Appello del 27/1/2017 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A, prof. Gianluca Amato

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1 Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 27//27 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova. (27 punti) Si consideri la funzione f : A R R data da f() =. (a) Calcolare, se possibile, f( ), f(), f() ed f(2). (b) Determinare l insieme di definizione A della funzione f. (c) Determinare i punti di frontiera di A e dire se A è aperto e/o chiuso. (d) Calcolare i seguenti limiti, se possibile: lim f() lim f() lim f() (e) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi. (f) Determinare il segno di f() al variare di. (g) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f. (h) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f. (i) Calcolare la derivata della funzione f. (j) Determinare i punti di minimo e massimo relativo. (k) Determinare i punti di minimo e massimo assoluto. (l) Determinare l insieme f(a) delle immagini di f. (m) Calcolare la derivata seconda della funzione f. (n) Determinare concavità, convessità e punti di flesso della funzione. (o) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. (p) Determinare una primitiva di f.

2 (q) Determinare l area compresa tra il grafico della funzione, l asse delle ascisse e le rette = ed = (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti: lim e e + sin( 2 ) lim (6 punti) Si consideri la seguente matrice: A = Calcolare la sua trasposta A T, e verificare che A T è anche l inversa di A.

3 Soluzione compito A. (a) f( ) non è calcolabile perché sarebbe necessario estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Gli altri valori sono tutti calcolabili, e abbiamo f() = =, f() = = = e infine f(2) = 2 2. Notare che potete lasciare scritto f(2) come 2 2, non c è bisogno che lo approssimiate con un numero decimale! (b) L unica operazione problematica è la radice quadrata. La radice quadrata è definita quando il suo argomento è maggiore o uguale a. Quindi, la funzione f è definita per. Dunque A = } o, volendo usare la notazione con gli intervalli, A = [, + ). (c) Siccome A è un intervallo, i punti di frontiera sono gli estremi (finiti) di A. Dunque, in questo caso abbiamo un solo punto di frontiera, il numero. Per definizione, un insieme è chiuso quando il suo complementare è aperto. Il complementare di A è R \ A = (+, ) che è un intervallo aperto perché non comprende gli estremi. Dunque A è chiuso. (d) Il lim f() non esiste, in quanto non è punto di accumulazione per l insieme di definizione di f. Visto che f è continua, il lim f() si calcola facilmente per sostituzione e otteniamo lim f() = f() =. Per +, una semplice applicazione delle regole di calcolo dei limiti ci restituisce una forma indeterminata: lim f() = lim ( ) = lim Procediamo allora come segue: lim f() = lim ( ) = ( ) = lim lim ( lim ( lim ) = = +. ) = + ( ) = +, dove lim = perché è un infinito di ordine superiore rispetto a per +. (e) L intersezione con l asse delle ordinate è il punto di coordinate (, f()), ovvero O (, ). Per determinare l intersezione con l asse delle ascisse, bisogna risolvere l equazione f() =, ovvero =. Infatti, se f() =, allora (, ) è un punto di intersezione con l asse delle ascisse. Abbiamo: 2 = 2 = = = ( ) = = oppure = = oppure =. I punti di intersezione cercati sono quindi O (, ) e X (, ).

4 (f) Determinare il segno di f() al variare di vuol dire determinare per quali valori di la f() è positiva e per quali è negativa. Non vuol dire determinare se è pari e/o dispari, come invece alcuni di voi hanno fatto! Per rispondere alla domanda, potremmo risolvere le disequazioni f() > ed f() <, ma c è un metodo più semplice. Abbiamo già trovato i punti in cui f() =, ovvero = e =. Siccome f è continua, il suo valore non può cambiare di segno né nell intervallo (, ), né nell intervallo (, + ). Pertanto, è sufficiente calcolare il valore di f in un solo punto in questi intervalli per determinare il segno della funzione su tutti i punti dell intervallo. Siccome f(/) = / / = / /2 = / < e f() = = 2 = 2 >, abbiamo che f() < per (, ) e f() > per (, + ). (g) Siccome la f è continua, asintoti verticali possono esistere solo nei punti di frontiera dell insieme di definizione. Abbiamo visto che è l unico punto di frontiera. Ma siccome lim f() = è un numero finito, f non ha asintoti verticali per. Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali, abbiamo già visto che lim f() = +. Questo vuol dire che f non ha asintoti orizzontali per +. Siccome f non è definita per numeri negativi, non può avere asintoti orizzontali per. (h) Per gli asintoti obliqui, occorre prima determinare, se esiste, il seguente limite: m = f() lim = lim = = lim ( ) = lim =. Siccome questo limite esiste, è finito, ed è diverso da zero, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Calcoliamo allora quest altro limite: q = lim (f() m) = lim (f() ) = = lim ( ) = lim =. Siccome il limite esiste ma è infinito, non c è un asintoto obliquo. Se q fosse stato finito, allora ci sarebbe stato un asintoto obliquo di equazione y = m + q. Siccome f è definita solo per numeri positivi, non ha senso cercare asintoti obliqui per. (i) Per definizione f () = D[f()] = D[ ] = D[] D[ ] = 2. Se non ci si ricorda la derivata di, niente paura, basta riscrivere come 2 e utilizzare la formula standard per i polinomi, ovvro D[ α ] = α α. Otteniamo allora: D[ ] = D[ 2 ] = 2 = = 2. (j) Per determinare i punti di minimo e massimo relativo, bisogna studiare il segno della funzione f (). Risolviamo la disequazione f (), e

