Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 2 Dicembre Dominio di Funzioni

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1 Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 06/07 Pietro Pastore Lezione del Dicembre 06 Dominio di Funzioni Determinare il dominio delle seguenti funzioni ) x +3x. fx) =. Il dominio si trova considerando che il radicando non deve essere negativo e quindi bisogna risolvere la seguente disequazione ) x +3x 0. É di tipo esponenziale e procediamo come segue ) x +3x ) x +3x x 3x 0 x 3x x 3x 0 x + 3x + 0 ) risolviamo l equazione associata x + 3x + = 0 = 3 )) = 9 8 = x / = 3 ± = 3 ± x = x = e la parabola è la seguente

2 perciò le soluzioni della disequazione ) sono i valori per i quali la parabola si trova al di sotto dell asse, comprendendo anche i valori in cui c è l intersezione e quindi x. Allora il dominio che stavamo cercando è. fx) = log 3x ) log D f = [, ]. x + 7 ). Bisogna risolvere il seguente sistema 3x > 0 x + 7 > 0 log 3x ) log x + 7 ) 0 positività del primo argomento positività del secondo argomento radicando non negativo La prima disequazione è verificata se x > 3. Risolvendo la seconda otteniamo x + 7 > 0 8x + 7 > 0 8x + 7 > 0 x > 7 8.

3 Per la terza procediamo nel modo seguente log 3x ) log x + 7 ) 0 log 3x ) log x + 7 ) 3x x + 7 x 8x + 7 x 8x + 7 x x. Rappresentiamo graficamente le soluzioni trovate Dis. A Dis. B Dis. C da cui si evince che la soluzione comune alle tre disequazioni è x. Quindi il dominio è D f = ) 3. fx) = log 5 x 3x 5 x. [ ), +. Si tratta di una funzione logaritmica, quindi il suo argomento deve essere positivo. Allora risolviamo 5 x 3x 5 x > 0 5 x 3x > 5 x x 3x > x x x + 3 > 0 ) 3

4 risolviamo l equazione associata x x + 3 = 0 = ) )3) = 6 = x / = ) ± = ± x = 3 x = e la parabola è la seguente 3 e la soluzione della disequazione ) è x < x > 3. Il dominio cercato è D f =, ) 3, + ) Ulteriori esercizi consigliati. Determinare il dominio delle seguenti funzioni. fx) = 3 x 3 x. fx) = log x 8) ) x ) x 3. fx) = 3 +. fx) = log 9 x 3 x + 3) Calcolare i seguenti iti Calcolo di iti. x 9 x x). Sostituendo 9 al posto della x otteniamo x x) = 9 9 = 9 3 = 6. x 9

5 x. x. Se sostituiamo al posto della x otteniamo 0 al denominatore. Nell algebra dei iti un rapporto del tipo N 0, N 0 vale infinito). Inoltre considerando che possiamo dire che x + x = + x > 0 x > x x = dove con + intendiamo dire che la x si avvicina a da destra, ossia per valori più grandi di e con ci riferiamo al fatto che la x tende a da sinistra, ossia per valori più piccoli di. x 9 3. x 3 x 3x. Se alla x diamo il valore 3 otteniamo 0 sia al numeratore che al denominatore. In tale caso siamo di fronte ad una forma di indecisione o forma indeterminata 0 0 ossia non si riesce a stabilire subito quanto vale il ite. Nel caso di funzioni polinomiali fratte questi casi di indecisione si risolvono scomponendo i polinomi. In particolare al numeratore abbiamo una differenza di due quadrati che può essere scomposta mediante a b = a b)a + b). Invece al denominatore possiamo raccogliere a fattor comune la x. Per quanto detto il ite diventa x 3 x 9 x 3x = x 3)x + 3) x 3 xx 3) semplificando il fattor 3) e sostituendo x = 3 otteniamo x + 3 = 6 x 3 x 3 =. 5

