LEZIONE 11. Domanda 1. Quale metodo applica il programma per inserire l oggetto scelto con i dati di inserimento scelti?

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1 LEZINE Nella preparazione delle dispense riguardanti la geometria piana e spaziale ho dovuto inserire dei disegni che illustrassero in qualche modo i concetti geometrici esposti nel testo. iò ha presentato un doppio ordine di problemi strettamente correlati fra loro. Un primo problema è stato quello di fare un disegno, comunque bidimensionale, che rappresentasse oggetti bidimensionali o tridimensionali. Il secondo problema è quello di fare in modo che il disegno bidimensionale potesse essere decodificato naturalmente dal lettore come oggetto bidimensionale o tridimensionale. Questi sono i due problemi standard che si devono affrontare nello studio della Geometria Descrittiva. Facciamo qualche commento sul primo problema. Tutti noi sappiamo che quando si utilizza un qualsiasi programma di disegno assistito AD si ha una tavolozza di primitive grafiche da utilizzare per comporre disegni più o meno complessi. Appaiono senz altro punti, segmenti, curve elementari, per esempio archi di circonferenza e, eventualmente, anche oggetti più elaborati. L utente sceglie l oggetto da inserire, decide dei punti di riferimento per l inserimento e il programma effettua l inserimento. Sorge naturale domandarsi Domanda. Quale metodo applica il programma per inserire l oggetto scelto con i dati di inserimento scelti? Passiamo ora a commentare il secondo problema. Esso è strettamente legato al problema della ricostruzione delle immagini, cioè capire come è fatto un oggetto tridimensionale a partire da una o più sue immagini, per esempio per fare una panoramica tridimensionale di un oggetto rappresentato da una o più immagini bidimensionali prese da vari punti di vista allo scopo di rendersi conto di sue proprietà. Domanda. Quante immagini bidimensionali e di quale tipo sono necessarie per ricostruire la forma di un oggetto tridimensionale? Per motivi di tempo, in questa seconda parte del corso, tenteremo di dare qualche risposta parziale alla Domanda limitandoci a fare qualche semplice osservazione sulla Domanda. Dal punto di vista delle tecniche di calcolo, attingeremo a piene mani da quanto illustrato nelle precedenti lezioni per trattare il problema della descrizione delle trasformazioni del piano e dello spazio. Tpeset b AMS-TEX

2 LEZINE Supponiamo di aver fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ı j nel piano affine e, quindi, di avere fissato una volta per tutte un identificazione del piano affine A con R. Iniziamo ad osservare che abbiamo già visto come rappresentare una primitiva grafica particolarmente importante, cioè il segmento e sappiamo, mantenendo fissa l origine, come ruotare, simmetrizzare, riscalare, deformare o proiettare figure. È chiaro, però, che non tutte le operazioni richieste dalla grafica sono riconducibili ad applicazioni lineari. Per esempio se vogliamo disegnare il rettangolo R di vertici A =,, B =,, =, 3, D =, 3 a partire dal segmento U unitario di estremi l origine ed il punto U =, 0 possiamo procedere come segue. Prendiamo U e lo ruotiamo di π/ radianti in senso antiorario ottenendo il segmento U di estremi ed il punto U = 0,. Riscaliamo il segmento U di un fattore ottenendo il segmento V di estremi ed il punto V = 0,. 3 Trasliamo parallelamente a se stesso di unità lungo il verso positivo dell asse delle ordinate il segmento U ottenendo il segmento V W di estremi V ed il punto W = 0,. 4 Trasliamo parallelamente a se stesso di un unità lungo il verso positivo dell asse delle ascisse il segmento U ottenendo il segmento U W di estremi U ed il punto W. Trasliamo il rettangolo ottenuto parallelamente a se stesso di un unità lungo il verso positivo dell asse sia delle ascisse che delle ordinate D R A B Figura... Applicazioni lineari da R n a R m. Abbiamo visto come gli elementi dello spazio affine A n ed il relativo insieme dei vettori applicati V n si possa identificare con R n una volta che sia stato fissato un sistema di riferimento. Per questo motivo gli elementi dt R n che, ricordiamo