5 otteniamo: f () Dunque f () per, mentre f () < per < (o, più correttamente, per < <, perché per la f () non è definita). Ne consegue che f() è crescente per e decrescente per < <. Possiamo visualizzare la situazione come segue: f() + f () Si vede allora chiaramente che è un punto di minimo relativo mentre è un punto di massimo relativo. (k) Siccome c è un solo punto di minimo relativo (ovvero /), e la funzione f() + per +, allora è anche punto di minimo assoluto. Inoltre, proprio perché f() + per +, la funzione non ha un massimo assoluto. (l) Il punto di minimo assoluto è, per il quale la funzione assume il valore f ( ) = = =. La funzione assume valore arbitrariamente 2 grandi perché lim f() = +. Siccome è continua, assume tutti i valori maggiori di. Dunque f(a) = [, + ). (m) Per definizione f () = D[f ()] = D[ 2 ] = D[] D[ 2 ] = 2 D[ 2 ] = ( 2 2 ) 2 = 2 =. (n) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso, bisogna studiare il segno della funzione f (). È ovvio che f () è sempre positiva per tutti i valori di > (per non è definita). Quindi f è sempre convessa e non ci sono punti di flesso.

6 (o) Ecco il grafico della funzione.6..2 O X.2 (p) Abbiamo f() d = m ( ) d = d d = = 2 2 /2 d = 2 2 /2+ /2 + = dove per comodità mettiamo tutte le costanti degli integrali indefiniti uguali a zero. Dunque F () = 2 2 è una primitiva di f. 2 (q) Dai punti (f) ed (o) si vede che f() è positiva per < < 2 e negativa per < <. Per determinare l area in questione, dobbiamo allora calcolare separatamente i due integrali f() d e 2 f() d, e poi sommare i risultati. Usando la primitiva calcolata al punto di prima, abbiamo: e inoltre 2 f() d = f() d = 2 f() = = ( ) d = = ( ) d = [ [ ( ) ] ] 2 ( = 2 2 ) = 6, = ( 2 2 ) = L area cercata è quindi = Per quanto riguarda il primo limite, si noti che sin( 2 ) è sempre limitato tra ed, quindi è un infinito di ordine inferiore di e per +. Pertanto,

7 rimpiazzando numeratore e denominatore con l infinito di ordine superiore, abbiamo e lim e + sin( 2 ) = lim e e = lim =. Per il secondo limite, una semplice sostituzione ci restituisce una forma indeterminata /. Si noti che 2, 2 e gli altri termini che compaiono nel limite non sono infinitesimi per. Pertanto, non possiamo risolvere il limite usando le proprietà degli infinitesimi. Invece, dobbiamo scomporre numeratore e denominatore della frazione in prodotti di polinomi di grado più piccolo. Siccome sia numeratore che denominatore si azzerano per =, sappiamo che entrambi sono divisibili per. Applicando Ruffini, o altri metodi analoghi, otteniamo = ( ) 2 e = ( )( + 2). Pertanto: lim = lim ( ) 2 ( )( + 2) = lim = / = La trasposta si ottiene scambiando le righe con le colonne. Otteniamo allora: A T = T = T = Per mostrare che A T è l inversa di A NON BISOGNA calcolare A, cosa molto più complessa e che non abbiamo neanche spiegato a lezione! È sufficiente mostrare che A T ha le proprietà che dovrebbe avere se fosse l inversa, ovvero che AA T è la matrice identica. Abbiamo AA T = che, con un po di conti, si vede essere proprio la matrice identica I..

8 Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 27//27 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito B, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova. (27 punti) Si consideri la funzione f : A R R data da f() = log e si tenga conto del limite notevole lim log =. (a) Calcolare, se possibile, f( ), f(), f() ed f(2). (b) Determinare l insieme di definizione A della funzione f. (c) Determinare i punti di frontiera di A e dire se A è aperto e/o chiuso. (d) Calcolare i seguenti limiti, se possibile: lim f() lim f() lim f() (e) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi. (f) Determinare il segno di f() al variare di. (g) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f. (h) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f. (i) Calcolare la derivata della funzione f. (j) Determinare i punti di minimo e massimo relativo. (k) Determinare i punti di minimo e massimo assoluto. (l) Determinare l insieme f(a) delle immagini di f. (m) Calcolare la derivata seconda della funzione f. (n) Determinare concavità, convessità e punti di flesso della funzione. (o) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso.

9 (p) Verificare che 2 log 2 è una primitiva di f. 2 (q) Determinare l area compresa tra il grafico della funzione, l asse delle ascisse e le rette = ed = (6 punti) Si risolvano le seguenti disequazioni: e > e +. (6 punti) Si consideri la seguente matrice: A = ( ) 2 Calcolare la sua trasposta A T, e verificare che A T è anche l inversa di A.

10 Soluzione del compito B. (a) f() e f() non si possono calcolare perché l argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di. Invece abbiamo f() = log = = e f(2) = 2 log 2 (quest ultimo può rimanere così, non c è bisogno di scriverne una approssimazione decimale). (b) L unica operazione problematica è il logaritmo. Sappiamo che l argomento del logaritmo deve essere un numero strettamente maggiore di. Quindi la funzione è definita per >, ovvero A = (, + ). (c) Essendo A un intervallo, i punti di frontiera sono i suoi estremi finiti. In questo caso abbiamo un solo punto di frontiera, lo. L intervallo è aperto perché non contiene i suoi estremi. (d) Il limite per non si può calcolare perché non è punto di accumulazione dell insieme di definizione A di f. Per, essendo f continua, si ha lim f() = f() =. Per + una semplice applicazione delle proprietà dei limiti ci da lim log = (lim )(lim log ) = + + = +. (e) f non ha intersezione con l asse delle ordinate perché f() non esiste. Per determinare l intersezione con l asse delle ascisse, si risolve l equazione f() =. Abbiamo che log = esattamente quando log = (il caso = non va bene perché f() non è definita). Naturalmente log = solo quando =. Per cui abbaiamo una intersezione con l asse delle ascisse nel punto di coordinate X (, ). (f) Siccome f è continua e si annulla solo in, per determinare il segno di f() basta provare con un valore di > e un valore di < (più precisamente < <, altrimenti usciamo dall insieme di definizione di f). Infatti, il segno di f non cambia nei due intervalli (, ) e (, + ). Per = e > abbiamo f(e) = e log e = e > mentre per = /e < abbiamo f(/e) = /e log(/e) = /e log e = /e <. Ne segue che f() < per < < ed f() > per >. (g) Gli asintoti verticali di f(), se ci sono, sono in corrispondenza dei punti di frontiera di A. Il testo dell esercizio ci dice che lim log = (se si prova a risolverlo direttamente viene una forma indeterminata). Dunque non ci sono asintoti verticali. Per determinare eventuali asintoti orizzontali calcoliamo lim f() che sappiamo già essere +. Non esistono pertanto asintoti orizzontali per +. Visto che la funzione non è definita per valori di negativi, non ci sono sicuramente asintoti orizzontali per. (h) Per determinare eventuali asintoti obliqui, calcoliamo m = lim f()/. Viene f() m = lim = lim log = +. Dunque non ci sono asintoti obliqui per +. Visto che la funzione non è definita per valori di negativi, non ci sono sicuramente asintoti obliqui per. (i) Per definizione, si ha f () = D[f()] = D[ log ] = D[log ]+D[] log = / + log = + log.

