Il Modello di Stiglitz e Weiss: il Credit Rationing e la politica monetaria

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1 Il Modello di Stiglitz e Weiss: il Credit Rationing e la politica monetaria Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Modelli Macroeconomici a.a Introduzione Come è stato studiato nel corso di macroeconomia, la politica monetaria può nel breve periodo avere degli e etti reali. Tali e etti sono descrivibili secondo il processo "tasso di interesse-investimenti-produzione". In questa sede cercheremo di studiare un altro possibile meccanismo attraverso il quale la politica monetaria può in uenzare il livello di produzione di un economia. Tale meccanismo può sorgere in presenza di asimmetrie informative sulla rischiosità di progetti di investimento che devono essere nanziati dalle banche. Come vedremo, infatti, qualora le banche non possono osservare l e ettiva rischiosità di un progetto di investimento, chiederanno un tasso di interesse unico per tutti i progetti. Tale tasso di interesse non necessariamente mette in equilibrio domanda ed o erta di credito neanche qualora le banche operini in concorrenza perfetta. In questa situazione il credito potrebbe essere razionato ed il livello di produzione dipenderà dall entità di tale razionamento. In questo contesto, una politica monetaria che porta ad un aumento della base monetaria, può, nel breve periodo, ridurre l entità del razionamento del credito ed in uenzare il livello di produzione dell economia. 2 Il Modello Si consideri un economia dove opera una singola banca. Tale economia è caratterizzata da un certo numero di imprenditori. Ogni singolo imprenditore i (i = 1; 2; ::::) possiede un progetto di investimento. Ogni progetto ha un costo di realizzazione K. Ogni imprenditore è dotato di una ricchezza W < K, per cui se vuole realizzare il progetto deve chiedere un prestito alla banca pari a B = K W. I progetti sono eterogenei rispetto alla loro probabilità di successo. Si indichi con p i 2 (; 1) la probabilità di successo del progetto i: La Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; giurose@unical.it; Homepage: 1

2 rischiosità di ogni singolo progetto è nota solo all imprenditore. La banca non può distinguere quali progetti sono più rischiosi e quali meno. Essa conosce solo la funzione di distribuzione di p i ovvero g(p i ): In altre parole la banca può valutare la rischiosità media di ogni singolo progetto: Si indichi con: E[p i ] = Z 1 p i g(p i )dp i : (1) R s i R f i il rendimento netto del progetto i in caso di successo; il rendimento netto del progetto i in caso di fallimento. Il rendimento atteso del progetto i, indicato da R i, è quindi pari a: R i = p i R s i + (1 p i )R f i (2) Si supponga che tutti i progetti abbiano lo stesso rendimento atteso, ovvero R i = R: Si supponga inoltre che se i progetti falliscono generano tutti lo stesso valore, ovvero R f i = Rf : Il rendimento atteso di ogni progetto è ora dato da: La relazione (3) ci dice due cose importanti: R = p i R s i + (1 p i )R f : (3) 1. in media tutti i progetti hanno lo stesso rendimento atteso (per ipotesi); 2. i progetti piu rischiosi (p i piccolo) hanno un rendimento netto in caso di successo (Ri s ) più grande dei progetti meno rischiosi (relazione rischiorendimento). Intuitivamente, poichè i progetti hanno tutti lo stesso rendimento atteso, al diminuire della probabilità di successo deve aumentare il rendimento in caso di successo. Si supponga che imprenditori e banche siano neutrali al rischio. Si supponga inoltre che il contratto stipulato tra l imprenditore e la banca preveda che: in caso di fallimento del progetto, la banca ottiene R f prende zero; e l imprenditore in caso di successo del progetto, la banca ottiene B(1 + r) dove r è il tasso di interesse sul prestito. In ne, si consideri soddisfatta la seguente relazione: R s i > B(1 + r) > R f : (4) La prima parte della relazione (4) ci dice che un progetto che ha successo è sempre in grado di ripagare il debito più gli interessi. La seconda parte indica 2

