Soluzioni delle Esercitazioni II 24 28/09/2018 = 1 2 = 1±3 4. t = 1± 1 4

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1 oluzioni delle Esercitazioni II 4 8/09/08 A Equazioni intere i ha: + = 3 4 Portando a sinistra le e a destra le costanti diventa 6 =, = 3 + = 0 Raccogliendo si può riscrivere come ( + ) = 0, che ha per soluzioni = 0 oppure = L insieme delle soluzioni si può scrivere con = {0, } 3 = 0 Dalla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha = ± +8 4 = ±3 4 = oppure L insieme delle soluzioni è quindi = {,} = 0 Il primo membro è il quadrato di un binomio e si ha l equazione equivalente ( ) = 0, che ha per soluzione = L insieme delle soluzioni è quindi = { } = 0 i può semplicemente riscrivere come 3 =, che ha per soluzione soltanto = = 0 i potrebbe cercare di fattorizzare il polinomio con il teorema di Ruffini ma è più semplice fare un doppio raccoglimento: (+) (+) = 0, (+)( ) = 0, ancora (+) ( ) = 0 Le soluzioni sono evidentemente = oppure = = 0 i tratta di un equazione trinomia in Possiamo usare il cambio di variabile = t e l equazione diventa di secondo grado in t: t +t+ = 0 La formula risolutiva porta a t = ± 4 Il discriminante risulta negativo e quindi non ci sono soluzioni in t Ovviamente non ci sono soluzioni nemmeno in i poteva anche osservare fin dall inizio che l equazione non può avere soluzioni perché 4 + +, essendo somma di quantità non negative, di cui una certamente positiva, è sicuramente una quantità positiva per ogni 8 Con il cambio di variabile = t l equazione si può scrivere t +t = 0, le cui soluzioni sono t = ± 5 Questa porta a cercare le soluzioni dell equazione in ponendo = + 5 oppure = 5 Dalla seconda scrittura non abbiamo soluzioni dato che 5 è negativo Dalla prima invece otteniamo le due soluzioni = + 5 oppure = i tratta di un equazione trinomia in 3 Con il cambio di variabile 3 = t l equazione diventa t +t = 0, che è la stessa di prima Le soluzioni sono t = ± 5 Le soluzioni in vanno cercate ponendo dalle quali si ricava 3 = 5 = 3 5 oppure 3 = + 5 oppure = A Peretti Corso di Matematica UNIVR ede di Vicenza

2 B Equazioni e disequazioni fratte, sistemi di disequazioni Equazioni fratte L equazione + = richiede che sia 0 e, portando tutto a sinistra, diventa + + = 0, = 0 La frazione si annulla se e solo se si annulla in numeratore, quindi l ultima equivale a + = 0, = 0 Con la formula risolutiva si ha = ± +4 = ± 5 (entrambe accettabili) Quindi l insieme delle soluzioni è = { 5, + 5 } L equazione = richiede che sia Portando tutto a sinistra diventa ( ) = 0, + = 0 La frazione si annulla se e solo se si annulla in numeratore, quindi l ultima equivale a = 0 Con la formula risolutiva (possiamo qui usare la formula ridotta) si ha = ± + Quindi l insieme delle soluzioni è = { 3, + 3 } = ± 3 ( )(+) 3 L equazione + = richiede che sia Portando tutto a sinistra diventa + = 0, ++ + = 0 La frazione si annulla se e solo se si annulla in numeratore, quindi l ultima equivale a = 0 Con la formula risolutiva (possiamo anche qui usare la formula ridotta) si ha = ± + = ± 3 Quindi l insieme delle soluzioni è = { 3,+ 3} Disequazioni di primo e secondo grado 4 3 equivale a 4, quindi Possiamo anche scrivere = (, ] Una rappresentazione grafica può essere questa: 5 0 equivale a ( ) 0, quindi le soluzioni sono per valori interni : 0 o anche = [0,] L equazione corrispondente ha per soluzioni = 3 oppure = La disequazione è verificata per valori esterni: 3 oppure Possiamo anche scrivere = (, 3 ][,+ ) > 0 Conviene anzitutto cambiare segno e verso della disuguaglianza Quindi scriviamo < 0 L equazione corrispondente ha per soluzioni = ± La disequazione è quindi verificata per valori interni alle due radici, quindi per < < + Abbiamo anche = (,+ ) + 8 > 0 equivale alla < 0 Le radici dell equazione corrispondente sono ± e le soluzioni della disequazione sono quindi per valori interni e < <, ossia = (, ) Le soluzioni dell equazione corrispondente vanno cercate con la formula = ± 3 e quindi non ci sono soluzioni reali Pertanto il polinomio +3 è sempre positivo e quindi la disequazione data non ha soluzioni, = A Peretti Corso di Matematica UNIVR ede di Vicenza

