Il Modello di Romer (1990): seconda parte
|
|
- Beniamino Marino
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Il Modello di Romer (1990): seconda parte Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a In questa seconda parte studieremo cosa determina g a ovvero il tasso di crescita della tecnologia. Studiando la sua dinamica capiremo cosa determina la dinamica del pil pro capite. Abbiamo de nito la funzione di produzione del settore R&D come: _ A t = B [a L L t ] A t (1) e abbiamo visto che dividendo entrambi i lati della precedente espressione Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; giurose@unical.it; Homepage: Tel
2 otteniamo: g a = B [a L L t ] A 1 t : (2) Questa è l espressione che ci permette di studiare g a e la sua dinamica. Infatti, se prendiamo i logaritmi di entrambi i lati della (2) otteniamo: log g a = log B + log a L + log L t + ( 1) log A t : Facendo la derivata rispetto al tempo (si ricorda che g a = _ A t A t, L t ed A t sono le variabili funzioni del tempo la cui derivata rispetto al tempo è indicata con un punto sulla nostra variabile) otteniamo: _g a g a = _ L t L t + ( A 1) _ t (3) A t ovvero: _g a g a = n + ( 1)g a (4) ovvero: _g a = ng a + ( 1)g 2 a: (5) L equazione (5) è l espressione fondamentale del nostro modello. Essa in- 2
3 fatti ci permette di studiare le variazioni rispetto al tempo di g a ( _g a sono proprio le variazioni nel tempo di g a ) e quindi possiamo studiare la dinamica di g a e quindi del pil pro capite: La dinamica di g a è rappresentata dall espressione ng a + ( 1)g 2 a: Dobbiamo studiare questa espressione. Poiché questa è funzione del parametro conviene dividere lo studio dell espressione nei tre casi possibili che possono sorgere ovvero: 1) < 1 2) = 1 3) > 1: Il caso dei rendimenti decrescenti della tecnologia nel settore R&D ovvero < 1: In questo caso speci co, l espressione (5) è una parabola con concavità verso il basso che passa per l origine. Nella Figura 1 possiamo disegnare questa espressione. Si noti che abbiamo una gura che, pur rappresentando semplicemente una parabola, ci da delle informazioni molto importanti circa la dinamica di g a : Infatti ciò che si vede è che per valori di g a > 0 vicini all origine (nella gura g a = g a ) noi troviamo variazioni di g a maggiori di zero ( _g a > 0). Questo vuol dire che in un certo istante di tempo in cui il valore di g a = g a si genera una variazione positiva di g a ( _g a > 0) per cui 3
4 l istante successivo ci sarà un livello di g a più grande di quello dell istante precedente (g a > g a ). Questo processo continua col passare del tempo e a fa crescere g a no a quando non si raggiunge il livello di g a in cui _g a = 0: In questo caso infatti g a non cresce più ( _g a = 0) per cui esso è costante nel tempo. Abbiamo quindi trovato una stato stazionario ovvero l esistenza di un equilibrio verso il quale l economia converge con il passare del tempo. Nello stato stazionario il tasso di crescita della tecnologia g a è costante nel tempo e non si modi ca. Indichiamo questo punto con le lettere SS: Si noti che questo punto SS verrebbe raggiunto anche qualora si partisse da un punto g a > SS: Infatti in questo caso avremmo che ad ogni livello di g a è associato una variazione negativa ( _g a < 0) per cui il livello di g a si riduce col passare del tempo no ad arrivare al livello di stato stazionario g a = SS: Cosa determina il nostro livello di g a di stato stazionario? Se capiamo cosa in uenza g a nello stato stazionario capiamo cosa determina il Pil pro capite di una economia nel suo stato stazionario (che risultato!) che abbiamo dimostrato essere uno stato che verrà raggiunto di sicuro. Dobbiamo quindi trovare il livello di g a di stato stazionario ovvero l intercetta della parabola con l asse delle ascisse ovvero il livello di g a per cui nell equazione (5) _g a = 0: 4
5 Figure 1: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala decrescenti nel settore R&D. 5
6 Ponendo nell equazione (5) _g a = 0 troviam che: g a = n 1 (6) Quest ultima espressione ci da il tasso di crescita del Pil pro capite nello stato stazionario quando il settore di ricerca e sviluppo è caratterizzato da rendimenti decrescenti della tecnologia. I risultati più importanti che si ricavano sono i seguenti: 1) Il tasso di crescita del pil pro capite non dipende da quante persone lavorano nel settore di ricerca e sviluppo (a L ). 2) Il tasso di crecita del pil pro capite cresce al crescere del tasso di crescita della popolazione n. Si noti che questo risultato potrebbe sembrare un controsenso poichè al crescere della popolazione ci si aspetterebbe una diminuzione del pil pro capite visto che cresce il denominatore del rapporto. In realtà innanzi tutto bisogna ricordare che la crescita della popolazione fa crescere anche il Pil (la variabile Y cresce poichè più lavoratori ci sono più si produce). Allo stesso tempo però in presenza di rendimenti di scala costanti nel settore dei beni e servizi ci asperemmo che il pil cresce così come cresce la popolazione quindi il rapporto debito pil non dovrebbe dipendere da n 6
7 (come accadeva nel modello di Solow dove la variabile n non in uenzava il tasso di crescita del pil pro capite). In questo caso sta accadendo qualcosa in più: la crescita della popolazione fa crescere la variabile A (questo accade nel settore R&D) la quale a sua volta in uenza la variabile Y: Il risultato nale è che al crescere della popolazione l output prodotto cresce più velocemente della popolazione stessa per cui il pil procapite cresce sempre. Si noti che si converge ad uno stato stazionario poichè nel settore ricerca e sviluppo i miglioramenti della tecnologia hanno rendimenti decrescenti: più si inventa meno velocemente si generano nuove tecnologie per cui i miglioramenti della tecnologia sono sempre più piccoli e questo fa si che il pil sia in uenzato sempre di meno dai miglioramenti tecnologici no ad arrivare ad un tasso di crescita costante. Il caso dei rendimenti costanti della tecnologia nel settore R&D ovvero = 1: Lo studio dell eq. (5) nel caso in cui = 1 è molto semplice, infatti ciò che si ricava è che tale espressione rappresenta una retta con pendenza positiva: _g a = ng a : (7) 7
8 Questa situazione è illustrata gra camente nella Figura 2. Da questo diagramma si vede che non esiste nessun livello di g a in cui _g a = 0 ovvero non esiste nessuno stato stazionario quindi il pil pro capite di questa economia esplode sempre. In questo caso la pendenza della retta dipende dalla variabile n: Se n > 0 il tasso di crescita del pil pro capite crescerà sempre col passare del tempo. L intuizione economica del risultato è molto semplice: al crescere della popolazione si produce sempre più tecnologia la quale, a di erenza del caso precedente, non ha rendimenti decrescenti ma costanti per cui i miglioramenti tecnologici fanno crescere sempre di più il pil pro capite il quale cresce ad un tasso sempre più grande. Il caso dei rendimenti crescenti della tecnologia nel settore R&D ovvero > 1: Lo studio dell eq. (5) nel caso in cui > 1 è anch esso molto semplice, infatti ciò che si ricava è che tale espressione è data da una parabola con concavità verso l alto: _g a = ng a + ( 1) g {z } a: 2 (8) >0 Questa situazione è illustrata gra camente nella Figura 3. Valgono la 8
9 Figure 2: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala costanti nel settore R&D. 9
10 Figure 3: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala crescenti nel settore R&D. stesse considerazioni fatte nel caso in cui = 1 solo che in questo caso la presenza di rendimenti crescenti della tecnologia fa crescere in maniera esponenziale il tasso di crescita del pil pro capite. 10
Il Modello di Romer (1990): prima parte
Il Modello di Romer (1990): prima parte Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a. 2011-2012 In questa prima dispensa viene
DettagliIl Modello di Solow (1956)
Il Modello di Solow (1956) Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a. 2011-2012 Iniziamo a studiare il modello di Solow (1956)
DettagliIl Modello di Diamond-Mortensen-Pissarides: la disoccupazione frizionanle
Il Modello di Diamond-Mortensen-Pissarides: la disoccupazione frizionanle Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Modelli Macroeconomici a.a. 2011-2012 1 Introduzione In questa parte del corso viene
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliEsercizi - Macroeconomia M
Esercizi - Macroeconomia M 1. (curva dei rendimenti) Considerate la relazione dinamica tra rendimento di un titolo a lunga, R; e rendimento di un titolo a breve, r, nell ipotesi che vi sia arbitraggio
DettagliIl Modello di Shapiro & Stiglitz (1984)
Il Modello di Shapiro & Stiglitz (1984) Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a. 2011-2012 In questa parte del corso iniziamo
DettagliEsercizi integrativi, corso di Macroeconomia, A.A (a cura della dott.ssa Chiara Conti)
Esercizi integrativi, corso di Macroeconomia, A.A. 2016-17 (a cura della dott.ssa Chiara Conti) Esercizio 1 [mercato dei beni] Si consideri un economia chiusa caratterizzata dalle seguenti equazioni: =
DettagliLO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI
Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa
DettagliConvergenza non condizionata
Economia Internazionale Economia dello Sviluppo Lezione 5 La convergenza nelle dinamiche di crescita A.A 2007-2008 Stefano Usai Convergenza non L ipotesi di convergenza non e basata sull assunzione che
DettagliIL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW C. SARDONI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione di produzione well-behaved 1 3. La dinamica: il modello di solow 3 4. Il progresso tecnico 6 Appendice A. La distribuzione
DettagliProgresso tecnologico e crescita
Lezione 14 (BAG cap. 13) Progresso tecnologico e crescita Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Progresso tecnologico e tasso di crescita Il progresso tecnologico può manifestarsi
DettagliEsercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi
Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui
DettagliAlessandro Scopelliti.
Alessandro Scopelliti alessandro.scopelliti@unirc.it Il tasso di crescita ed il tasso di disoccupazione negli USA dal 1970 ad oggi Nel grafico precedente sono state riportate le variazioni del Pil e della
DettagliEsercizio (tratto dal Problema 1.6 del Mazzoldi)
1 Esercizio (tratto dal Problema 1.6 del Mazzoldi) Una particella si muove lungo l asse x nel verso positivo con accelerazione costante a 1 = 3.1 m/s 2. All istante t = 0 la particella si trova nell origine
DettagliEsercizi. 1. Disegnare il grafico qualitativo della seguente funzione:
Esercizi. Disegnare il grafico qualitativo della seguente funzione: f(x) = x 2 per x 0 x per x > 0 e determinarne gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti e relativi nell intervallo (,4]. Esercizi
DettagliProgresso tecnologico e crescita
Lezione 14 (BAG cap. 13) Progresso tecnologico e crescita Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Prof. Alessandro Flamini, Universita di Pavia Progresso tecnologico e tasso di crescita
DettagliMacroeconomia. Luca Deidda. UNISS, CRENoS DiSEA. Luca Deidda (UNISS, CRENoS DiSEA) 1 / 13
Macroeconomia Lezione n. 10 Crescita economica: 1) Regola aurea, 2) Concetto di convergenza condizionata, 3) Popolazione, 4) Motore di ricerca di lungo periodo: Progresso tecnologico Luca Deidda UNISS,
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre Disequazioni irrazionali
Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre 016 Disequazioni irrazionali Risolvere le seguenti disequazioni 1 3x + 1 < x + 7 La disequazione é equivalente al seguente
DettagliUna funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio.
1 Funzione Continua Una definizione intuitiva di funzione continua è la seguente. Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. Seppure questa non è una
DettagliAnalisi Matematica IV modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1
Analisi Matematica IV modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1 Corso di laurea in Matematica, a.a. 2005-2006 27 aprile 2006 1. Disegnare approssimativamente nel piano (x, y) l insieme x 4 6xy 2
DettagliESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento
DettagliTrasformazioni Logaritmiche
Trasformazioni Logaritmiche Una funzione y = f(x) può essere rappresentata in scala logaritmica ponendo Si noti che y = f(x) diventa ossia Quando mi conviene? X = log α x, Y = log α y. log α (x) = log
DettagliEsercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti
Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 21 Novembre Logaritmi e Proprietà
Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 016/017 Pietro Pastore Lezione del 1 Novembre 016 Logaritmi e Proprietà Quando scriviamo log a b = c che leggiamo logaritmo in base a di b uguale a c, c è l esponente
DettagliSOLUZIONI Data la funzione. = x. a) scrivi qual è il dominio di f
. Data la funzione a) scrivi qual è il dominio di f SOLUZIONI f ) ( b) scrivi quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni
DettagliCORSO DI POLITICA ECONOMICA AA
CORSO DI POLITICA ECONOMICA AA 2016-2017 IL MODELLO SOLOW: FONDAMENTI DOCENTE PIERLUIGI MONTALBANO p.montalbano@dte.uniroma1.it Il modello Solow (1956) Funzione di produzione omogenea di primo grado (offerta):
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).
ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica
DettagliFunzioni elementari: funzioni potenza
Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,
DettagliCORSO DI POLITICA ECONOMICA AA
CORSO DI POLITICA ECONOMICA AA 2014-2015 IL MODELLO SOLOW: FONDAMENTI DOCENTE PIERLUIGI MONTALBANO p.montalbano@dte.uniroma1.it Dall analisi di breve a quella di lungo periodo La crescita di LP: Incremento
DettagliLa teoria neoclassica della crescita economica
La teoria neoclassica della crescita economica La teoria neoclassica della crescita sostiene che la crescita economica è causata da: aumento della quantità di lavoro L utilizzata (crescita della popolazione)
DettagliCapitolo 6. La produzione. A.A Microeconomia - Cap. 6-1
Capitolo 6 La produzione A.A. 2010-2011 Microeconomia - Cap. 6-1 Il comportamento dell'impresa Tre fasi distinte di analisi nello studio del comportamento dell'impresa: 1. Tecnologia di produzione 2. I
DettagliUniversita di Napoli Federico II Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche Anno Accademico Corso di Macroeconomia Lezione 11
Universita di Napoli Federico II Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche Anno Accademico 2016-2017 Corso di Macroeconomia Lezione 11 1 Come si misura il tenore di vita Ci spostiamo dallo studio
Dettagli5. Massimi, minimi e flessi
1 5. Massimi, minimi e flessi Funzioni crescenti e decrescenti A questo punto dovremmo avere imparato come si calcolano le derivate di una funzione razionale fratta, ma dobbiamo capire in che modo queste
DettagliScale Logaritmiche. Matematica con Elementi di Statistica a.a. 2015/16
Scale Logaritmiche Scala Logaritmica: sull asse prescelto (ad esempio, l asse x) si rappresenta il punto di ascissa = 0 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti
DettagliRicevimento del 2 Febbraio 2011
Ricevimento del 2 Febbraio 20 Davide Boscaini Queste sono le note del ricevimento del 2 Febbraio. Ho scelto di scrivere queste poche pagine per una maggior chiarezza e per chi non fosse stato presente
Dettaglifrancesca fattori speranza - versione febbraio 2018 { y > 0 4) DETERMINAZIONE DEL TIPO DI FUNZIONE (PARI, DISPARI, PERIODICA)
STUDIO DI FUNZIONE francesca fattori speranza - versione febbraio 2018 1) DOMINIO O CONDIZIONE DI ESISTENZA 2) INTERSEZIONE CON GLI ASSI y f (x) intersezione asse x : { y 0 y f (x) intersezione asse y
DettagliLa crescita economica: il modello di Solow
La crescita economica: il modello di Solow La teoria della crescita si propone di spiegare il progressivo e continuo miglioramento del tenore di vita Esamineremo il modello di Solow, che attribuisce un
DettagliCapitolo 8: La crescita economica, I. La crescita economica
Capitolo 8: La crescita economica, I La crescita economica Dinamica del modello Lo stato stazionario In stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali all ammortamento Il capitale pro capite
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del sesto appello, 16 luglio 2018 Testi 1
Scritto del sesto appello, 6 luglio 208 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare α [0, 2π) per cui vale l identità trigonometrica sin(x π/3) = cos(x + α). 2. Trovare il polinomio di Taylor (in 0) di ordine
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 216 217, compito A prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliIL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW [2.1], [2.2], [2.3]
IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW Le ipotesi del modello Supponiamo piena occupazione. In Equilibrio: Y t = C t + I t [2.1] Gli investimenti lordi I t : sono la somma degli ammortamenti e della variazione
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 1. Esercizi svolti a lezione (novembre 2016) Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione
DettagliSOLUZIONI. = x x x
. Data la funzione a) scrivi qual è il dominio di f SOLUZIONI f ( b) scrivi quali sono gli intervalli in cui f( risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni
DettagliEconomia Monetaria. La Curva di Phillips e il Tasso Naturale di Disoccupazione
Economia Monetaria CLEF 14 2007-08 La Curva di Phillips e il Tasso Naturale di Disoccupazione versione 5 Maggio 2008 Fino al 1959, la dottrina Keynesiana suggeriva che fosse possibile ridurre la disoccupazione
DettagliMicroeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini
Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo
DettagliEsercizi 2017/18 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura - 3. x 15. x x = 0.
Esercizi 01/18 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura - Esercizio 1. Risolvere la seguente equazione: ( ) 9 15 1 ( 15 9 ) = 0. Gli esponenti esistono per 1 e 0. Per risolvere l eqauazione portiamo
DettagliStudio del segno delle derivate. Lezione 11 del 6/12/2018
Studio del segno delle derivate Lezione 11 del 6/12/2018 Segno della derivata prima Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo I, allora se f x > 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente crescente
DettagliLEZIONE 5. Esercizio 5.1. Calcolare il limite per x ± delle seguenti funzioni. lim. lim. lim. lim. lim. e x ) x. per x. lim
5 LEZIONE 5 Esercizio 5.1. Calcolare il ite per x ± delle seguenti funzioni. 2x3 3x 2 = x3 (2 3/x) =±. x2 sin x 2 x 4 = x4 (sin x 2 /x 2 1) =. ex x = ex (1 x/e x )=. sin 1 x cos x2 =0, infatti all infinito
DettagliProblemi con discussione grafica
Problemi con discussione grafica Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette (proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata
DettagliMatematica - Prova d esame (25/06/2004)
Matematica - Prova d esame (/6/4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. (a) Disegnare sul piano di Gauss i numeri z = i e w = i, e scriverne la forma trigonometrica. Calcolare z
DettagliMatematica Esame. Giuseppe Vittucci Marzetti
Matematica Esame Giuseppe Vittucci Marzetti Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Università degli Studi di Milano-Bicocca Corso di Laurea in Scienze dell Organizzazione 18 Settembre 2019 Istruzioni:
DettagliMACROECONOMIA ESERCITAZIONE N. 1. Soluzioni
MACROECONOMIA ESERCITAZIONE N. Soluzioni ESERCIZIO : PIL NOMINALE E PIL REALE a) Il PIL nominale $Y rappresenta la somma della quantità dei beni nali, valutati al loro prezzo corrente. Dunque, nel periodo
DettagliEsercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006
Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f)..
DettagliSoluzioni esercizi (parte1) - Macroeconomia M
Soluzioni esercizi (parte1) - Macroeconomia M 1. Segue la risposta ad ogni punto: (a) Per il diagramma si rimanda alle dispense. L equilibrio stazionario, che si trova dove la retta RR interseca l asse
DettagliIl coefficiente angolare è 3/2 mentre Q ha coordinate (0;0). La retta passa per l origine.
SOLUZIONI ESERCIZI GEOMETRIA ANALITICA ) y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate (0;) ) y E necessario passare alla forma esplicita della retta y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate
DettagliEsercizi di macroeconomia (a.a. 2014/2015) Secondo modulo
Esercizi di macroeconomia (a.a. 2014/2015) Secondo modulo Indice 1 Mercato del lavoro 1 2 Il modello AD - AS 3 3 Produzione, inflazione e moneta 7 4 Crescita 9 1 Mercato del lavoro Esercizio 1. Si consideri
DettagliDebito, disavanzo e crescita (Economia e Politiche Pubbliche - Prof. Leonzio Rizzo)
Debito, disavanzo e crescita (Economia e Politiche Pubbliche - Prof. Leonzio Rizzo) 1 Rapporto tra dinamica del disavanzo pubblico e debito pubblico. Il conto consolidato della pubblica amministrazione
DettagliEsercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni
1 Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1. Date le funzioni f 1 (x) = x/4 1, f 2 (x) = 3 x, f 3 (x) = x 4 2x, scrivere a parole le operazioni che, dato x in modo opportuno, permettono di calcolare
DettagliElementi di matematica - dott. I. GRASSI
Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali
DettagliLezione Derivata seconda Flessi e concavità Studi di funzione
Lezione 23 11-1-2016 Derivata seconda Flessi e concavità Studi di funzione Derivata seconda Sia data una funzione f(x). Se la sua funzione derivata prima f (x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliDerivate di ordine superiore
Derivate di ordine superiore Derivate di ordine superiore Il processo che porta alla definizione di derivabilta e di derivata di una funzione in un punto si puo iterare per dare per ogni intero positivo
DettagliAppello del 27/1/2017 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A, prof. Gianluca Amato
Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 27//27 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 26 27, compito A, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello
DettagliLA RETTA. Forma generale dell equazione della retta: ax+by+c=0 Dove :
Forma generale dell equazione della retta: a+b+c0 Dove : a b c 1 Forma esplicita dell equazione della retta: È possibile dividere entrambi i membri dell equazione generale della retta per b se b 0 ovvero
Dettagli= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0
ESERCIZI SULLA OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA ESERCIZIO Determinare i punti di massimo e minimo di f x, y = x y soggetta al vincolo x + y = Il vincolo è chiuso e limitato (circonferenza di raggio ) e la funzione
DettagliFacoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica. Macroeconomia sui capitoli 24, 25 e 26. Dott.ssa Rossella Greco
Facoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica Esercitazione di Macroeconomia sui capitoli 24, 25 e 26 Dott.ssa Rossella Greco Domanda 1 (Problema 3. dal Cap. 24 del Libro di Testo) Anno PIL reale
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliUniversita di Napoli Federico II Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche Anno Accademico Corso di Macroeconomia Lezione 12
Universita di apoli Federico II Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche Anno Accademico 2016-2017 Corso di Macroeconomia Lezione 12 1 Interazioni tra produzione e capitale Il capitale determina
DettagliRicerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima
Massimi e minimi con la derivata prima pag. 1 di 6 Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare
DettagliSoluzioni delle Esercitazioni VII 12-16/11/ x+c = 1 2 x4 3 2 x2 +x+c. + x4/3. x + 1 )
Soluzioni delle Esercitazioni VII -6//8 A. Integrali indefiniti. Si ha +)d. Si ha + )d. Si ha + d +. Si ha d 5. Si ha / + / )d / ) d d + ++c ++c. + / +c + +c. + ) d ln + / +c ln + +c. ) / d )/ +) / d +)/
DettagliMatematica A Corso di Laurea in Chimica. Prova scritta del Tema A
Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del 7..6 Tema A P) Data la funzione f(x) = ex+ x determinarne (a) campo di esistenza; (b) zeri e segno; (c) iti agli estremi del campo di esistenza
DettagliScale Logaritmiche. Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre a.a
Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA: sull asse prescelto (ad esempio, l asse x) si rappresenta il punto di ascissa = 0 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti
DettagliCorrezione terzo compitino, testo B
Correzione terzo compitino, testo B 4 maggio 00 Parte Esercizio.. Procederemo per esclusione, mostrando come alcune funzioni della lista non possano avere il grafico in figura. La prima cosa che possiamo
DettagliQUESITO 1. Indichiamo con x e y le dimensioni del rettangolo che contiene l area di stampa; si ha:
www.matefilia.it Quesiti QUESITO 1 Un foglio di carta deve contenere 0 cm 2 di stampa con margini superiore e inferiore di cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di
DettagliSOLUZIONI. Alla terza rilevazione vi è una ulteriore diminuzione del 25% rispetto alla precedente, quindi = = =
SOLUZIONI urante il test di un antibiotico in laboratorio un ricercatore monitora la popolazione di una certa colonia di batteri, annotando i seguenti risultati Il numero di partenza dei batteri era pari
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliLa curva di Hubbert. C) solo f(x) può essere associata a Si mostri che è simmetrica rispetto alla retta x= ln(4)
La curva di Hubbert La curva di Hubbert La curva in figura rappresenta la produzione annua ( in Gigabarili per anno ) di una certa risorsa non rinnovabile, in funzione del tempo x espresso in anni (Curva
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prima Prova Parziale (9//009) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 009/0 Tema A Matematica e Statistica Prima Prova Parziale di MATEMATICA (9//009) Università di
DettagliEsercitazione 26 Febbraio 2009
Esercitazione 26 Febbraio 2009 Economia Monetaria (6058) Classe 14 5 marzo 2009 1 Esercizio (a) Considerate il modello della domanda di moneta per investimento della ricchezza. Supponete in particolare
DettagliLa crescita economica
La crescita economica Il percorso La crescita economica Il modello di Solow Costruzione Equilibrio di stato stazionario Il risparmio e la regola aurea La crescita della popolazione Obiettivi della teoria
DettagliUniversità di Bari Facoltà di Economia Esame del corso di Macroeconomia Del (VERSIONE A) COGNOME NOME MATRICOLA
Università di Bari Facoltà di Economia Esame del corso di Macroeconomia Del 9.09.11 (VERSIONE A) COGNOME NOME MATRICOLA 1) A Ω B Ω C Ω D Ω 2) A Ω B Ω C Ω D Ω 3) A Ω B Ω C Ω D Ω 4) A Ω B Ω C Ω D Ω 5) A
DettagliMatematica Finanziaria 20 giugno 2001
Matematica Finanziaria 0 giugno 00 Prova Generale. ESERCIZIO : Algebra Lineare a) De nizione di indipendenza lineare tra vettori. b) Senza e ettuare calcoli, stabilire se i seguenti vettori sono linearmente
DettagliAnalisi Matematica - Corso A. Soluzioni del test di ingresso
Analisi Matematica - Corso A Soluzioni del test di ingresso con cenni di risoluzione Versione [ 1 ] Versione [ ] 1. E A B D C F. C 3. C 6. C 9. S ( x ) = x + 1 R ( x ) = - x - 1 10. C 11. A 1. B 14. C
DettagliCome calcolare i parametri farmacocinetici
Come calcolare i parametri farmacocinetici La conoscenza dei parametri farmacocinetici fondamentali di un farmaco è essenziale per comprendere in che modo esso venga trattato dall organismo e come sia
DettagliElementi di analisi matematica
Elementi di analisi matematica Microeconomia Vincenzo Merella Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale Microeconomia (EGA) Vincenzo Merella Elementi analisi matematica 1 / 21 La retta: de nizione
DettagliCrescita. Macroeconomia - a.a. 2017/2018
Crescita Macroeconomia - a.a. 2017/2018 Contenuto Crescita e analisi di lungo periodo Il problema della crescita Il modello neoclassico di crescita (Solow) Produzione Accumulazione di capitale, progresso
DettagliMODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW Condizioni generali : A) Rendimenti di scala costanti B) Economia chiusa C) Assenza di governo Procederemo all analisi del modello di Solow in tre ipotesi diverse in cui abbiamo
DettagliEconomia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA E SESTA SETTIMANA
Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A. 2013-2014. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA E SESTA SETTIMANA In sintesi, una tecnologia costituisce un insieme di piani
DettagliLimiti di funzioni 1 / 39
Limiti di funzioni 1 / 39 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 39 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x
DettagliArgomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi
Argomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi Sol. E. 7. f() = log + 4 Insieme di definizione : Limiti : 4 log + = + 0 + (confronto tra infiniti in cui prevale la potenza) 4 log + = log = + + + Notiamo
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di
DettagliMutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani
Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse
DettagliCAPITOLO 4 MODELLI MICROECONOMICI E TEORIA DELL IMPRESA:FUNZIONE PRODUZIONE E FUNZIONE COSTO
CAPITOLO 4 MODELLI MICROECONOMICI E TEORIA DELL IMPRESA:FUNZIONE PRODUZIONE E FUNZIONE COSTO EAI 2017-2018 - PROF. PAOLO COLLACCHI - DOTT. RICCARDO CORATELLA 190 FUNZIONE DI PRODUZIONE Il processo produttivo
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:
FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +
DettagliProf. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1
Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione. 3. Le funzioni reali di variabile reale. 4. L espressione
DettagliIl Modello di Stiglitz e Weiss: il Credit Rationing e la politica monetaria
Il Modello di Stiglitz e Weiss: il Credit Rationing e la politica monetaria Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Modelli Macroeconomici a.a. 211-212 1 Introduzione Come è stato studiato nel corso
DettagliLO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO
LO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO Studiando le funzioni reali di una sola variabile reale yf(), abbiamo imparato a distinguere alcune loro caratteristiche fondamentali
DettagliEsame di Stato 2019 Liceo scientifico 20 giugno Prova scritta di MATEMATICA e FISICA. PROBLEMA 2 soluzione a cura di D. Falciai e L.
Esame di Stato 2019 Liceo scientifico 20 giugno 2019 Prova scritta di MATEMATICA e FISICA PROBLEMA 2 soluzione a cura di D. Falciai e L. Tomasi 1 Soluzione Punto 1 Il parametro a deve essere omogeneo all
DettagliFUNZIONI ESPONENZIALI
FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE SIMMETRIE E GRAFICI DEDUCIBILI Angela Donatiello FUNZIONI ESPONENZIALI Crescita
Dettagli