3 cha la banca preferisce avere indietro il prestito più gli interessi piuttosto che ottenere ciò che genera un progetto fallito. A questo punto, data la situazione sopra descritta, bisogna individuare l equilibrio del modello. Si noti che la banca deve decidere il tasso di interesse sul prestito (r) mentre gli imprenditori devono decidere se richiedere il prestito dato il tasso di interesse e data la probabilità di successo del loro progetto i: 3 L equilibrio Il modello sopra descritto non è un modello di interazione simultanea (come i modelli di Cournot e di Bertrand dove due imprese simultaneamente decidono rispettivamente quantità o prezzi), ma è un modello di interazione sequenziale dove, prima la banca ssa il tasso di interesse e poi gli imprenditori decidono se chiedere il prestito. Tale processo di interazione è concettualmente simile al modello di Stackelberg dove, come ricorderete (?), due imprese decidono la quantità da produrre non simultaneamente, bensì in maniera sequenziale. Tali modelli si risolvono applicando la così detta backward induction. In altre parole si parte da chi decide per ultimo cosa fare e poi si procede all indietro. 1 Nel nostro caso, quindi, si trova prima la scelta dell imprenditore (chiedere o non chiedere il prestito data la probabilità di successo del suo progetto) in funzione di r: Successivamente si studia la decisione della banca riguardo al tasso di interesse. La banca sceglierà in tasso di interesse che massimizza i suoi pro tti includendo nei suoi calcoli la funzione di reazione degli imprenditori rispetto ad r: Cominciamo quindi ad analizzare la decisione dell imprenditore i dato r: Successivamente analizzeremo la decisione della banca dato il comportamento degli imprenditori. 3.1 La scelta degli imprenditori Il pro tto atteso dell i-esimo imprenditore (E[ i ]) è dato da: Ricavando R s i E[ i ] = p i [R s i B(1 + r)] + (1 p i ) E[ i ] = p i [R s i B(1 + r)]: (5) dalla (3) otteniamo: R s i = R p i (1 p i ) p i R f (6) Sostituendo la (6) nella (5) otteniamo: R E[ i (1 p i ) ] = p i R f B(1 + r) p i p i 1 La backward induction porta all identi cazione dei sub game perfect Nash equilibria (roba terribile studiata nel corso di teoria dei giochi). (7) 3

4 ovvero: E[ i ] = R R f p i [B(1 + r) R f ]: (8) {z } > per l ipotesi (4) Dalla (8) si può vedere come al crescere di p i il pro tto atteso dell imprenditore diminuisce. i i < : (9) Si supponga adesso che le banche o rano un tasso di interesse > privo di rischio sui depositi. Un imprenditore che decide di non fare l investimento può depositare in banca la sua ricchezza W ed ottenere alla ne una ricchezza pari a W (1 + ). In questo contesto, a nchè gli imprenditori decidano di realizzare il progetto e chiedere il prestito è neccessario che valga la seguente relazione: E[ i ] W (1 + ): (1) Si consideri la posizione al margine ovvero la posizione in cui un imprenditore è indi erente tra la realizzazione del progetto e il deposito della ricchezza in banca: E[ i ] = W (1 + ): (11) Come abbiamo visto, E[ i ] dipende da p i : Quindi, i progetti che hanno una probabilità di successo p tale da soddisfare la relazione (1) come un uguaglianza saranno indi erenti tra fare il progetto e depositare i soldi in banca. Ma questo signi ca che tutti gli imprenditori che hanno progetti con una probabilità di successo p i > p, non chiederanno il prestito e depositeranno la loro ricchezza in banca (ricorda che se p " E[ i ] #). Esiste quindi un livello di probabilità p che separa i progetti che chiederanno il prestito da quelli che non domandano nanziamenti. Questi ultimi infatti, trovano più conveniente depositare i soldi ad un tasso di interesse privo di rischio. I progetti con probabilità di successo molto elevata generano un basso pro tto atteso per l imprenditore per cui egli preferirà depositare la sua ricchezza ed ottenere un interesse : Ma quale è il livello di probabilità p che separa i progetti che chiedono di essere nanziati da quelli che invece non vengono realizzati? Si può facilmente intuire che tale livello di probabilità p dipenderà dal tasso di interesse ssato dalla banca. Infatti, si consideri la relazione (11). Dato un certo tasso di interesse r tale relazione è soddisfatta per un livello di probabilità di successo pari a p: Se r aumenta, il lato sinistro della (11) diminuisce (vedi relazione (8)), per cui gli individui con progetti con probabilità di successo pari a p non sono più indi erenti ma preferiranno strettamente depositare i soldi ad un tasso di interesse sicuro. Di conseguenza la posizione al margine sarà rappresentata da progetti ancora più rischiosi ovvero da progetti caratterizzati da una più bassa probabilità di successo. In altre parole, il livello di probabilità p che separa i progetti che chiedono 4

5 il nanziamento da quelli che non lo chiedono è funzione inversa del tasso di interesse ssato dalla p = p(r) (12) con < : Il problema è un caso particolare della così detta selezione avversa. Più è alto il tasso di interesse chiesto dalla banca, minore è la probabilità di successo dei progetti che chiedono di essere nanziati. 3.2 La scelta della banca La banca ha come scopo quello di ssare il tasso di interesse r che massimizza il suo pro tto atteso. Essa, come vedremo, prenderà in considerazione il fatto che la sua decisione su r in uenza la qualità dei progetti che chiedono di essere nanziati. Se la banca conoscesse la probabilità di successo di ogni singolo progetto, il suo pro tto atteso sarebbe dato da: E[ b ] = B(1 + r)p i + (1 p i )R f : (13) Il problema è che la banca non conosce p i ma formula aspettative su tale valore per cui: E[ b ] = B(1 + r)e[p i ] + E[1 p i ]R f : (14) Nella relazione (1) abbiamo supposto che: E[p i ] = Z 1 p i g(p i )dp i : Ma adesso noi sappiamo che la banca non valuterà il valore atteso di p i sull intero supporto della distribuzione (; 1) in quanto essa sa che al variare del tasso di interesse che sarà ssato varierà l estremo superiore di integrazione. In altre parole, la media della probabilità di successo di un progetto viene valutata dalla banca all interno dei progetti che fanno domanda per essere nanziati e non tra tutti i progetti. Cosi facendo la banca ingloba nella sua decisione la funzione di reazione degli imprenditori. Quindi: E[p i ] = Z p p i g(p i )dp i : (15) E utile ricordare che l estremo superiore di integrazione è funzione di r: Più è alto il tasso di interesse chiesto dalla banca minore sarà l aspettativa formulata dalla banca sulla probabilità di successo del progetto i. 5

