LEZIONE 11. s V : V V V (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 = s V (v 1, v 2 ), p V : k V V. per cui valgono:

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1 LEZIONE Spazi vettoriali ed esempi. La nozione di spazio vettoriale generalizza quanto visto nelle lezioni precedenti: l insieme k m,n delle matrici m n a coefficienti in k = R, C, l insieme V 2 (O) dei vettori geometrici del piano e quello V 3 (O) dei vettori geometrici dello spazio, applicati in un punto O. Definizione Uno spazio vettoriale su k = R, C è un insieme non vuoto V munito di due applicazioni s V : V V V (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 = s V (v 1, v 2 ), per cui valgono: p V : k V V (α, v) αv = p V (α, v), (S1) per ogni v 1, v 2 V si ha v 1 + v 2 = v 2 + v 1 (la somma è commutativa); (S2) per ogni v 1, v 2, v 3 V si ha v 1 + (v 2 + v 3 ) = (v 1 + v 2 ) + v 3 (la somma è associativa); (S3) esiste l elemento neutro per la somma, cioè un elemento 0 V V tale che 0 V + v = v, per ogni v V ; (S4) per ogni v V esiste un elemento opposto di v, cioè w V tale che v + w = 0 V ; (P1) per ogni v V si ha 1v = v; (P2) per ogni α 1, α 2 k e v V si ha α 1 (α 2 v) = (α 1 α 2 )v; (SP1) per ogni α 1, α 2 k e v V si ha (α 1 + α 2 )v = α 1 v + α 2 v; (SP2) per ogni α k e v 1, v 2 V si ha α(v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2. Gli elementi di V vengono detti vettori, quelli di k scalari. Osservazione Di elementi neutri rispetto alla somma ne esiste uno solo. Infatti se 0 V fosse un altro elemento neutro avremmo da (S3) le due relazioni 0 V + 0 V = 0 V ed 0 V + 0 V = 0 V : poiché la somma è commutativa da (S1) segue che 0 V = 0 V. In uno spazio vettoriale vale la legge di annullamento del prodotto, cioè 1 Typeset by AMS-TEX

2 SPAZI VETTORIALI ED ESEMPI Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano α k, v V. Allora αv = 0 V se e solo se è soddisfatta almeno una delle condizioni α = 0, v = 0 V. Dimostrazione. Se α = 0 allora = 0: moltiplicando ambo i membri per v e sfruttando (SP2) si ha 0v + 0v = 0v. Sia w V tale che 0v + w = 0 V (ne esiste almeno uno da (S4)). Allora 0v = 0v + (0v + w) = (0v + 0v) + w = 0v + w = 0 V. Similmente si procede per dimostrare che α0 V αv = 0 V. Se α 0 allora Ciò conclude la dimostrazione v = 1v = (α 1 α)v = α 1 (αv) = α 1 0 V = 0 V. Passiamo a studiare l unicità dell opposto = 0 V. Viceversa supponiamo che Osservazione L elemento w indicato in (S4) è unico e coincide con ( 1)v. Infatti dalla relazione 0 = 1 + ( 1) abbiamo che 0 V = 0v = (1 + ( 1))v = v + ( 1)v, cioè ( 1)v è un opposto di v. Se w fosse un altro elemento con la stessa proprietà, da (S4) seguirebbe v + w = 0 V = v + ( 1)v dunque w = w + 0 V = w + (v + ( 1)v) = (w + v) + ( 1)v = 0 V + ( 1)v = ( 1)v. D ora innanzi indicheremo l unico opposto di v V con il simbolo v. Gli scalari entrano in gioco nel momento in cui si introduce il prodotto per scalari. Per esempio osserviamo che R è spazio vettoriale su R con le operazioni di somma e prodotto che in esso sono definite. In modo simile C è uno spazio vettoriale su C. Notiamo però che se ci restringiamo a considerare solo il prodotto di numeri complessi per numeri reali, C viene ad essere uno spazio vettoriale su R. Procediamo ora a dare alcuni esempi di spazi vettoriali. Esempio Consideriamo