ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/ Esercizi svolti a lezione (novembre 2016) Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione finanziaria è caratterizzata dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Determinare se l operazione è conveniente con il metodo del VAN a tasso i = 2%; b) dire se tale progetto ammette un unico TIR; c) sostituendo 104 con un arbitrario R > 0, determinare per quali R esista un (unico) TIR. Soluzione. a) VAN(2%) = ,02 1 (1,02) 2 = 0,9996 > 0, il che significa che a tale tasso di mercato l operazione finanziaria è conveniente, realizzando, rispetto ad un normale investimento a regime composto a tasso di mercato del 2%, un sovraprofitto pari a quasi 1 euro. b) Abbiamo che DCF(x) = x 1 (1+x) 2, per x > 1, quindi poniamo DCF(x) = 0, per trovare nella variabile v = 1 1+x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione v 2 104v +100 = 0, che ha due soluzioni accettabili. Per arrivare a questa conclusione nel modo piú rapido, basta notare che la funzione f(v) = v 2 104v+100 corrisponde ad una parabola convessa sul piano cartesiano (v,f(v)) con vertice nel punto V = (52, 2604) e f(0) = 100, quindi le due soluzioni dell equzione f(v) = 0 saranno comprese nel semiasse positivo delle ascisse. Questo comporta il 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA fatto che non esista un unico tasso interno di rendimento, ma due, quindi l indice TIR per valutare l operazione finanziaria in esame non è applicabile. c) Consideriamo l equazione DCF R (x) = 100+ R 1+x 1 (1+x) 2 = 0. Per ottenere un unico TIR, dobbiamo imporre che l equazione nella variabile v = 1 1+x, data da v 2 Rv +100 = 0, abbia una sola soluzione nella regione finanziariamente significativa v > 0. Poiché v 1,2 = R± R 2 400, 2 se il discriminante della suddetta equazione, ossia R 2 400, fosse positivo, entrambe le soluzioni v 1 = R R v 2 = R+ R 2 400, 2 2 sarebbero positive, quindi accettabili. Se il discriminante fosse negativo non vi sarebbe alcuna soluzione. Pertanto, il discriminante deve essere necessariamente uguale a zero, ossia R = 0 R = 20. Esercizio 2. L operazione finanziaria A è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi L operazione finanziaria B è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Si scriva l espressione analitica del DCF G(x) in funzione del tasso annuo x ] 1, [ delle due operazioni. b) Si stabilisca un ordine di preferenza tra le due operazioni col metodo del VAN, nell ipotesi che il costo opportunità sia il 4%. c) Si trovi, se esiste, per quale tasso le due operazioni hanno lo stesso valore attuale netto. d) Determinare il TIR delle due operazioni.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 e) Determinare per quali costi opportunità da associare al VAN i due criteri del VAN e del TIR sono in accordo e per quali invece sono contrastanti. Soluzione. a) Abbiamo che e G A (x) = x (1+x) 2 G B (x) = x (1+x) 2 b) I VAN al costo opportunità pari al 4% sono i seguenti: e G A (0,04) = , (1,04) 2 227,81 G B (0,04) = , (1,04) 2 284,02 quindi G B (0,04) > G A (0,04), ossia B è preferibile ad A, in simboli B A. c) Dobbiamo trovare x > 1 tale che G A (x) = G B (x), ossia tale che x = (1+x) 2 1+x (1+x) 2. Poniamo v = 1, con v > 0 ed otteniamo 1+x da cui si ricava v +600v 2 = v +1160v 2 560v 2 40v +500 = 0; dividendo ambo i membri per 20, si ottiene l equazione di secondo grado 28v 2 +2v 25 = 0, che ha come unica soluzione accettabile e da cui v = , x = 1 1 0,0991 = 9,91%. v

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA d) Abbiamo che G A (x) = x (1+x) 2, per x > 1, quindi poniamo G A (x) = 0, per trovare nella variabile v = 1 1+x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione (dividendo entrambi i membri per 100) 6v 2 +7v 10 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 5, dunque il TIR è 6 x A = 1 1 = 0,2, v ossia x A = 20%. Abbiamo che G B (x) = x (1+x) 2, per x > 1, quindi poniamo G B (x) = 0, per trovare nella variabile v = 1 1+x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione (dividendo entrambi i membri per 20) 58v 2 +37v 75 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 25, dunque il TIR è 29 ossia x B = 16%. x B = 1 1 = 0,16, v e) Poichèx A > x B,alloraperilcriteriodelTIRèsemprepreferibilel operazione finanziaria A alla B. Se invece utilizziamo il criterio del VAN, affinché l operazione A sia preferibile rispetto a B, ossia affinché i due criteri non siano contrastanti, il costo opportunità i da associare al VAN deve essere tale che G A (i) > G B (i). Abbiamo che G A (i) > G B (i) se e solo se G A (i) G B (i) > 0, ossia G A B (i) > 0, dunque basta considerare l operazione finanziaria A B e studiare la positività della funzione G A B (x). L operazione finanziaria A B è descritta dal seguente cash-flow: quindi Scadenze Importi G A B (x) = x 560 (1+x) 2 = 500x2 +960x 100 (1+x) 2.