3 LEZINE 3 sono per noi matrici colonna con n entrate, vengono spesso chiamati vettori anche se n > 3. Definizione... Un applicazione f: R n R m si dice lineare se: AL per ogni X, X R n si ha fx + X = fx + fx ; AL per ogni α R e X R n si ha fαx = αfx. sservazione... Sia f: R n R m un applicazione lineare. i Risulta f0 n, = f00 n, = 0f0 n, = 0 m,, f X = f X = fx = fx per ogni X R n. Più in generale un applicazione f: R n R m lineare se e solo se α,..., α h R e X,..., X h R n si ha fα X + + α h X h = α fx + + α h fx h. ii Per esercizio verificare che l applicazione nulla 0 R n,r m : R n R m, definita da X 0 m,, e l applicazione identità id R n: R n R n, definita da X X, sono lineari. Esempio..3. L applicazione f: R 3 R,, z 3 + z, + z è lineare. Infatti si ha che se α R,,, z R 3 risulta fα,, z = fα, α, αz = 3α + α αz, α α + αz = = α3 + z, α + z = α3 + z, + z = αf,, z. Inoltre, se,, z,,, z R 3, risulta f,, z +,, z = f +, +, z + z = = z + z, z + z = = 3 + z z, + z + + z = = 3 + z, + z z, + z = = f,, z + f,, z. L esempio fondamentale di applicazione lineare è il seguente.

4 4.. ISMETRIE E MATRII RTGNALI Esempio..4. Sia A R m,n fissata. L applicazione matriciale µ A : R n R m X AX è lineare. Infatti scelti α R, X, X, X R n risulta µ A αx = AαX = αax = αµ A X, µ A X + X = AX + X = AX + AX = µ A X + µ A X... Isometrie e matrici ortogonali. In questo e nei prossimi paragrafi esamineremo degli esempi notevoli di applicazioni lineari corrispondenti a particolari trasformazioni del piano e dello spazio in sé, ampliamente utilizzate in grafica computerizzata. A tale scopo supporremo fissato un sistema di riferimento in A n, n =, 3, quindi un identificazione di A n e di V n con R 3. Per questo parleremo della retta a + b = c o del piano a + b + cz = d e non della retta e del piano avente equazione a + b = c o a + b + cz = d. Esempio... Sia ϕ R e si consideri la matrice ortogonale speciale... cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ Abbiamo visto che tale matrice ha un doppio significato. Da una parte lega le coordinate, di un punto P del piano in un sistema di riferimento ı j a quelle, dello stesso punto in un altro sistema di riferimento ı j ruotato rispetto al precedente di un angolo ϕ. Dall altra essa lega le coordinate, di un punto P del piano a quelle, della sua immagine tramite la rotazione di un angolo ϕ dell intero piano intorno all origine. Il legame è dato, in entrambi i casi, dalla relazione... cos ϕ sin ϕ =. sin ϕ cos ϕ L applicazione inversa è la rotazione dell angolo ϕ, cioè è l applicazione avente come matrice la trasposta della Matrice... cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ attenzione alla posizione del meno!.

5 LEZINE Per illustrare quanto visto ruotiamo di π/3 radianti il rettangolo R di vertici A =,, B =,, =, 3, D =, 3 intorno all origine come illustrato in figura. ' D D' R' B' R A' π/3 A B Figura. La trasformazione cercata è 3 3 = Quindi il rettangolo R è trasformato nel rettangolo R di vertici A = = 3, 3 3, , B 3 =, 3 +,, D =,. Esempio..6. Secondo caso interessante è quello delle simmetrie ortogonali rispetto a rette r passanti per l origine. Per esempio possiamo considerare il caso in cui r sia l asse delle ascisse o delle ordinate: abbiamo rispettivamente..6. = 0 0, = 0 0 Sia ora r la retta di equazione cartesiana a + b = 0, ove a, b 0, 0. Possiamo utilizzare le nozioni a nostra conoscenza di geometria vettoriale per ottenere direttamente l espressione della simmetria ortogonale rispetto alla retta r..

6 6.. ISMETRIE E MATRII RTGNALI r P' H v P Figura.3 sservando la Figura.3, ci rendiamo conto che P = P +P P. Inoltre le proiezioni ortogonali di P e del suo simmetrico P su r coincidono: indicando con H tale punto comune risulta allora P P = P H. Si noti che P H è la proiezione ortogonale di P su una retta perpendicolare a r. Quindi, se v è un vettore non nullo perpendicolare ad r, ricordando quanto visto in una precedente lezione, otteniamo P = P P, v v v. Se P =, e P =,, si ha P = ı + j e P = ı + j. Poiché v = a ı +b j, segue P, v = a+b, v = a +b, sicché la simmetria ortogonale rispetto alla retta r in esame viene ad essere data dalla moltiplicazione per la matrice..6. a b a +b ab a +b ab a +b a b a +b hiaramente, ripetendo due volte la simmetria ortogonale rispetto ad una fissata retta, si ottiene l applicazione identica. Quindi la simmetria ortogonale rispetto alla retta r ha se stessa come inversa. Si noti che quindi esiste ϕ R tale che a b a + b + ab a + b = a b ab a = cos ϕ, + b a = sin ϕ, + b

7 sicché la Matrice..6. può essere scritta nella forma cos ϕ sin ϕ LEZINE sin ϕ cos ϕ che è ortogonale non speciale. Per illustrare quanto visto consideriamo il rettangolo R di vertici A =,, B =,, =, 3, D =, 3 e la retta + = 0. Il rettangolo R simmetrico a R rispetto a r è come in figura. D R D' A B ' R' A' B' r La trasformazione cercata è Figura.4 = 8 3 Quindi il rettangolo R è trasformato nel rettangolo R di vertici A =,, B =,, = 8,, D = 3,. Vedremo nella prossima lezione che per ottenere la simmetria rispetto ad r è anche possibile procedere ruotando r di un opportuno angolo ϕ in modo da farla coincidere con uno degli assi, effettuando la corretta simmetria ortogonale rispetto a tale asse utilizzando le Relazioni..6. e poi effettuando una rotazione di un angolo ϕ si veda la lezione seguente. Le applicazioni di rotazione e simmetria ortogonale descritte sopra sono anche dette isometrie: infatti una proprietà che le caratterizza completamente è che conservano le lunghezze dei segmenti cioè P Q = fp fq per ogni coppia di punti P e Q del piano.

8 8.3. ALTRI ESEMPI GEMETRII NTEVLI.3. Altri esempi geometrici notevoli. Esempio.3.. Esaminiamo delle applicazioni o matrici dette riscalamenti. Siano a, b R non nulli e si consideri l applicazione lineare data dalla moltiplicazione per la matrice a 0 0 b Supponiamo inizialmente che a, b > 0. Per studiare il significato di tale matrice osserviamo che i punti della forma cos t, sin t, t R cioè i punti giacenti sulla circonferenza unitaria vengono trasformati nei punti della forma a cos t, b sin t, t R cioè i punti giacenti sull ellisse E di semiassi a e b. Per esempio, se a = /3 e b =, E Figura. Si verifichi che anche la composizione di riscalamenti è ancora un riscalamento e che l inversa di un riscalamento è un riscalamento. onsideriamo ora il rettangolo R di vertici A =,, B =,, =, 3, D =, 3. Poiché 3 0 = il rettangolo R ottenuto da R con il riscalamento sopra indicato è come in figura.

9 LEZINE 9 D' ' R' D A' B' R A B Figura.6 Se, per esempio, a < 0 allora il riscalamento in esame può essere decomposto in un riscalamento con entrate positive seguito da una simmetria ortogonale rispetto all asse delle ordinate. vviamente l operazione di riscalamento non è un isometria. Esempio.3.. onsiderare ora le applicazioni o matrici dette distorsioni. Iniziamo a considerare distorsioni lungo l asse delle ascisse. Sia u R e si consideri l applicazione lineare data dalla moltiplicazione per la matrice u 0 Per studiarne il significato osserviamo che i punti cos t, sin t, t R che giacciono su una circonferenza, vengono trasformati nei punti cos t+u sin, sin t, t R che giacciono su un ellisse con assi di simmetria ruotati rispetto agli assi coordinati. Per esempio, se u = 3/, E Figura.

10 0.4. PRIEZINI PARALLELE Si verifichi che anche la composizione di distorsioni lungo l asse delle ascisse è ancora una distorsione lungo l asse delle ascisse e che l inversa di una distorsione lungo l asse delle ascisse è una distorsione lungo l asse delle ascisse. onsideriamo, come al solito, il rettangolo R di vertici A =,, B =,, =, 3, D =, = il rettangolo R ottenuto da R con il riscalamento sopra indicato è come in figura. D D' ' R R' A B A' B' Figura.8 vviamente anche l operazione di distorsione, così come il riscalamento, non è un isometria. Se, invece vogliamo considerare distorsioni lungo l asse delle ordinate dovremo scegliere v R e considerare una matrice della forma 0. v.4. Proiezioni parallele. In questo ultimo paragrafo vogliamo iniziare a descrivere delle altre applicazioni importanti nella grafica computerizzata, le proiezioni del piano su una retta e dello spazio su un piano. Fissiamo perciò l attenzione sul caso di proiezioni dallo spazio risp. dal piano su un piano α risp. su una retta r, per adesso per l origine, diciamo a+b+cz = 0 risp. a + b = 0. Sia poi v un vettore non parallelo ad α risp. r. La proiezione parallela di direzione v su α risp. r è l applicazione f: R 3 R 3 risp. f: R R tale che fp sia l unico punto d intersezione di α risp. r con la retta per P parallela a v.