l insieme k m,n delle matrici m n a coefficienti in k = R, C. Nella prima lezione abbiamo definito delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare in tale insieme: precisamente se α k e abbiamo posto A = (a i,j ) 1 i m, B = (b i,j ) 1 i m (a i,j ) 1 i m + (b i,j ) 1 i m α (a i,j ) 1 i m = (a i,j + b i,j ) 1 i m. = (αa i,j ) 1 i m Tali operazioni soddisfano le prorietà (S1), (S2), (S3), (S4), (P1), (P2), (SP1), (SP2), dunque k m,n con tali operazioni viene ad essere uno spazio vettoriale su k.,

3 LEZIONE 11 3 Esempio Consideriamo l insieme V 2 (O) dei vettori geometrici nel piano. Nella lezione in cui li abbiamo introdotti per la prima volta abbiamo definito per via geometrica la somma con la regola del parallelogramma ed il prodotto per uno scalare reale. Abbiamo visto che tali operazioni soddisfano le proprietà (S1), (S2), (S3), (S4), (P1), (P2), (SP1), (SP2), dunque V 2 (O) con tali operazioni viene ad essere uno spazio vettoriale su R. Analogamente V 3 (O) con le operazioni a suo tempo definite viene ad essere anch esso uno spazio vettoriale su R. Esempio Sia I R un intervallo non vuoto. Possiamo allora considerare l insieme R I delle funzioni a valori reali f: I R. Osserviamo che R I : infatti la funzione costantemente nulla 0 I : I R definita da 0 I (x) = 0 per ogni x I vi appartiene. In tale insieme introduciamo le operazioni di somma e prodotto come segue. Se f, g R I poniamo f + g: I R come la funzione che per x I vale (f + g)(x) = f(x) + g(x). Se f R I ed α R poniamo αf: I R come la funzione che per x I vale (αf)(x) = αf(x). Per verificare che R I è, con tali operazioni, uno spazio vettoriale su R bisogna verificare se tali operazioni soddisfano le proprietà della definizione Verifichiamo (S1). A tale scopo si considerino f, g R I : poiché per ogni x I i numeri reali f(x)+g(x) e g(x)+f(x) coincidono, segue, per definizione, che f +g = g +f. Coloro i quali, in modo analogo, verificheranno tutte le proprietà della Definizione , si renderanno conto che tutto dipende dal fatto che il codominio delle funzioni considerate è uno spazio vettoriale. Infatti è vero più un generale che se X è un insieme e V è uno spazio vettoriale su k allora l insieme V X delle funzioni f: X V a valori in V con le operazioni naturali di somma di funzioni e prodotto di una funzione per uno scalare è, a sua volta, uno spazio vettoriale su k. Esempio Nel seguito indicheremo con k n l insieme delle n uple ordinate di elementi di k = R, C: quindi un elemento di k n è una sequenza (x 1, x 2,..., x n ) di n elementi x 1, x 2,..., x n k. Possiamo definire (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ), per ogni scelta di (x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n ) k n ed α k. Si noti che gli elementi di k n si possono identificare naturalmente (togliendo le virgole) con le matrici in k 1,n e, in tale identificazione, le operazioni introdotte in k n vengono a corrispondere alle operazioni di somma di matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare definite in k 1,n. In particolare k 1 si può identificare naturalmente con k 1,1 = k. Segue che k n è uno spazio vettoriale: poiché si può anche identificare naturalmente con k n,1, molto spesso utilizzeremo il simbolo k n sia per indicare le matrici riga sia le matrici colonna.