3 0 Il sistema { 4 < equivale a Quindi le soluzioni sono l intervallo = [,4) { < 4 4 / Il sistema { < 0 Quindi il sistema non ha soluzioni ( = ) equivale a { 3 > /3 / Nel sistema { > / l insieme delle soluzioni della prima disequazione è = (, )(,+ ); l insieme delle soluzioni della seconda disequazione è = (, ]; l intersezione dei due è l insieme = (, ) 3 Nel sistema { l insieme delle soluzioni della prima disequazione è = [,]; l insieme delle soluzioni della seconda disequazione è = [,3]; l intersezione dei due è l intervallo = [,] 4 ( + ) 0 Ricordo che in generale un prodotto di due fattori è non negativo ( 0) se e solo se i due fattori sono entrambi non negativi (entrambi 0) oppure entrambi non positivi (entrambi 0) Allora possiamo scrivere che la disequazione data equivale ai due sistemi { 0 (+) 0 oppure { 0 (+) 0 Ora basta risolvere separatamente questi due sistemi Aiuta la rappresentazione grafica 0 oppure Il primo sistema ha per soluzioni le 0, il secondo soltanto la soluzione = Pertanto le soluzioni sono date dall insieme = { }[0,+ ) 5 ( ) > 0 imile alla precedente Ricordando che in generale un prodotto di due fattori positivo se e solo se i due fattori sono entrambi positivi oppure entrambi negativi, possiamo scrivere che la disequazione data equivale ai due sistemi { > 0 ( ) > 0 oppure 0 { < 0 ( ) < 0 Anche qui risolviamo separatamente questi due sistemi Aiuta la rappresentazione grafica 0 oppure Il primo sistema ha le soluzioni (0,) (,+ ), il secondo non ha soluzioni Pertanto le soluzioni sono date dalle soluzioni del primo sistema, e dall insieme = (0,)(,+ ) 6 La disequazione 4 < 0 equivale alla ( +)( ) < 0 Ora si può osservare che il primo fattore è sempre positivo e quindi la disequazione equivale ancora alla < 0, che ha per soluzioni i valori interni alle soluzioni dell equazione corrispondente, che sono e Pertanto abbiamo le < <, = (,) i ha: > 0 equivale a > 0, con la condizione di esistenza che 0 Possiamo procedere con i due sistemi, osservando che la disequazione equivale a { { + > 0 + < 0 > 0 < 0 0 A Peretti Corso di Matematica 3 UNIVR ede di Vicenza

4 e si trova facilmente che le soluzioni complessive sono l insieme = (, )(0,+ ) Oppure si può procedere con lo studio del segno di numeratore e denominatore In questo caso,dopoaverosservatocheilnumeratoreèpositivoper> eildenominatoreèpositivo per > 0, conviene fare una rappresentazione come quella qui a fianco, dove riportiamo il segno dei due termini + + N 0 + D + + N/D 0 Risulta che la frazione è positiva per valori esterni a e 0 (entrambi sono da escludere in quanto uno annulla il denominatore e l altro non è soluzione poiché non vogliamo che la frazione si annulli) Quindi le soluzioni sono l insieme = (, )(0,+ ) richiede la condizione di esistenza che ed equivale a Qui si può osservare che il numeratore è sempre positivo Quindi la disequazione equivale a + < 0, < Nel caso si voglia procedere con i due sistemi, questi sono (i due termini devono avere segno opposto): { < 0 { > 0 Lo studente provi a continuare nella ricerca della soluzione per questa via 9 richiede la condizione di esistenza che 0 ed equivale a sistemi si ha (segni opposti) { { < 0 > 0 0, + 0 Con i due Il polinomio di secondo grado ha due zeri reali distinti ed è positivo per valori esterni Il denominatore è immediato Tenendo conto di questo si provi a risolvere i due sistemi Procediamo invece con lo studio dei segni Il numeratore si annulla in = ± 5 ed è positivo per valori esterni Il denominatore è ovviamente positivo per > 0 Allora, aiutandoci con lo schema qui a fianco, in cui ho chiamato e i due zeri del numeratore, si vede che i valori per cui la frazione data è minore o uguale a zero sono dati dall insieme = (, 5 ](0, + 5 ] C Disequazioni non razionali + + N D + + N/D 0 3 La radice ha indice dispari e quindi non ci sono condizioni di esistenza Possiamo elevare alla terza e otteniamo, 0 + > 3 Qui la radice ha indice pari e quindi dobbiamo porre una condizione di esistenza Poi possiamo elevare al quadrato perché ambo i membri sono non negativi Possiamo quindi scrivere il sistema equivalente { > 9 { > 4 Le soluzioni sono quindi l intervallo (4, + ) 3 3 Radice terza, quindi nessuna condizione Elevando alla 3 a otteniamo 3, ( ) 0 Da uno studio del segno (o dall unione di due sistemi) si trova che le soluzioni sono l insieme [,0][,+ ) 4 La disequazione + richiede anzitutto la condizione di esistenza Poinon possiamo semplicemente elevare al quadrato ambo i membri, dato che il segno della che c è a destra potrebbe anche essere negativo (nelle condizioni di esistenza) Dobbiamo distinguere i due casi Anzitutto osservando che se < 0 si hanno certamente soluzioni valide, dato che il termine di sinistra, essendo maggiore o uguale a zero, sarà certamente di quello di destra Nel caso invece di 0 possiamo elevare al quadrato dato che entrambi i membri sono non negativi In definitiva l equazione equivale ai due sistemi { + 0 < 0 { 0 0 { < 0 Faccio notare che se avessimo, come condizione di esistenza, ad esempio, potremmo elevare al quadrato senza grossi problemi, senza porre ulteriori condizioni A Peretti Corso di Matematica 4 UNIVR ede di Vicenza

5 Lesoluzionidelprimosistemasonol insieme = [0, + 5 ]; lesoluzionidelsecondosistemasonol insieme = [,0); le soluzioni della disequazione iniziale sono quindi l insieme = [, + 5 ] 5 La disequazione > + è simile per molti aspetti alla precedente Richiede la condizione di esistenza Anche in questo caso non possiamo semplicemente elevare al quadrato, dato che il segno del termine di sinistra potrebbe essere negativo Occorre quindi considerare il segno di e < 0 questa volta non possiamo avere soluzioni, dato che il termine di sinistra non potrà essere maggiore di quello di destra, che è certamente non negativo e invece 0 possiamo elevare al quadrato La disequazione equivale allora al solo sistema ( ) > + 3 > 0 Aiutandosi con un grafico si trova che le soluzioni sono l intervallo [, 3 3 ) 6 Nella disequazione + scriviamo anzitutto la condizione di esistenza 0 Conviene poi isolare la radice e riscrivere Ora questa equivale all unione dei due sistemi { 0 < 0 { 3+ 0 { 0 < Le soluzioni del primo sistema sono l insieme = [, 3+ 5 ]; le soluzioni del secondo sistema sono l insieme = [0,); le soluzioni della disequazione iniziale sono quindi l insieme = [0, 3+ 5 ] D Disequazioni esponenziali La disequazione > 3 equivale alla > 5 e quindi alla > 5 La (doppia) disequazione equivale a / e quindi alla 3 La disequazione equivale alla > 3 e, scrivendo 3 come potenza in base abbiamo > log 3, da cui > log 3 i ricava infine < log 3 4 La disequazione equivale alla e 3 5 Ora, scrivendo 5 come potenza di base e abbiamo e3 e ln 5 e quindi 3 ln 5 Ricavando la si ottiene prima 3 ln 5 + e infine 3 (ln 5 +) 5 Nella disequazione 3 3 > 0 possiamo porre 3 = t La disequazione diventa t t > 0, che è verificata per t < oppure t > Tornando alla variabile queste significano 3 < oppure 3 > La prima è impossibile; la seconda equivale a > log 3 e queste sono le soluzioni della disequazione iniziale 6 Con il cambio di variabile e = t si ottiene la disequazione di secondo grado (in t) t t 3 < 0, che ha per soluzioni < t < 3 Queste portano alla doppia disequazione < e < 3 La disequazione di sinistra (e > ) è sempre vera, quella di destra (e < 3) equivale alla < ln3 e queste sono le soluzioni della disequazione data E Disequazioni logaritmiche Nella disequazione log 3 ( ) dobbiamo porre la condizione di esistenza (argomento del logaritmo positivo) Possiamo scrivere il sistema equivalente { > 0 log 3 ( ) log 3 3 { < 3 { < Le soluzioni sono quindi l intervallo [, ) La disequazione log + 5 equivale al sistema { > 0 log { > 0 log log 4 { > 0 4 Le soluzioni sono quindi l intervallo (0, 4] A Peretti Corso di Matematica 5 UNIVR ede di Vicenza

6 3 La disequazione log ( ) < equivale al sistema { > 0 log ( ) < log { > 0 < 0 { ( ) > 0 (+)( ) < 0 La prima è verificata per valori esterni alle radici 0 e, la seconda per valori interni alle radici e Con l aiuto di un grafico si trova che le soluzioni sono l insieme (,0)(,) 4 La disequazione log 3 (4+5) < 6 equivale al sistema { 4+5 > 0 log 3 (4+5) < 3 { 4+5 > < 7 { > 5 4 < 4 Le soluzioni sono quindi l intervallo ( 5 4, 4 ) 5 La disequazione log log < 0 richiede la condizione di esistenza > 0 Poniamo poi log = t La disequazione diventa t t < 0, che ha per soluzioni 3 < t < 4 Tornando alla variabile queste si scrivono 3 < log < 4, log 8 < log < log 6, e quindi le soluzioni sono date dall intervallo ( 8,6) (la condizione di esistenza è rispettata) 6 La disequazione ln + ln 0 richiede anzitutto la condizione di esistenza > 0 Ponendo poi ln = t essa diventa t +t 0 e questa ha per soluzioni t oppure t 0 Tornando alla variabile queste significano ln oppure ln 0 La seconda è verificata per e la prima per e Tenendo conto della condizione di esistenza le soluzioni sono (0, e ][,+ ) A Peretti Corso di Matematica 6 UNIVR ede di Vicenza