6 Sostituendo quest ultimo risultato nel pro tto atteso della banca (14) otteniamo: Z p E[ b ] = B(1 + r) Z p p i g(p i )dp i + (1 p i )g(p i )dp i R f : (16) La banca deve sceglire r che massimizza il suo pro tto atteso: ovvero: max r 8 >< B(1 + r) >: p(r) Z maxe[ b ] (17) r Z p i g(p i )dp i + p(r) (1 p i )g(p i )dp i R f (18) Dobbiamo fare la derivata prima della (18) rispetto ad r e porla uguale a zero. Prima di fare ciò è importante notare che l estremo superiore di entrambi gli integrali della (18) è funzione della variabile rispetto alla quale stiamo derivando (vedi la relazione (12)). La derivata di un integrale che contiene all estremo di integrazione una funzione della variabile rispetto alla quale stiamo derivando si e ettua utilizzando la regola di Leibniz, ovvero: la derivata dell estremo di integrazione che moltiplica l argomento dell integrale valutato nell estremo di integrazione. Nel nostro caso avremo la seguente condizione del primo b Z p = B Riordinando avremo: Z p B p i g(p i )dp i + B(1 + p (1 p)g(p)rf = : (19) p i g(p i )dp i {z } + p [B(1 + r)pg(p) + (1 {z p)g(p)r f ] = : } (2) + {z } Il primo elemento della (2) rappresenta l elemento che contiene l aumento di pro tto (il ricavo marginale) che l impresa fa quando aumenta il tasso di interesse (incassa più interessi). Questo è sempre positivo. Il secondo membro rappresenta il costo marginale dell aumento del tasso di interesse, ovvero un maggiore tasso di interesse attrae progetti più rischiosi e questo riduce il pro tto atteso della banca. Il tasso di interesse ottimale r ssato dalla banca è il tasso che uguaglia il costo ed il ricavo maginale. 2 2 Ovviamente la soluzione analitica di r dipende da g(p i ). 6

7 Figure 1: Relazione tra pro tto atteso e tasso di interesse per la banca L andamendo del pro tto atteso in funzione di r può essere rappresentato gra camente come illustrato nella Figura 1. Il tasso di interesse r è il tasso in corrispondenza del quale il pro tto atteso è massimo. In quanto segue, spiegheremo che la curva disegnata nella Figura 1 che mette in relazione il tasso di interesse con il pro tto atteso della banca, altro non è che la curva di o erta di prestiti in funzione del tasso di interesse. Si ricorda che, in generale, il tasso di rendimento di un investimento è dato dal pro tto generato dell investimento diviso la somma investita. Considerando l operazione di prestito fatta dalla banca, il tasso di rendimento atteso per la banca su ogni prestito (che è l investimento dal punto di vista bancario) è dato dal rapporto tra il pro tto atteso e la somma data a prestito (la somma investita dalla banca): Tasso di rendimento atteso = E[b ] B : (21) Si noti che l andamento del tasso di rendimento atteso rispetto al tasso di interesse r, rappresentato nella Figura 2 è esattamente pari alla relazione che esiste tra il pro tto atteso ed r descritta nella Figura 1 (stiamo solo dividendo per una costante). Si può dimostrare che sotto l ipotesi di concorrenza perfetta del settore bancario, il tasso di rendimento atteso per una singola banca è esattamente pari al tasso di interesse che la banca paga sui depositi, ovvero: 3 3 Tale condizione è simile a quella classica da voi studiata in microeconomia che ci dice che in concorrenza perfetta il prezzo di un bene deve essere pari al costo marginale che l impresa deve sostenere per produrre tale bene. 7

8 Figure 2: Relazione tra rendimento atteso e tasso di interesse per la banca = E[b ] B : (22) Abbiamo quindi una relazione tra il tasso di interesse sui depositi ed il tasso di interesse sui prestiti r: Disegnamo tale relazione, per una ragione di comodità che sarà chiara tra un attimo, nel Quadrante A di un sistema di assi cartesiani, come indicato nella Figura 3. Questo quadrante rappresenta il nostro punto di partenza nell analisi complessiva del gra co che verrà e ettuata tra un attimo. 4 Disegnamo ora, nel Quadrante B la relazione che esiste tra il tasso di interesse e la domanda di depositi (D) da parte degli imprenditori. Questa relazione è chiaramente crescente (non è necessario dare ad essa una forma particolare, disegnamo solo una generica curva crescente D). Si noti che la banca può dare a prestito solo i depositi che riceve, quindi i depositi non sono altro che la possibile o erta di prestiti (che indicheremo con L s ) che può essere e ettuata dalla banca. Con una retta a 45 possiamo trasferire i depositi nel Quadrante C e considerarli come l o erta dei prestiti L s che puo essere fatta dalla banca. Abbiamo quindi nel Quadrante C la relazione che intercorre tra l o erta di prestiti ed il tasso di interesse chiesto dalla banca. Ricavando tale curva per diversi livelli di r partendo dal Quadrante A si può vedere che essa è l immagine ri essa della curva sottostante. In altre parole la curva di o erta di prestiti della banca è pressochè la stessa che unisce il rendimento atteso all andamento del tasso di 4 Si noti che sia il Quadrante A che il Quadrante B sono composti da assi cartesiani con valori positivi. Sono disegnati rovesciati ma ciò non cambia la relazione tra le variabili. 8

