LEZIONE 5. AX = 0 m,1.

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1 LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare, con operazioni elementari di riga, la matrice A in una nuova matrice A fortemente ridotta per righe: con le stesse operazioni elementari si ottiene una nuova matrice (A B corrispondente, in generale, ad un nuovo sistema di equazioni lineari A X = B, diverso dal precedente, ma ad esso equivalente isolvendo, se possibile, tale sistema con il metodo descritto nel corso della Lezione 3 si ottiene l insieme delle soluzioni del sistema da cui siamo partiti Se A X = B è compatibile, il numero delle incognite espresse in funzione delle rimanenti è esattamente il numero dei pivot, cioè il numero delle righe contenenti entrate non nulle, che coincide con rk(a, per definizione Siamo ora pronti ad enunciare e dimostrare il principale risultato sulla teoria dei sistemi di equazioni lineari, detto Teorema di ouché Capelli Proposizione 5 Siano A k m,n, B k m,, k =, C, e si considerino i sistemi (5 (52 AX = B, AX = m, i Il Sistema (5 è compatibile se e solo se rk(a = rk(a B ii Se il Sistema (5 è compatibile allora le sue soluzioni dipendono da n rk(a parametri liberi iii Se il Sistema (5 è compatibile e X k n, è una sua soluzione fissata, allora le sue soluzioni X k n, sono tutte e sole le matrici della forma X = X + Y ove Y k n, appartiene all insieme delle soluzioni del Sistema (52 Dimostrazione Iniziamo con il dimostrare l affermazione i Per quanto visto sopra possiamo sempre assumere che A sia una matrice fortemente ridotta per righe Si possono presentare due situazioni per le righe della matrice completa (A B Il primo caso è quello in cui esiste una riga di A, diciamo quella di indice i, con entrate tutte nulle che si prolunga in (A B a una riga con entrate non tutte nulle: chiaramente l entrata non nulla deve essere l i esima entrata di B, cioè b i Ciò significa che nel Sistema (5 figura un equazione della forma = b i che, per l ipotesi b i, non ha soluzioni Quindi il Sistema (5 è, in questo caso, incompatibile: inoltre Typeset by AMS-TEX

2 2 5 ISOLUZIONE DI SISTEMI i numeri di righe di A e di (A B contenenti entrate non nulle differiscono di, cioè rk(a = rk(a B, dunque rk(a rk(a B Nel secondo caso ogni riga di A con entrate tutte nulle si prolunga in (A B a una riga con entrate tutte nulle In questo caso si può risolvere il Sistema (5 come spiegato nell Esempio 32 Quindi il Sistema (5 è, in questo caso, compatibile: inoltre i numeri di righe di A e di (A B contenenti entrate non nulle coincidono, cioè rk(a = rk(a B Ciò conclude la dimostrazione dell affermazione i e dimostra anche l affermazione ii: infatti possiamo esprimere le incognite i cui coefficienti sono i pivot (in totale rk(a in funzione delle rimanenti (in totale n rk(a, cui possiamo dare valori arbitrari Passiamo alla dimostrazione dell affermazione iii A tale scopo si tenga conto che AX = B Sia X k n, una soluzione del Sistema (5, cioè tale che AX = B: posto Y = X X si ha AY = A(X X = AX + A( X = = AX + A( X = AX AX = B B = m,, quindi Y è soluzione del Sistema (52 Viceversa sia Y k n, una soluzione del Sistema (52, cioè tale che AY = m, : posto X = Y + X si ha AX = A(Y + X = AY + AX = m, + B = B, quindi X è soluzione del Sistema (5 Esempio 52 Si consideri il sistema a b c d e = Le matrici incompleta e completa del sistema sono A =, (A B = icordando quanto visto nell Esempio 424, con operazioni elementari di riga, A si riduce alla matrice ridotta per righe 2 3 Â = 2 4 7

3 LEZIONE 5 3 Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B: poiché l effetto di tali operazioni sulla parte a sinistra della linea verticale lo conosciamo (otteniamo A, limitiamoci ad indicare l operazione e l effetto su B (A B (Â B 2 3 = Si noti che rk(a = rk(â = 3 mentre rk(a B = rk(â B = 4: da questo deduciamo che il sistema AX = B è incompatibile Esempio 53 Si consideri ora il sistema a b c d e = Le matrici incompleta e completa del sistema sono A =, (A B = icordando quanto visto nell Esempio 424, con operazioni elementari di riga, A si riduce alla matrice fortemente ridotta per righe 6 37/4 A 3 9/4 = 2 7/2 Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B: risulta (A B (Â B 2 3 = 2 4 7

