+h ove A, matrice 2x2, è detta matrice di trasformazione e h, vettore a due componenti, è detto vettore di traslazione. 15

16 FORME TRASLAZIONALI 16

17 FIGURE CON CENTRO DI SIMMETRIA 17

18 CENTRO E ASSI DI SIMMETRIA la figura presenta almeno due assi di simmetria e quindi anche un centro 18

19 IMMERSIONE IN UN RIFERIMENTO CARTESIANO un solo asse di simmetria (orizzontale, verticale, obliquo) 19

20 FIGURE CON CENTRO DI SIMMETRIA La forma presenta un centro di simmetria 20

21 SIMMETRIE TRASLAZIONALI un motivo base trasla in una direzione e forma una striscia illimitata (fregio) 21

22 I FREGI Durante la tras lazione di un motivo si formano delle greche o fregi; una interes sante attività sarà quella di catalogare tali fregi in base alla tipologia. Le distinte tipologie di fregi sono solo sette: in ciascun caso la striscia periodica si può generare per traslazioni di un motivo base ottenuto con adeguate operazioni sull element o base. 22

23 Le sette tipologie di fregi 23

24 NOTAZIONI : p _ Abbiamo contraddistinto le sette tipologie con la tradizionale not azione cr ist allogr afica: - il primo simbolo è sempre una p ; - il secondo può essere 1 o m per indicare l assenza (1) o la presenza (m) di una rifles sione ortogonale alla traslazione; - il terzo simbolo può essere m, g, 1 per indicare la presenza di una rifless ione nella direzione della traslazione (m), o di una glissoriflessione (g), o di nessuna delle due (1); - il quarto simbolo può essere 1 o 2 per indicare l assenza (1) o la presenza (2) di una rotazione di π. 24

25 p111: E: p B: p F: p p p I l motivo base B coincide con l elemento base E, pertanto si utilizza la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h =

26 p p p p p1g1: E: p B: b F: b b b I l motivo base B si genera per glissoriflessione dell elemento E nella direzione dell asse delle ascisse, pertanto si utilizza la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 a, h =

27 p p p p p112: E: p B: F: d d d d I l motivo base si genera dall elemento E per rotazione di ampiezza π attorno ad un centro. Supponendo che tale centro coincida con il punto di origine O del sistema di riferimento, si utilizza la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h =

28 ? pm11: E: p B: p q F: p q p q p q I l motivo base B si genera per riflessione di E rispetto ad un asse verticale alla direzione di traslazione. Supponendo che l asse di riflessione coincida con l asse delle ordinate, si utilizza la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h =

29 p1m1: E: p B: p F: p p p b b b b I l motivo base B si genera per riflessione di E rispetto ad un asse orizzontale. Supponendo che l asse di riflessione coincida con l asse delle ascisse, si utilizza la (*) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h =

30 pmg2: E: p B: F: I l motivo base B si genera per riflessione di E rispetto ad un asse verticale alla direzione di traslazione e per glissoriflessione rispetto ad un asse orizzontale (oppure per rotazione di attorno ad un centro). Supponendo che l asse verticale coincida con l asse delle ordinate e quello orizzontale con quello delle ascisse, si utilizza ad esempio due volte la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h : pq = 0 0 bd pq A = bd pq bd pq bd 1 0, = a 0 1 h 0 30

31 p q p q p q p pmm2: E: p B: F: b d b d b d b I l motivo base B si genera prima per riflessione di E rispetto ad un asse verticale alla direzione di traslazione, poi per riflessione rispetto ad un asse orizzontale (oppure per rotazione di attorno ad un centro). Supponendo che l asse verticale coincida con l asse delle ordinate e quello orizzontale con quello delle ascisse, si utilizza ad esempio due volte la (* ) nel modo seguente: A = 1 0 0, 1 h = 0 0 A = 1 0 0, 1 h =

32 ROSONE CENTRALE ABSIDE DUOMO 32

33 LETTURA MATEMATICA DEI ROSONI Studieremo forme tipiche delle decorazioni circolari delle vetrate, forme dette anche rosoni Daremo una classificazione di tali forme in base alla loro struttura e alla presenza o meno di assi di simmetria Considereremo: - il Piano Cartesiano come ambiente in cui inserire le forme - l Algebra Lineare come strumento per una loro sintetica formalizzazione 33

34 STRUTTURA DI UN ROSONE Dall analisi della forma si possono distinguere due tipologie di rosoni: Rosoni ciclici: non presentano assi di simmetria e sono ottenibili soltanto per rotazione di un motivo o elemento base attorno al centro di simmetria. Rosoni diedrali: presentano uno o più assi di simmetria (la cui intersezione coincide con il centro), e sono ottenibili anche per riflessione di un elemento base rispetto agli assi di simmetria. 34