6 x 7x +. x x 5x +. Anche in questo ite se andiamo a sostituire al posto della x otteniamo una forma indeterminata 0 0. Per scomporre i trinomi di secondo grado presenti nella frazione utilizziamo le soluzioni delle equazioni di secondo grado associate. E quindi andiamo a scrivere x 7x + = 0 = 7) )) = 9 8 = x / = 7) ± = 7 ± x = 3 x = che porta alla seguente scomposizione x 7x + = x x )x x ) = x 3)x ) per il denominatore abbiamo x 5x + = 0 = 5) )) = 5 6 = 9 x / = 5) ± 9 = 5 ± 3 x = x = che porta alla seguente scomposizione x 5x + = x x )x x ) = x )x ). Allora riscriviamo il ite x 7x + x x 5x + = x 3)x ) x x )x ). Semplificando il fattor ) e sostituendo x = abbiamo x 3 x x = 3 5. x 0. Sostituendo 0 al posto della x si ricava x 0 = e0 e 0 = 0 = 6

7 Per capire cosa accade a destra e a sinistra di 0, rispettivamente per 0 + e 0, studiamo il segno della frazione presente nel ite. Quindi risolviamo > 0 e separando numeratore e denominatore si ha N > 0 x R D > 0 > x > 0. Rappresentiamo il segno 0 N D N D + dal quale si evince che x 0 + = + x 0 = 6. x + log x ). Se sostituiamo x = otteniamo 0 nell argomento del logaritmo. Siccome x tende a da destra, lo 0 ottenuto nell argomento del logaritmo è uno 0 +. Dal grafico seguente in cui è rappresentata la funzione logaritmica con base maggiore di, si osserva che, se l argomento del logaritmo si avvicina a 0 da destra, essa 7

8 assume valori sempre più negativi e quindi possiamo dire che al ite il log 0 + =. Perciò il ite cercato è ) 7. log. x + x Sostituendo si ottiene log x + log x ) = log 0 + = x + ) ) = log x 0 + = log + ) Sempre considerando il grafico precedente notiamo che se l argomento del logaritmo diventa sempre più grande, anche il valore del logaritmo aumenta sempre di più. Questo significa che il ite suddetto è uguale a x x. Considerando ch tende a siamo di fronte al rapporto N con N numero finito. Questo rapporto è uguale a 0 nell algebra dei iti. Quindi x x = = 0. x + 7x + 9. x 3x +. In questo caso siamo di fronte ad un rapporto tra infiniti. Questa è una forma indeterminata. Possiamo risolverla mettendo in evidenza l infinito di ordine superiore che, nel caso delle potenze di x, è il termine con esponente maggiore. Allora il ite diventa x x + 7x + 7x + x 3x + = x + ) x x 3x x + ) x + 7 = x + x 3 x +, x 8

9 e osservando che tutte le frazioni scritte nel ite sono del tipo N, quindi tendono a 0, il ite fa x 0. x +. Anche in questo caso siamo di fronte ad un rapporto tra infiniti. Procedendo con la messa in evidenza dell infinito di ordine superiore si ottiene ) x x x + = x x + ) x ) x x = + x = + ) =.. x. Tenendo conto ch si ricava x = e e. Dal grafico della funzione esponenziale con base maggiore di si ricava che, se l esponente tende a diventare quindi la x si trova all estrema sinistra del grafico, la funzione si avvicina all ass e quindi il suo valore si avvicina a 0, cioè x ex = 0. 9

10 Perciò il ite che volevamo risolvere vale x = 0 0 = 0... Sempre dal grafico precedente si deduce che ex = +. e quindi il ite è una forma indeterminata. Procediamo mettendo in evidenza l infinito sia al numeratore che al denominatore = = = ) 0 = ln x 3. ln x +. Dal grafico della funzione logaritmica visto in precedenza si deduce che ln x = +. e quindi il ite è una forma indeterminata. Procediamo mettendo in evidenza l infinito sia al numeratore che al denominatore ln x ln x + = ln x ln x + ) ln x = + ln x = + 0 =. 0

11 Ulteriori esercizi consigliati. Calcolare i seguenti iti:. x + log x). x + ) x x 0 x 3. x x. x x x 3x + ) 7. ln x x x + 0. x x 3x 5. x x x + x 8. x x x +. x x + 3x + 6. ln x) x 9. x ln x ) x ) x + 3. ln x x ln x ln x 5. + x x