4 4 52 EQUAZIONI MATICIALI Poiché rk(a = rk(â = 3 = rk(â B = rk(a B segue che il sistema in esame è compatibile Ha senso, perciò, proseguire con le operazioni elementari di riga riducendo fortemente la matrice completa del sistema /2 2 2 /2 (Â B 4 4 / /2 4 2 /2 /2 /2 6 37/4 5/4 3/ /4 3/4 2 7/2 /2 /2 Quindi il sistema AX = B è equivalente al sistema A X = B, che è compatibile perché rk(a = rk(a = 3 = rk(a B = rk(a B In particolare le incognite corrispondenti ai pivot sono a, b, c e si ha a = 5/4 6d 37e/4, b = 3/4 + 3d + 9e/4, c = /2 + 2d + 7e/2 L insieme delle sue soluzioni è { t ( 5/4 6d 37e/4 3/4 + 3d + 9e/4 /2 + 2d + 7e/2 d e d, e k } Per esempio in corrsipondenza a d = e = otteniamo la soluzione particolare X = t ( 5/4 3/4 /2 Si noti che ogni altra soluzione è della forma 5/4 6 37/4 3/4 3 9/4 /2 + d 2 + e 7/2 al variare di d e e in k Si verifichi che le soluzioni del sistema AX = m, sono tutte e sole le matrici della forma 6 37/4 3 9/4 d 2 + e 7/2 al variare di d e e in k 52 Equazioni matriciali Negli Esempi 52 e 53 si sono studiati più sistemi diversi AX = B, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

5 LEZIONE 5 5 in varie situazioni (vedremo in seguito il problema del calcolo della matrice inversa È evidente che è inutile ripetere le stesse operazioni per ciascun sistema: è più conveniente risolvere i sistemi simultaneamente, cioè considerare l equazione matriciale AX = B ove X e B sono rispettivamente una matrice incognita ed una numerica aventi colonna di indice j pari ad X j e B j rispettivamente Definizione 52 Siano A = (a i,j i m j n k m,n, B = (b i,h i m h p k m,p, k =, C Un equazione matriciale lineare con matrice incompleta A e matrice dei termini noti B è un equazione della forma (52 AX = B ove X è una matrice incognita n p La matrice a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n (A B = a m, a m,2 a m,n b, b,p b 2, b 2,p b m, b m,p viene detta matrice completa dell Equazione (52 L Equazione (52 si dice omogenea se B = m,p, non omogenea altrimenti Una soluzione dell Equazione (52 è una matrice numerica X per cui vale l identità numerica AX = B: se esiste una soluzione l Equazione (52 si dice compatibile, incompatibile altrimenti L Equazione (52 può essere pensata come sistema di mp equazioni, una per ogni entrata di B, in np incognite, una per ogni entrata di X Si noti però che la riga di indice i di A definisce esattamente p equazioni di tale grande sistema, una per ogni entrata della riga di indice i della matrice B Fissato un tale i, l entrata a i,j moltiplica nelle equazioni considerate tutte le entrate x h,j di X per j =,, p Indicata con X h la riga di indice h di X, possiamo allora pensare all Equazione (52 come un sistema di m equazioni corrispondenti alle m righe di (A B nelle n incognite vettoriali della forma a, X + a,2 X a,n X n = ( b, b,p a 2, X + a 2,2 X a 2,n X n = ( b 2, b 2,p a m, X + a m,2 X a m,n X n = ( b m, b m,p Ne segue che il metodo di soluzione delle equazioni matriciali è totalmente analogo a quello dei sistemi di equazioni lineari (che ne sono un caso particolare quando la matrice dei termini noti si riduce ad un unica colonna Infatti esso si basa sulla riduzione della matrice completa (A B con operazioni elementari di riga che continuano ad avere senso anche per incognite di tipo vettoriale Diamo alcuni esempi

6 6 52 EQUAZIONI MATICIALI Esempio 522 Si consideri l equazione matriciale (522 2 X = 2 2, la cui matrice completa è ( 2 2 2, corrispondente al sistema { X + 2X 2 = ( 2 2X + X 2 = ( Trasformando (A B con operazioni elementari di riga otteniamo (A B / ( /3 /3 2/3 Pertanto l Equazione (522 è equivalente a X = ovvero al sistema ad incognite vettoriali /3, 2/3 { X = ( /3 X 2 = ( 2/3 che, come unica soluzione, ha ovviamente la matrice /3 2/3 Esempio 523 Si consideri l equazione matriciale (523 2 X =, la cui matrice completa è ( 2

7 L Equazione (523 equivale al sistema LEZIONE 5 7 { X + 2X 2 + X 3 = ( X X 2 + X 3 = ( Trasformando (A B con operazioni elementari di riga otteniamo ( (A B /3 ( 2 ( 2 2 /3 /3 /3 Pertanto l Equazione (523 è equivalente a X = /3 /3 ovvero a { X + X 3 = ( /3 X 2 = ( /3 Quindi l insieme delle soluzioni dell Equazione (523 è x 3, /3 x 3,2 /3 x 3, x 3,2 x 3,, x 3,2 k Perciò le soluzioni dipendono da = 3 2 = n rk(a righe libere Anche per equazioni matriciali vale il Teorema di ouché Capelli Lo enunciamo omettendone la dimostrazione in quanto totalmente analoga a quella della Proposizione 5 Proposizione 524 Siano A k m,n, B k m,p, k =, C, e si considerino le equazioni matriciali (524 (5242 AX = B, AX = m,p i L Equazione (524 è compatibile se e solo se rk(a = rk(a B ii Se l Equazione (524 è compatibile allora le matrici n p che sono sue soluzioni dipendono da n rk(a righe libere iii Se il Sistema (524 è compatibile e X k n,p è una sua soluzione fissata, allora le sue soluzioni X k n,p sono tutte e sole le matrici della forma X = X + Y ove Y k n,p appartiene all insieme delle soluzioni del Sistema (5242

8 8 53 CALCOLO DELL INVESA DI UNA MATICE Esempio 525 Si considerino i sistemi degli Esempi 52 e 53 Invece di risolverli separatamente consideriamo l equazione a a 2 b b 2 (525 c c 2 = d d 2 e e 2 La matrice completa dell Equazione (525 è (A B = Con le operazioni elementari indicate nell Esempio 424, tenendo conto dei già citati Esempi 52 e 53, possiamo trasformarla nella matrice 6 37/4 /2 3 9/4 (A B = 2 7/2 /2 Deduciamo che l Equazione (525 è incompatibile perché rk(a = 3 < 4 = rk(a B (infatti ogni sua soluzione darebbe una soluzione del sistema avente come colonna dei termini noti la prima colonna di B, che è incompatibile: si veda l Esempio Calcolo dell inversa di una matrice Un caso particolarmente interessante di equazioni matriciali è quello delle equazioni della forma AX = I n ove A k n,n, k =, C Chiedere che una tale equazione sia compatibile equivale a chiedere se la matrice A sia invertibile Infatti se l equazione è compatibile la sua unica soluzione è A Per la Proposizione 524, data A k n,n l equazione AX = I n è compatibile se e solo se rk(a = rk(a I n : quest ultima matrice è fortemente ridotta per righe ed il suo rango è esattamente rk(i n = n Abbiamo perciò dimostrato Proposizione 53 A k n,n, k =, C, è invertibile se e solo se rk(a = n Si noti che se A è invertibile, per calcolarne l inversa si può procedere come segue Si scrive la matrice completa (A I n : con trasformazioni elementari di riga si riduce tale matrice alla matrice fortemente ridotta (A A Su ogni riga di A ci deve essere un entrata pari ad, poiché rk(a = n: poiché ci sono n colonne su ogni riga tutte le entrate sono nulle eccetto una che vale e che si trova sempre in una colonna diversa Quindi, semplicemente con permutazioni di riga, si può ulteriormente trasformare (A A in una nuova matrice della forma (I n A A questo punto si osservi che l equazione di partenza è equivalente a I n X = A, dunque A = A

9 Esempio 532 Si consideri la matrice A = LEZIONE Vogliamo stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l inversa A tale scopo scriviamo la matrice (A I 3 trasformandola, come spiegato sopra, con operazioni elementari di riga: : si noti che a questo punto osserviamo che rk(a = 3, dunque A è invertibile per la Proposizione 53, perciò ha senso continuare il calcolo di A isulta / /2 3/2 /2 3 /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 3 /2 5/2 /2 + 2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 5/2 /2 2 /2 3/2 /2 /2 5/2 /2 /2 /2 /2 2 3 /2 3/2 /2 Concludiamo che /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 5/2 /2 A = /2 3/2 /2 /2 /2 /2