9 interesse (quella nel Quadrante A). 5 Rimaniamo adesso nel Quadrante C dove abbiamo disegnato la curva di o erta di prestiti. A questo punto, possiamo disegnare, nello stesso quadrante la curva di domanda di prestiti L d in funzione di r: Come abbiamo visto in precedenza, maggiore è il tasso di interesse e minore sarà la domanda di prestiti. Avremo quindi una curva decrescente. Possiamo adesso vedere come il Quadrante C rappresenta un gra co di domanda e o erta di prestiti, dove però la curva di o erta non è una funzione strettamente crescente nel prezzo (il tasso di interesse) in virtù della selezione avversa. In questo gra co, domanda ed o erta sono in equilibrio nel punto E: Ma è tale punto raggiunto nella nostra economia? La risposta è no. Infatti in corrispondenza del punto E la banca dovrebbe ssare un tasso di interesse diverso da r e cioè dovrebbe ssare un tasso che non massimizza i suoi pro tti. La banca preferirà sempre ssare un tasso pari ad r : In corrispondenza di r domanda ed o erta di moneta non sono in equilibrio. Infatti siamo in presenza di un eccesso di domanda di prestiti. Tale eccesso di domanda non porterà ad un aumento di r poichè ciò ridurrebbe i pro tti per la banca. In equilibrio siamo in presenza di un mercato del credito razionato (credit rationing) in quanto in corrispondenza di un tasso di interesse r sono molti di più i progetti che vorrebbero essere nanziati rispetto a quelli che trovano un e ettivo nanziamento. Il segmento E E rappresenta l entità del credit rationing. 4 La politica monetaria nel breve periodo Data questa situazione dove l accesso al credito è limitato, si consideri l e etto di breve periodo di un aumento della base monetaria. Per de nizione di breve periodo si supponga che gli agenti non modi cano le loro abitudini ed i loro comportamenti di consumo. Se è aumentata la moneta in circolazione nell economia ed i comportamenti di consumo degli agenti non sono mutati, gli agenti non fanno altro che aumentare la quantità di depositi a parità di (depositano questo eccesso di moneta). Nella Figura 4, un aumento nella base monetaria si traduce in un abbassamento della curva dei depositi (da D a D ). Tale aumento dei depositi non fa altro che alzare la curva dell o erta dei prestiti nel breve periodo (da L s ad L s ) riducendo la quantità di progetti che non trovano nanziamento. Ovviamente, questo signi ca che la politica monetaria può in- uenzare il livello di produzione di un economia anche attraverso un canale che non passa attraverso il processo "tasso di interesse-investimenti-produzione". Il ruolo che la politica monetaria può avere in aree dove l accesso al credito è limitato può passare attraverso l aumento dell o erta di credito che porta alla realizzazione di un maggior numero di investimenti e ad un maggior livello di produzione. 5 La curva L s nel Quadrante C sarebbe esattamente uguale alla gura nel Quadrante A se la curva D fosse una retta a 45. In realtà l immagine nel Quadrante C è deformata rispetto a quella del Quadrante A a seconda della pendenza della curva D: Tra un attimo vedremo l e etto di una variazione di pendenza di tale della curva D sulla forma della curva L s : 9

10 Figure 3: Il sorgere del razionamento del credito 1

11 Figure 4: E etto di un espansione monetaria sul razionamento del credito. 11