4 SOTTOSPAZI VETTORIALI ED ESEMPI Sottospazi vettoriali ed esempi. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e sia W V non vuoto. W si dice sottospazio vettoriale di V se W, munito delle due applicazioni (s V ) W W e (p V ) k W, è uno spazio vettoriale su k. Andiamo ad analizzare la definizione per capire meglio come verificare che un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V sia un suo sottospazio. Innanzi tutto osserviamo che deve essere W per definizione. Inoltre vogliamo che le applicazioni (s V ) W W e (p V ) k W rendano W uno spazio vettoriale su k. Poiché, a priori, si ha che (s V ) W W : W W V, (p V ) k W : k W V, ciò significa che tali applicazioni devono avere di fatto immagine contenuta in W ovvero vogliamo che la somma di due elementi di W sia ancora un elemento di W (un sottoinsieme con tale proprietà si dice chiuso rispetto alla somma) e che il prodotto di uno scalare per un elemento di W sia ancora un elemento di W (un sottoinsieme con tale proprietà si dice chiuso rispetto al prodotto per scalari). Supponiamo che ciò accada. Poiché le proprietà (S1), (S2), (P1), (P2), (SP1), (SP2) della Definizione valgono per ogni scelta dei vettori v, v 1, v 2, v 3 V e degli scalari α, α 1, α 2 k, necessariamente valgono se ci restringiamo a considerare solo elementi in W. Perciò rimangono da verificare solo (S3) ed (S4). Per verificare (S3) si osservi che W è non vuoto, quindi contiene almeno un vettore w: poiché W è chiuso rispetto al prodotto per scalari si ha anche che 0 V = 0w W, quindi in W c è un elemento neutro per la somma (lo stesso di V ). Infine, per verificare (S4), si osservi che se w W V, dall Osservazione segue w = ( 1)w W, ovvero se W contiene un elemento contiene anche il suo opposto. Quanto visto dimostra il seguente criterio Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e sia W V. W è sottospazio vettoriale di V se e solo se è non vuoto ed è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari definiti in V. Si noti che se W è sottospazio di V allora, come visto sopra, 0 V W e W è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari definiti in V. Viceversa se 0 V W e W è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari definiti in V allora W è sottospazio vettoriale di V per il precedente criterio. Quanto detto dimostra Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e sia W V. W è sottospazio vettoriale di V se e solo se 0 V W ed è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari definiti in V. Diamo ora alcuni esempi di sottospazi utilizzando i criteri enunciati sopra.

5 Esempio In R 2 si consideri l insieme LEZIONE 11 5 W = { (x, y) R 2 y = 0 }. Osseviamo che gli elementi di W sono tutte e sole le coppie (x, y) con y = 0 ed x R. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W rappresenta l asse delle ascisse. Si noti che 0 R 2 = (0, 0) W. Siano poi (x, 0), (x, 0) W : allora (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0 + 0) = (x + x, 0), dunque è un elemento di W. Infine siano α R e (x, 0) W : allora α(x, 0) = (αx, α0) = (αx, 0), dunque è anch esso un elemento di W. Concludiamo che W è un sottospazio vettoriale di R 2. Esempio In R 2 si consideri l insieme W = { (x, y) R 2 x + y = 0 }. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W rappresenta la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Osseviamo che gli elementi di W sono tutte e sole le coppie del tipo (x, x) con x R. In particolare 0 R 2 = (0, 0) = (0, 0) W. Siano poi (x, x ), (x, x ) W : allora (x, x ) + (x, x ) = (x + x, x x ) = (x + x, (x + x )), dunque è un elemento di W. Infine siano α R e (x, x) W : allora α(x, x) = (αx, α( x)) = (αx, (αx)), dunque è anch esso un elemento di W. Concludiamo che W è un sottospazio vettoriale di R 2. Esempio Siano a, b R. In R 2 si consideri l insieme W = { (x, y) R 2 ax + by = 0 }. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W rappresenta o l intero piano oppure una retta per l origine. Chiaramente a0+b0 = 0, dunque 0 R 2 = (0, 0) W. Siano poi (x, y ), (x, y ) W : allora ax + by = ax + by = 0, dunque a(x +x )+b(y +y ) = ax +ax +by +by = (ax +by )+(ax +by ) = 0+0 = 0, cioè (x, y ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) è un elemento di W. Infine siano α R e (x, y) W : allora ax + by = 0, dunque a(αx) + b(αy) = αax + αby = α(ax + by) = α0 = 0, cioè α(x, y) = (αx, αy) è anch esso un elemento di W. Concludiamo che W è un sottospazio vettoriale di R 2. Si noti che i sottospazi considerati negli Esempi e sono casi particolari di questo esempio: precisamente l Esempio si ottiene considerando a = 1, b = 0, l Esempio considerando a = b = 1.