11 (j) Per determinare i punti di minimo e massimo relativo, occorre studiare il segno della funzione f (). Risolviamo allora la disequazione f (). Abbiamo: f () + log log Qualcuno nel compito ha concluso che questa è sempre vera perché log è sempre positivo. Niente di più falso!!!! È l argomento di log che deve essere positivo, altrimenti log non esiste, ma il risultato di log può essere negativo. Basta pensare al grafico della funzione logaritmo, che è negativo per <. Le soluzioni di log sono le stesse della disequazione che si ottiene ponendo e elevato al primo membro maggiore o uguale di e elevato al secondo membro. Ovvero: log e log e /e. Dunque f () per /e, ed ovviamente sarà f () < per < < /e. Questo, a sua volta, vorrà dire che f() è crescente per /e e decrescente per < /e. Pertanto /e è punto di minimo locale. Notare che non è punto di massimo locale, perché f non è definita in. (k) Poiché /e è l unico punto di minimo locale, e la funzione cresce quando ci allontaniamo da /e, si ha che /e è anche punto di minimo assoluto. La funzione non ha massimo assoluto perché f() + quando +. (l) Nel punto di minimo assoluto, la funzione assume il valore f(/e) = /e log(/e) = /e log(e ) = /e. Siccome f() + quando +, la funzione assume valori grandi a piacere. Essendo f continua, abbiamo che f() assume tutti i valori maggiori o uguali di /e, ovvero f(a) = [ /e, + ). (m) Per definizione f () = D[f ()] = D[ + log ] = D[] + D[log ] = /. (n) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso bisogna studiare il segno di f (). È ovvio che per i valori in cui f() è definita, ovvero >, si ha f () = / >. Dunque f() è sempre convessa e non ci sono punti di flesso. (o) Ecco il grafico della funzione:.5.5 X.5 m.5.5 2

12 (p) Per determinare se F () = 2 log 2 2 è una primitiva di f NON È NECESSARIO calcolare l integrale indefinito di f, che è una operazione complessa che richiede di utilizzare il metodo di integrazione per parti che non abbia neanche spiegato a lezione. Invece, bisogna semplicemente usare la definizione di primitiva: F è una primitiva di f se la derivata di F è f. Abbiamo [ ] F 2 log() () = D 2 = 2 2 D[2 log ] D[2 ] = = 2 (D[2 ] log + 2 D[log ]) 2 = 2 (2 log + 2 ) 2 = = log + 2 = log. 2 Siccome otteniamo proprio f(), allora F () è una primitiva di f(). (q) Dal grafico della funzione, oltre che dal punto (f) di questo esercizio, sappiamo che f() è positiva per > e negativa per < <. Per calcolare l area in questione, allora, dobbiamo determinare separatamente f() d e 2 f() d e sommare i due risultati. Sappiamo già qual è la primitiva di f(), pertanto: e 2 f() d = [ 2 log f() d = 2 [ ] 2 log f() d = 2 = / 2 ] 2 2 = (2 log 2 ) ( /) = 2 log 2 /. Sommando i due valori abbiamo che l area complessiva è 2 log 2 /2. In realtà abbiamo un po barato. Nel determinare f() d abbiamo ] scritto [ f() d = 2 log 2 ma il valore al secondo membro non 2 si potrebbe calcolare, perché log non è definito per =. Il modo corretto di scrivere questi passaggi (ma nel compito andava bene anche la formulazione abbreviata di sopra) è questa: [ ] 2 log f() d = lim 2 = ɛ + 2 ɛ = lim ɛ + [ ( )] ɛ 2 log ɛ ɛ2. 2 Ricordando che lim log =, si verifica che questo limite è /. 2. Per la prima disequazione, prendendo il logaritmo di entrambi i membri otteniamo: e > e log e > log e > log e > 2 > >

13 Per la seconda, abbiamo + + ( + ) > > Consideriamo la disequazione L equazione associata (ovvero = ) ha discriminante = = <. Dunque, poiché il segno del termine di II grado è concorde con il segno della disequazione, si ha che la disequazione è sempre verificata. Quindi >. > La disequazione è quindi verificata per tutti gli >.. La trasposta di una matrice si ottiene invertendo le righe con le colonne. Abbiamo dunque: A T = [ 2 ( )] T = ( ) T = ( ) 2 2 Per mostrare che A T è l inversa di A NON BISOGNA calcolare A, cosa molto più complessa e che non abbiamo neanche spiegato a lezione! È sufficiente mostrare che A T ha le proprietà che dovrebbe avere se fosse l inversa, ovvero che AA T è la matrice identica. Abbiamo AA T = ( ) ( ) = ( ) ( ) 2 2 che dopo qualche calcolo si vede essere proprio uguale alla matrice identica I.