5 Abbiamo che ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 G A B (x) > 0 500x2 +960x 100 (1+x) 2 > 0 500x x 100 > 0, dividendo per 20 otteniamo la disequazione 25x 2 +48x 5 > 0 che, tenendo presente che deve essere x > 1, ha come soluzione x > 0,0991. Allora, per x > 9, 91%, il criterio del VAN stabilisce la preferenza dell operazione A e quindi è in accordo con il criterio del TIR. Mentre per 1 < x < 9,91%, il criterio del VAN stabilisce la preferenza dell operazione B, dunque è in contrasto con il criterio del TIR. Esercizio 3. Un investimento è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi ,52 a) Dimostrate che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%. b) Determinare l esatto TIR dell operazione. c) Determinare gli outstanding capitals (in forma standard) e il GVAN dell operazione, supposto che i tassi di mercato siano i 1 = i 2 = 3% e i 3 = 4%. Soluzione. a) Per dimostrare che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%, una volta scritto il DCF dell operazione, ossia si noti che: G(x) = x ,52 (1+x) 3, (i) il TIR dell operazione è l unica soluzione x ] 1, [ dell equzione G(x) = 0; (ii) G(0,02) > 0 e G(0,07) < 0; (iii) G(x) é monotona decrescente. Pertanto la soluzione x che cerco é necessariamente compresa tra i due tassi indicati.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Provando a ingabbiare sempre di piú la soluzione, calcolatevi G(0, 03) e G(0,06) e scoprirete che il primo valore è positivo, mentre il secondo è negativo, quindi, mutuando il ragionamento precedente, il TIR sará compreso tra il 3% e il 6%. Se poi avanzate col tasso piú basso, ossia vi calcolate G(0,04), scoprirete che tale valore è esattamente zero, quindi il TIR è x = 4%. c) Gli outstanding capitals (in forma standard) dell investimento sono: w 0 = a 0 ; w k = w k 1 (1+x ) a k, per k = 1,...,n dove x = 4% è il TIR e a k è l importo del cash-flow alla scadenza t = k. Ricordiamo che, se l operazione finanziaria si conclude all epoca n, allora w n = 0. Nel nostro caso abbiamo: w 0 = e; w 1 = w 0 (1+x ) a 1 = (1,04) = e w 2 = w 1 (1+x ) a 2 = (1,04) = e w 3 = w 2 (1+x ) a 3 = (1,04) ,52 = 0. Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 1 2 = 3% e i 3 = 4% è il seguente: GVAN(3%,3%,4%) = , ,52 (1,03) 2 (1,04) = 3417,83, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, realizzando un pluvalore di circa 3400 euro. Esercizio 4. Un investimento genera il seguente cash-flow: {(0, 5000),(1,1600),(2,R),(3,2240)}. a) Determinare l importo R > 0 affinché il TIR sia il 12%; b) stabilire la convenienza dell investimento col criterio del GVAN, ipotizzando che i costi opportunitá siano rispettivamente i 1 = 8% per il primo anno, i 2 = 9% per il secondo e i 3 = 10% per il terzo; c) nell ipotesi che dobbiate ricorrere ad un finanziamento esterno del 60% del capitale iniziale richiesto, con rimborso all italiana di durata pari a 3 anni e tasso a debito j = 10%, giudicare la convenienza dell intera operazione calcolando il GAPV, ossia il GVAN del net cash-flow (o operazione netta finale). Soluzione.

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 a) Abbiamo che G(x) = x + R (1+x) (1+x) 3. Poiché x = 12% è il TIR dell investimento, abbiamo che G(0,12) = 0, ossia ,12 + R (1,12) (1,12) 3 = (1,12) (1,12) 2 +R (1,12)+2240 (1,12) 3 = , ,04+1,12R+2240 = 0, da cui R = 2480e. b) Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 8%, i 2 = 9% e i 3 = 10% è il seguente: GVAN(8%,9%,10%) = = , (1,08) (1,09) (1,08) (1,09) (1,1) = = 318,012 > 0, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, perchè si ha un plusvalore pari a circa 318 euro. c) L investimento iniziale è descritto dal seguente cash-flow: {(0,a 0 ),(1,a 1 ),(2,a 2 ),(3,a 3 )} = {(0, 5000),(1,1600),(2,2480),(3,2240)}. Il capitale iniziale di 5000e viene coperto per il 60% da un finanziamento esterno con rimborso all italiana di durata pari a 3 anni e tasso j = 10%, quindi f 0 = ,6 = 3000e; mentre f 1,f 2,f 3 sono le rate R k del piano di ammortamento all italiana con D 0 = 3000e, durata 3 anni e tasso j = 10%. La quota capitale costante è pari a C = D 0 n = 3000 = 1000e. 3 Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 j, per k = 1,2,3, R k = C +I k = 1000+I k, per k = 1,2,3, D k = D 0 kc = k per k = 1,2,3, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento: Allora il finanziamento è descritto dal seguente cash-flow: {(0,f 0 ),(1,f 1 ),(2,f 2 ),(3,f 3 )} = {(0,3000),(1, 1300),(2, 1200),(3, 1100)}.

8 8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA t C k I k R k D k L operazione netta finale è pertanto descritta dal seguente cash-flow: {(0,a 0 +f 0 ),(1,a 1 +f 1 ),(2,a 2 +f 2 ),(3,a 3 +f 3 )} = {(0, 2000),(1,300),(2,1280),(3,1140)}. Dunque dobbiamo calcolare il GVAN ai costi opportunità pari a 8%, 9% e 10% sul capitale proprio, ossia il GAPV (generalized adjusted present value): GAPV = GVAN(8%,9%,10%) = = , (1,08) (1,09) (1,08) (1,09) (1,1) = = 245,467 > 0, il che significa che l intera operazione finanziaria è ancora conveniente, ma con un abbassamento del plusvalore di circa 73 euro.