11 LEZINE La proiezione parallela f si dice ortogonale se v è perpendicolare a α, obliqua altrimenti. r P' H' n v H P Figura.9 Esempio.4.. Se P è un punto del piano allora la sua proiezione H di direzione v sulla retta su r è l estremo libero di un vettore della forma H = P α v parallelo a r, cioè ortogonale a n. Quindi si deve avere da cui segue che 0 = P α v, n = P, n α v, n, α = P, n v, n. Supponiamo che r sia a+b = 0 e sia v = v ı +v j. Un versore perpendicolare a r è a n = a + b ı + b a + b j. Quindi f = a + b v av + bv v si noti che av + bv 0 poiché v r. oncludiamo che f = v b v b av + bv v a v a. Se ora andiamo a considerare la retta r di equazione a + b = 0 la matrice della proiezione parallela di direzione v = v ı + v j su r è v b v b. av + bv v a v a

12 .4. PRIEZINI PARALLELE Sia r la retta di equazione + = 0 e sia v = 4 ı j. La matrice omogenea della proiezione parallela di direzione v su r è Si consideri ora il rettangolo R di vertici Poiché 4 8 A =,, B =,, =, 3, D =, = il rettangolo R ottenuto da R con la proiezione sopra indicata è come in figura. 8 r ' D' D B' A' A R B v Figura.0 Dal punto di vista della grafica computerizzata sono particolarmente interessanti le proiezioni dallo spazio su un piano: infatti esse rispondono all esigenza di rappresentare bidimensionalmente degli oggetti tridimensionali. Esempio.4.. Il metodo per la costruzione della matrice associata a una proiezione dallo spazio su un piano è totalmente analogo a quello visto nell esempio precedente, quindi ci limiteremo a scriverla senza ripetere i ragionamenti già fatti sopra. Fissiamo perciò l attenzione sul caso di proiezioni dallo spazio su un piano α, per adesso per l origine, diciamo a+b+cz = 0. Sia poi v un vettore non parallelo ad α. La proiezione parallela di direzione v su α è l applicazione f: R 3 R 3 tale che fp è l unico punto d intersezione di α con la retta per P parallela a v. Supponiamo inizialmente che α sia a + b + cz = 0 e sia v = v ı + v j + v z k. Allora la proiezione ha per matrice av + bv + cv z v b + v z c v b v c v a v a + v z c v c v z a v z b v a + v b

13 LEZINE 3 si noti che, anche in questo caso, av + bv + cv z 0 poiché v α. Per esempio, se vogliamo rappresentare un sistema di riferimento cartesiano ı j k nel piano = 0, proiettandolo secondo la direzione del vettore ı + j + k, dobbiamo considerare la matrice In particolare la circonferenza di equazioni cos t, sin t, 0 viene proiettata sull ellisse 0, cos t + sin t, cos t si veda la Figura. z Figura. sservazione.4.3. Tra le proiezioni ortogonali ve ne sono alcune particolarmente importanti in disegno tecnico, le assonometrie: un assonometria è una proiezione ortogonale su un piano α per l origine non contenente nessuno degli assi coordinati. Se a + b + cz = 0 è un tale α poniamo v = a ı + b j + c k e siano ϕ = v ı, ϕ = v j, ϕ z = v k. Allora l assonometria si dirà monometrica o isometrica se ϕ = ϕ = ϕ z che equivale a dire che a = b = c, dimetrica se esattamente due fra gli angoli ϕ, ϕ, ϕ z sono uguali che equivale a dire che esattamente due fra a, b, c coincidono, trimetrica se gli angoli ϕ, ϕ, ϕ z sono tutti diversi fra loro che equivale a dire esattamente che a, b, c sono tutti diversi fra loro. sservazione.4.4. Anche tra le proiezioni oblique ve ne sono alcune importanti. Una prima è la proiezione cavaliera impropriamente anche detta in italiano assonometria cavaliera: una proiezione cavaliera è una proiezione obliqua su un piano coordinato secondo la direzione di un vettore vettore formante con tale piano un angolo di π/4 radianti. Il vantaggio della proiezione cavaliera è la semplicità per i calcoli, lo svantaggio è che dà una percezione scorretta delle proporzioni. Un secondo importante esempio è quello della proiezione dell armadio: una proiezione dell armadio è una proiezione obliqua su un piano coordinato secondo

14 4.4. PRIEZINI PARALLELE la direzione di un vettore vettore formante con tale piano un angolo di π arctan radianti. Il vantaggio, rispetto alla proiezione cavaliera, è una migliore percezione delle proporzioni.