I LIMITI. non è definita per valori della x uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile x, che si chiama dominio, è

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1 I LIMITI LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A UN VALORE FINITO. Tra i tanti obiettivi che l analisi matematica si prefigge vi è quello di tracciare i grafici delle funzioni nel piano cartesiano e quando si traccia il grafico di una funzione, diventa indispensabile studiare il comportamento della funzione nei punti in cui non è definita. La situazione è piuttosto semplice nel caso delle funzioni razionali frazionarie; queste funzioni non sono definite per valori della variabile indipendente che annullano il denominatore. Ad esempio, la funzione y = f( ) = non è definita per valori della uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile, che si chiama dominio, è D = { ±5}. Praticamente individuare i punti del piano cartesiano interessati dal passaggio della funzione y = f( ) è semplice; sostituiamo nell espressione analitica della funzione particolari ed arbitrari valori della variabile ed otteniamo in corrispondenza ben definiti valori della variabile dipendente y. Per = 6 si ottiene y = = ; per valori naturali successivi a 6 otteniamo i seguenti valori della funzione, approssimati alla terza cifra decimale: Il problema si complica, quando vogliamo studiare la funzione nel punto = 5, in cui non è definita.

2 Infatti in tale punto si ottiene y = = =? 5 5 Dalle conoscenze acquisite fino a questo punto non siamo in grado di rispondere, se non affermando che ci troviamo di fronte ad una di quelle situazioni che in matematica chiamiamo impossibile : non esiste nessun numero reale che moltiplicato per fornisca come risultato il numero 8. Dobbiamo comunque tracciare il grafico della funzione nel piano cartesiano ma come si comporterà la funzione ( variabile dipendente y) quando la variabile indipendente approssimerà il valore 5? Studiamo il comportamento della funzione, assegnando dei valori alla variabile valore = sia minori che maggiori di tale valore , prossimi al Osserviamo che la funzione, quando la variabile approssima il valore = 5, sia da sinistra che da destra, cresce notevolmente in modulo arrivando a valori pari a y = 799,48 e y = 8,5.

3 Quando il valore della variabile indipendente si avvicina al valore 5, mentre il denominatore diventa sempre più piccolo la funzione diventa sempre più grande. Il denominatore sarà uguale a zero per = 5 e la funzione sarà grandissima; non riusciamo però ad esprimere in termini assoluti tale valore grandissimo assunto dalla variabile dipendente. Per tale ragione il valore reale grandissimo, in analisi matematica, si chiama infinito e viene rappresentato dal simbolo. Dalle tabulazioni rappresentate e dai grafici si vede che la funzione, a sinistra del valore = 5 decresce verso valori negativi, in modulo estremamente grandi, mentre a destra del valore = 5 cresce verso valori positivi estremamente grandi. In analisi matematica si introduce un linguaggio più coerente con gli argomenti trattati; innanzitutto si introduce la definizione di intorno che non è altro che un intervallo aperto di numeri reali la cui ampiezza è piccolissima e che contiene il valore. L intorno del valore viene così indicato: ] [ I(, ε ) = ε; + ε, in analisi matematica con il simbolo ε si identifica un numero reale piccolissimo a piacere. Un intorno di un punto, ribadiamo, è quindi un intervallo dell asse reale di ampiezza piccolissima contenente il punto. Dire che la variabile nell intorno ( I(5, ε ) ] 5 ε;5 ε[ approssima il valore = 5 significa dire che la variabile si muove = + ) del punto di raggio ε. 5 ε ε Ma come abbiamo visto, quando ciò accade, la funzione tende al valore. Il simbolismo usato è il seguente: 1.. lim 5 lim = =+ 5 Le espressioni si leggono rispettivamente: 1. il limite per tendente a 5 da sinistra ( -) della funzione è uguale a meno infinito. il limite per tendente a 5 da destra ( + ) della funzione è uguale a più infinito Ovviamente perché abbia senso tutto il discorso precedente, il punto = 5 deve essere di accumulazione per il dominio della funzione. Cosa significa che un punto è di accumulazione per un insieme? Significa che nell intorno, comunque considerato, del punto devono cadere infiniti altri punti, distinti dal punto preso in considerazione.

4 Se così non fosse non avrebbe senso parlare di variabile che si avvicina sempre più al valore, in quanto quest ultimo sarebbe un punto isolato sull asse reale. Bo 1. Come calcolare praticamente il limite di una funzione razionale in un punto in cui non è definita. E data la funzione + 5 y =. 3 Calcoliamo, innanzitutto il dominio: poniamo il denominatore uguale a zero: 3= da cui = 3 D = 3 Il dominio è { } Studiamo il segno della funzione e calcoliamo quindi l insieme di positività I.P. L insieme di positività è il sottoinsieme del dominio i cui elementi hanno un immagine positiva. Per cui poniamo y > : + 5 > 3 Numeratore: + 5> e quindi > 5 Denominatore: 3> e quindi > 3 y La prima riga bicolore rappresenta la variazione di segno del numeratore mentre la seconda linea bicolore rappresenta la variazione di segno del denominatore. Al di sotto è riportata la variazione di segno della funzione. L insieme di positività è : IP=.. ] ; 5[ ] + 3; + [, cioè il sottoinsieme del dominio, costituito da valori minori di -5 e maggiori di +3. Passiamo ora al calcolo dei limiti (da sinistra e da destra) della funzione nel punto = 3. Sappiamo che nell intorno del punto = 3 la funzione tende ad infinito e dallo studio del segno della funzione si ricava che La linea di colore rosso indica il segno negativo, la linea di colore nero indica il segno positivo.

5 + 5 lim = lim+ =+ 3 3 Quando il limite di una funzione calcolato in un punto al finito è infinito, allora la funzione presenta un asintoto verticale. Nel nostro caso quindi la funzione presenta l asintoto verticale = 3. Di seguito riportiamo il grafico della funzione Dopo aver spiegato la necessità di introdurre il concetto di limite di una funzione in un punto finito ci potremmo chiedere se si può assiomatizzare la nozione di limite. Come ciò può essere fatto per il tipo di limite al finito affrontato? Scriviamo lim f( ) =+ c L uguaglianza afferma che quando la variabile indipendente appartiene all intorno del punto c, la variabile dipendente y = f( ) appartiene all intorno di +. Dell intorno di un punto finito abbiamo già parlato nelle pagine precedenti; vediamo cosa significa dire che la variabile y = f( ) appartiene all intorno di +. La variabile y appartiene all intorno di + se è un numero maggiore di un numero reale k comunque grande, quindi dire y I( +, k) equivale a dire y > k k y

6 Ritorniamo a lim f ( ) = + : c Icε (, ) e y I( +, k). Scriviamo: Icε (, ) c ε < < c+ ε ( equivale a dire) < c < ε ( utilizziamo il valore assoluto) y I + k y > k (, ) ( equivale a dire) ε < c < ε ( sottraiamo c da tutti i membri) In concreto la scrittura lim f ( ) =+ equivale ad una relazione tra intorni, uno al finito ( il punto c c) ed uno all infinito. Come si può notare l intorno di un punto, qualunque esso sia, è caratterizzato, oltre che dal punto stesso, dal raggio dell intorno che nel caso del numero finito è il numero ε, piccolissimo a piacere, mentre nel caso dell infinito è il numero k (grandissimo a piacere). Bo Affinché la scrittura lim f ( < c <ε ) =+ sia vera deve essere contemporaneamente, c y > k cioè, riprendendo il periodo precedente, quando la variabile indipendente appartiene all intorno del punto c, la variabile dipendente y = f( ) appartiene all intorno di +. Possiamo pertanto fornire le seguente definizione di limite infinito di una funzione al finito: Definizione: diciamo che se ( lim f ( ) = + c k > ε > ' D: < c < ε f( ) > k per ogni k maggioredi esisteunε maggioredi taleche per ogni appartenenteal domin io si ha: se appartiene all'int orno di c di raggioε allora f ( ) appartiene all'int orno di + ) Autore:Prof. Donato Carpato