6 SOTTOSPAZI VETTORIALI ED ESEMPI Esempio Sia A k m,n. In k n,p si consideri l insieme W = { X k n,p AX = 0 m,p }. Chiaramente la matrice nulla 0 n,p k n,p appartiene a W. Siano poi X, X W : ciò significa che AX = AX = 0 m,p. Allora A(X + X ) = AX + AX = 0 m,p + 0 m,p = 0 m,p, cioè X + X W. Siano infine α k ed X W : ciò significa che AX = 0 m,p. Allora A(αX) = αax = α0 m,p = 0 m,p, cioè αx W. Concludiamo che W è un sottospazio vettoriale di R 2. Si noti che i sottospazi considerati nell Esempio sono casi particolari di questo esempio: infatti siamo nel caso m = p = 1, n = 2, A = (a b). Abbiamo quindi dimostrato che l insieme delle soluzioni di una qualsiasi equazione matriciale omogenea è un sottospazio di k n,p : dimostreremo più avanti che vale anche il viceversa, ovvero ogni sottospazio di k n,p è insieme delle soluzioni di una qualche (sempre più d una) equazione matriciale omogenea. Esempio Sia I R un intevallo non vuoto che, per comodità, supponiamo aperto, diciamo I =]a, b[. Abbiamo già verificato in precedenza (vedi l Esempio ) che l insieme R I delle funzioni f: I R è uno spazio vettoriale. Si consideri il sottoinsieme C 0 (I) = { f R I f continua in tutto I }. Osserviamo che la funzione identicamente nulla 0 I : I R è continua (come tutte le funzioni costanti), dunque 0 I C 0 (I). Se f, g C 0 (I) la loro somma f + g è ancora in C 0 (I). Infine se f C 0 (I) ed α R allora anche αf è in C 0 (I). Concludiamo che C 0 (I) è un sottospazio di R I. Più in generale, per ogni k 1, consideriamo l insieme C p (I) = { f R I f derivabile p volte in tutto I con f (p) C 0 (I) }. Da quanto visto nel corso di Analisi Matematica I segue che C p (I) è sottospazio vettoriale di R I per ogni p. Si noti che C p (I) è sottospazio vettoriale di ogni C q (I) con 0 q p. Diamo ora alcuni esempi di insiemi che non sono sottospazi. Daremo tre esempi mostrando che possono valere due delle tre proprietà, senza che necessariamente debba valere anche la terza.

7 LEZIONE 11 7 Esempio Siano a, b, c R con c 0. In R 2 si consideri l insieme W = { (x, y) R 2 ax + by = c }. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W o è vuoto oppure rappresenta una retta non passante per l origine. Chiaramente a0 + b0 + c = c 0, dunque 0 R 2 = (0, 0) W : in particolare W non è un sottospazio di R 2 in forza della Proposizione Più in generale se A k m,n e B k m,p \ { 0 m,p } l insieme W = { X k n,p AX = B }. non può essere sottospazio vettoriale di k n,p perché non contiene mai 0 n,p. Ricordo che se l equazione matriciale AX = B ha almeno una soluzione X 0 allora l insieme delle sue soluzioni è { X 0 + Y AY = 0 m,p }. Quindi, pur non essendo W un sottospazio, può essere ottenuto traslando un sottospazio (l insieme delle soluzioni dell equazione matriciale omogenea associata) di una stessa soluzione fissata X 0. Esempio In R 2 si consideri l insieme W = { (x, y) R 2 xy = 0 }. Gli elementi di W sono tutte e sole le coppie aventi almeno una componente nulla. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W rappresenta l unione degli assi coordinati. Chiaramente 00 = 0, dunque 0 R 2 = (0, 0) W. Siano α R e (x, y) W : allora xy = 0, dunque (αx)(αy) = α 2 xy = α 2 0 = 0, cioè α(x, y) = (αx, αy) è anch esso un elemento di W. Nonostante ciò W non è un sottospazio poiché non è chiuso rispetto alla somma. Infatti (1, 0), (0, 1) W ma (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) W. Esempio In R 2 si consideri l insieme W = { (x, y) R 2 x 0, y 0 }. Gli elementi di W sono tutte e sole le coppie aventi le componenti non negative. In particolare, se si identifica R 2 con il piano ordinario con fissato sistema di riferimento O ı j, l insieme W rappresenta il primo quadrante. Chiaramente 0 0, dunque 0 R 2 = (0, 0) W. Siano poi (x, y ), (x, y ) W : allora x, y, x, y 0, dunque x + x, y + y 0, cioè (x, y ) + (x, y ) =

8 ALCUNE OPERAZIONI NOTEVOLI FRA SOTTOSPAZI (x +x, y +y ) è un elemento di W. Nonostante ciò W non è un sottospazio poiché non è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Infatti (1, 1) W ma 1(1, 1) = ( 1, 1) W. Si noti che se V è uno spazio vettoriale su k = R, C allora esso contiene come sottoinsiemi sia se stesso sia { 0 V }. Chiaramente entrambe questi sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali di V. Tali sottospazi, che ci sono sempre, vengono detti sottospazi banali di V Alcune operazioni notevoli fra sottospazi. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W e W due suoi sottospazi. Ci domandiamo se, tramite le operazioni insiemistiche usuali (differenza, intersezione, unione), si ottengono ancora sottospazi. Una prima osservazione più o meno banale è che la differenza W \ W non è mai un sottospazio. Infatti 0 V W, W dunque 0 V W \ W. Consideriamo ora il caso dell intersezione. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W, W sottospazi vettoriali di V. Allora W W è un sottospazio vettoriale di V. Dimostrazione. Poiché 0 V W, W si ha 0 V W W. Siano ora w 1, w 2 W W : ciò significa che w 1, w 2 W, dunque w 1 +w 2 W (perché W è un sottospazio), e w 1, w 2 W, dunque w 1 +w 2 W (perché anche W è un sottospazio), sicché w 1 +w 2 W W ovvero W W è chiuso rispetto alla somma. Siano infine α k e w W W : ciò significa che w W, dunque αw W (perché W è un sottospazio), e w W, dunque αw W (perché anche W è un sottospazio), sicché αw W W ovvero W W è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Concludiamo che W W è un sottospazio vettoriale di V grazie alla Proposizione Esempio Siano a, b, c, a, b, c R. In R 3 siano dati i sottoinsiemi W = { (x, y, z) R 3 a x + b y + c z = 0 }, W = { (x, y, z) R 3 a x + b y + c z = 0 }. Innanzi tutto il lettore verifichi per esercizio che W e W sono sottospazi. Allora W W è l insieme delle terne (x, y, z) R 3 che appartengono sia a W che a W, quindi delle terne (x, y, z) R 3 che soddisfano simultaneamente le equazioni a x + b y + c z = a x + b y + c z = 0, ovvero W W è l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo { a x + b y + c z = 0 a x + b y + c z = 0.