35 ROSONI CICLICI 35

36 Analisi di un ROSONE CICLICO Evidenziare l elemento (= motivo) base b contare il numero n di volte in cui b appare nel rosone calcolare l ampiezza dell angolo di rotazione α = 360 /n con (n-1) rotazioni, di ampiezza, dell elemento base b si ricostruisce il rosone. Tale rosone è indicato usualmente con C n 36

37 ROSONI DIEDRALI Le figure presentano almeno due assi di simmetria; é evidente anche il centro di simmetria. 37

38 Analisi di un ROSONE DIEDRALE Contare il numero n di assi di simmetria evidenziare l elemento base b per riflessione di b rispetto ad un asse di simmetria adiacente, si ottiene il motivo base m (2n-1) riflessioni successive di b ricostruiscono il rosone In alternativa (n-1) rotazioni del motivo base m ricostruiscono il rosone. Tale rosone è indicato usualmente con D n 38

39 FORMALIZZAZIONE NEL CASO DEI ROSONI Conviene collocare il rosone in un riferimento cartesiano con il centro coincidente con l origine O. Uno degli eventuali assi di simmetria si farà coincidere con uno degli assi cartesiani. Dal momento che il rosone completo si può originare da una sua parte per rotazione attorno al centro, tale rotazione potrà essere realizzata con la trasformazione lineare v =Av essendo A un adeguata matrice di rotazione. 39

40 LE MATRICI LEGATE AI ROSONI C n Il rosone ciclico si ricostruisce con (n-1) rotazioni del motivo base b; l angolo relativo a ogni singola rotazione ha ampiezza α = 2π / n. La relativa matrice A di rotazione è la seguente: A = cosα sin α sin α cosα 40

41 LE MATRICI LEGATE AI ROSONI D n Il rosone diedrale si ricostruisce con (2n-1) riflessioni dell elemento base b (con la prima riflessione si ritrova il motivo base m). La relativa matrice A k di riflessione è la seguente: A k α π cos2( α+ k ) = n π sin2( α+ k ) n π sin2( α+ k ) n π cos2( α+ k ) n,k = 0,1,...,(n 1) ove rappresenta l ampiezza dell angolo che l asse di simmetria (rispetto al quale si effettua la prima riflessione) forma con il semiasse positivo delle ascisse. 41

42 R icostruzione di alcuni R OSONI 42

43 ROSONE CICLICO C 2 Il motivo base b ruota una volte attorno al centro O di un angolo α = π. Identificato b con adeguati vettori v, i vettori v 1 che identificano l altra parte si ottengono dalla relazione v 1 = A v, con? A =

44 ROSONE CICLICO C 3 Il motivo base b ruota due volte attorno al centro O di un angolo α = 2π / 3. Identificato b con adeguati vettori v 1, le altre due parti si ottengono applicando successivamente la matrice A sotto? indicata: v i+1 = A v (i=1,2) i A = , α = 1 2 2π 3 44

45 ROSONE CICLICO C 4 Il motivo base b ruota tre volte attorno al centro O di un angolo α = 2π / 4 = π / 2. Identificato b con adeguati vettori v 1, le altre tre parti si ottengono applicando successivamente la matrice A sotto? indicata: v i+1 = A v (i=1,2,3) i A = 0 1 π, α =

46 ? ROSONE DIEDRALE D 3 Il motivo base b si riflette rispetto ad un asse di simmetria (si crea così l elemento base m).cinque riflessioni successive di b ricostruiscono il rosone. Identificato b con adeguati vettori v 1, le altre cinque parti si ottengono applicando le matrici A k di riflessione v k+1 = A k v k con k=1,2,,5 (es. α = π / 6) A k = cos 2( α + k sin 2( α + k π ) 3 π ) 3 π sin 2( α + k ) 3 π cos 2( α + k ) 3 46

47 ? ROSONE DIEDRALE D 4 Il motivo base b si riflette rispetto ad un asse di simmetria (si crea così l elemento base m).sette riflessioni successive di b ricostruiscono il rosone. Identificato b con adeguati vettori v 1, le altre sette parti si ottengono applicando le matrici A k di riflessione v k+1 = A k v k con k=1,2,,7 (es. α = 0 ) A k = cos 2( α + k sin 2( α + k π ) 4 π ) 4 π sin 2( α + k ) 4 π cos 2( α + k ) 4 47

48 ROSONI DIEDRALI D 8 48

49 Luisa Rossi Costa Elena Marchetti Dipartimento di Matematica F.Brioschi Laboratorio di Form azione M atematica e di Sperim entazione Didattica =f (s) ate.polim i.it tel.: fax.: