Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16

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1 Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16

2 La matematica finanziaria si occupa di tutti i problemi relativi al denaro e al suo impiego. Il denaro è lo strumento con cui possiamo effettuare operazioni commerciali, cioè scambi; infatti con il denaro compriamo e vendiamo merci. Possiamo, tuttavia, considerare il denaro stesso come una merce che diventa fonte di guadagno ed è proprio in questo senso che la matematica finanziaria interpreta il denaro. Le operazioni finanziarie quindi consistono nello scambio di denaro a una certa data con altro denaro a un altra data e i soggetti coinvolti in genere sono due, il creditore e il debitore.

3 CREDITORE Il creditore o mutuante è colui che «da` in prestito» il denaro. DEBITORE Il debitore o mutuatario è colui che «riceve in prestito» il denaro, in cambio di un compenso in denaro.

4 Possiamo schematizzare le considerazioni svolte con questa figura: il tempo si rappresenta sulla retta orizzontale orientata, detta asse dei tempi e denominata con la lettera t.

5 Prima di risolvere un problema, dobbiamo definire e saper individuare le grandezze fondamentali di un operazione finanziaria, che sono cinque e sono ben distinte. CAPITALE: la somma di denaro prestato e si indica con la lettera C. INTERESSE: il compenso che il creditore richiede per il contratto di prestito e si indica con la lettera I. L interesse è il compenso per aver messo a disposizione, per un certo intervallo di tempo, una somma di denaro, rinunciando temporaneamente alla sua disponibilità.

6 MONTANTE: La somma del capitale e dell interesse, si indica con la lettera M, M = C + I ed è l importo che il debitore restituisce al creditore al termine dell operazione. RICORDA! Il montante avrà un valore sempre maggiore di quello del capitale e, naturalmente, di quello dell interesse.

7 TEMPO: o durata è l intervallo di tempo che intercorre fra il prestito del capitale e la restituzione del montante e si indica con la lettera t. PERIODO: è l'unità di tempo con la quale si misura il tempo. TASSO D INTERESSE: è l interesse maturato per ogni unità di capitale e per periodo; si indica con la lettera i. Il tasso d interesse è un dato fondamentale per il calcolo dell interesse I; si esprime in forma percentuale e può essere riferito all anno o a frazioni di anno, per esempio semestri, quadrimestri, trimestri, ecc. I calcoli si eseguono con il tasso d interesse espresso in forma di numero decimale. IMPORTANTE In matematica finanziaria si usa l anno commerciale, costituito da 360 giorni suddivisi in 12 mesi, ciascuno composto da 30 giorni.

8 ESEMPIO Il tasso d interesse del 4% annuo corrisponde, nell arco di un anno, a un interesse di 0,04 per ogni euro di capitale prestato; mantenendo la forma percentuale, questo tasso corrisponde a un interesse di 4 per ogni 100 di capitale prestato in un anno. Il tasso d interesse del 3% trimestrale corrisponde, in tre mesi, a un interesse di 0,03 per ogni euro di capitale prestato.

9 I regimi di interesse Ricordiamo che la relazione fondamentale della capitalizzazione è M=C+I I procedimenti per il calcolo del montante costituiscono i regimi d interesse e i più importanti sono: il regime dell interesse semplice; il regime dell interesse composto.

10 INTERESSE SEMPLICE: In regime d interesse semplice, l interesse è direttamente proporzionale al capitale e al tempo d impiego. Questa definizione si può esprimere mediante la seguente relazione I=C i t dove C e` il capitale, i il tasso d interesse e t e` la durata dell impiego del capitale. Questa formula ci permetterà di calcolare l importo dell interesse maturato e, successivamente, anche il montante.

11 ESEMPIO Determina l interesse semplice del capitale di E impiegato al tasso annuo del 2,11% per 2 anni. Inoltre determina il montante semplice. I dati del problema sono: C = i=2,11% annuo forma decimale per eseguire il calcolo 2, = 0,0211 t = 2 anni Le incognite sono: I =? M =? Per determinare l importo dell interesse semplice, utilizziamo la formula I=C i t, sostituendo le grandezze note I = , =844 La seconda richiesta riguarda il montante semplice e per il calcolo usiamo la formula M=C+I, sostituendo gli elementi noti M = = L interesse semplice è di 844 e il montante semplice dell operazione è

12 Il montante semplice, che è l importo da corrispondere alla scadenza dell impiego, si calcola sommando al capitale l interesse semplice maturato M = C + I (1) Abbiamo visto che l interesse semplice si calcola con la formula I =C i t (2) Otteniamo la legge della capitalizzazione semplice, se nella prima relazione all interesse I sostituiamo la formula 2 M = C + I = C + C i t raccogliendo a fattor comune C si ha M = C (1+ i t) (3) Il montante a interesse semplice si può quindi ottenere in modo diretto moltiplicando il capitale C per il fattore (1+ i t)

13 Il binomio (1+i t), detto fattore di montante a interesse semplice, è il montante di 1 calcolato al tasso annuo i per un tempo t. Infatti, se si pone C =1 nella (3), si ottiene M = 1 + i t Il fattore (1+i t) è un operatore che «trasla in avanti» il capitale nel tempo. ATTENZIONE! Quando si applica la legge della capitalizzazione semplicem, prima si calcola il valore del fattore di montante, facendo attenzione a eseguire prima la moltiplicazione fra il tasso i e il tempo t e poi sommando a questo prodotto 1, dopo lo si moltiplica per il capitale C.

14 Le formule (2) e (3) permettono di risolvere anche i problemi inversi, ossia quei problemi in cui sono noti l interesse o il montante e bisogna determinare il capitale, il tempo o il tasso d interesse. Non è necessario ricorrere alle formule inverse per risolvere tali problemi; ogni volta possiamo utilizzare le formule (2) o (3) rendendole equazioni da risolvere rispetto all incognita che è la grandezza da determinare. RICORDA! Primo principio d equivalenza delle equazioni Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un equazione uno stesso numero si ottiene un equazione equivalente a quella data. RICORDA! Secondo principio d equivalenza delle equazioni Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un equazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene un equazione equivalente a quella data.

15 ESEMPIO Ricerca del capitale noto l interesse E` stato prestato un certo capitale per 4 mesi al 6%; l interesse maturato è di 12,50. Qual è la somma prestata? I dati sono: T = 4 mesi i = 6% annuo forma decimale 0,06 I = 12;50 L incognita è: C=? Sostituendo nella (2) i dati, si ottiene l equazione nell incognita C 12,5 = C 0, ,5= C 0;02 12 scambiando i membri e ricavando C con il secondo principio di equivalenza delle equazioni, si ottiene C= 12,5 1= 625 0,02 La somma prestata è di 625.

16 Nella capitalizzazione semplice, l interesse maturato può essere riscosso solamente al termine della durata dell investimento del capitale. Se la durata dell investimento e` superiore all anno, si può considerare il pagamento periodico degli interessi semplici, ossia dopo un anno o una frazione di anno, si rendono disponibili gli interessi maturati. Quando gli interessi dovuti, invece di essere incassati dal creditore, sono capitalizzati, cioè vengano aggiunti al capitale preesistente, incrementano la somma investita. Nel periodo successivo l interesse sarà calcolato non sul capitale iniziale, bensì` sul capitale incrementato, e cosı` via per ogni periodo. Il metodo illustrato è il regime dell interesse composto che consiste nella capitalizzazione periodica degli interessi semplici

17 REGIME DELLA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA Il regime della capitalizzazione composta prevede che alla fine di ogni periodo gli interessi semplici maturati siano sommati al capitale precedente e diventino, con esso, fruttiferi d interesse nel periodo successivo PERIODO DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA Il periodo di capitalizzazione composta, ossia il periodo al cui termine gli interessi sono sommati al capitale e iniziano a produrre interessi, è in genere l anno e si parla di capitalizzazione composta annua; qualora il periodo sia inferiore all anno si parlerà di capitalizzazione composta frazionata. Possiamo determinare il montante a interesse composto calcolando l interesse periodo per periodo e capitalizzandolo ogni volta.

18 ESEMPIO Determina il montante composto, dopo 4 anni, di un capitale di impiegato a interesse composto all 1,5% annuo

19 Dato un capitale C da impiegare a interesse composto al tasso annuo i per n anni, dove n e` un numero intero, determiniamo il montante M. Poniamo M1, M2, M3,... M i montanti alla fine rispettivamente del 1 anno, 2 anno,... n-esimo anno. Mediante la relazione calcoliamo M1 M = C (1 + i t), con t =1, M1=C (1+i) Per calcolare M2 applichiamo la precedente relazione, con t=1 e con capitale M1, cioè M2 = M1 (1 + i) = C (1+i) (1+i) = C 1 + i 2 Al 3 anno il capitale fruttifero sarà M2, quindi M3 = M2 (1+ i) = C 1 + i i = C 1 + i 3

20 Procedendo in modo analogo, dopo gli n anni d impiego, il montante M sarà M =C 1 + i n (4) Il montante a interesse composto si ottiene moltiplicando il capitale per il fattore di capitalizzazione composta 1 + i n Questo fattore è il montante a interesse composto di 1 al tasso annuo i dopo n anni. Infatti, posto C=1 nella (4), si ha M= 1 + i n Anche il fattore 1 + i n e` un operatore che «trasla in avanti» il capitale nel tempo ATTENZIONE! L interesse composto si determina sottraendo al montante il capitale I =M - C, perché il calcolo dell interesse composto presenta una formula complessa.