9 LEZIONE 11 9 Si noti che tale insieme è un sottospazio di R 3 sia perché è intersezione di sottospazi (si veda Proposizione ) sia dall Esempio La Proposizione vale per l intersezione di un numero qualsiasi (anche infinito) di sottospazi, cioè Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W j sottospazi vettoriali di V per j J, opportuno insieme di indici. Allora j J W j è un sottospazio vettoriale di V. Esempio Sia I R un intevallo non vuoto che per comodità supponiamo aperto, diciamo I =]a, b[. Abbiamo già verificato in precedenza (si veda l Esempio ) che l insieme C p (I) delle funzioni f: I R derivabili fino all ordine p con derivata p esima continua è un sottospazio vettoriale di R I (o C 0 (I)). Definiamo C (I) = p 0 C p (I). Per quanto detto sopra C (I) è un sottospazio vettoriale di R I (o di C p (I) per p 0). I suoi elementi sono le funzioni definite su I aventi derivate di ogni ordine. Passiamo ora ad esaminare il caso dell unione. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W, W V sottospazi vettoriali di V. Allora W W è un sottospazio vettoriale di V se e solo se o W W, ed in tal caso W W = W, oppure W W, ed in tal caso W W = W. Dimostrazione. È chiaro che se W W allora W W = W, mentre se W W allora W W = W, dunque W W è banalmente un sottospazio in questi due casi. Viceversa supponiamo che W W e W W. Allora esistono w W \W e w W \ W. Si consideri w = w + w : se fosse w W W allora o w W o w W. Nel primo caso si dovrebbe avere w = w w W, nel secondo w = w w W, in contrasto con la scelta fatta. Concludiamo che w W W. In sostanza l unione non è quasi mai un sottospazio. È però comodo avere una nozione che generalizzi la nozione di unione nell insieme dei sottospazi di uno spazio vettoriale dato. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W, W V sottoinsiemi non vuoti. Definiamo somma di W e W l insieme W + W = { v V w W, w W : v = w + w }. Osservazione Se 0 V W allora w + 0 V W + W per ogni w W, dunque W W +W. In particolare se 0 V W, W allora W W W +W.

10 ALCUNE OPERAZIONI NOTEVOLI FRA SOTTOSPAZI Esempio Siano A k m,n e B k m,p. Supponiamo che l equazione matriciale AX = B abbia almeno una soluzione X 0 k n,p : allora sappiamo che { X k n,p AX = B } = { X 0 } + { X k n,p AX = 0 m,p }. Si noti che 0 n,p { X k n,p AX = 0 m,p } e, infatti, X 0 { X 0 } + { X k n,p AX = 0 m,p }. L importanza della somma sta nella seguente Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano W, W sottospazi vettoriali di V. Allora W +W è sottospazio vettoriale di V e se W V è un qualsiasi sottospazio contenente W e W allora W + W W. Dimostrazione. Poiché 0 V W, W si ha 0 V + 0 V W + W. Siano ora v 1, v 2 W + W : ciò significa che esistono w 1, w 2 W e w 1, w W tali che v 1 = w 1 + w 1 e v 2 = w 2 + w 2. Allora v 1 + v 2 =(w 1 + w 1 ) + (w 2 + w 2 ) = w 1 + w 1 + w 2 + w 2 = =w 1 + w 2 + w 1 + w 2 = (w 1 + w 2) + (w 1 + w 2 ) W + W, ovvero W + W è chiuso rispetto alla somma. Siano infine α k e v W +W : ciò significa che esistono w W e w W tali che v = w + w. Allora αv = α(w + w ) = αw + αw = (αw ) + (αw ) W + W, ovvero W + W è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Concludiamo che W + W è un sottospazio vettoriale di V grazie alla Proposizione Sia poi W V un sottospazio vettoriale contenente W e W : se v W + W esistono w W W e w W W tali che v = w + w, sicché v W (perché W è un sottospazio, quindi è chiuso rispetto alla somma), da cui si deduce che W + W W. Molto spesso si riassume la Proposizione dicendo che se W e W sono sottospazi vettoriali di V allora W +W è il più piccolo sottospazio di V contenente W W (rispetto alla relazione di ordine parziale sull insieme dei sottospazi di V dato dall inclusione). 2