LIMITI. Sia c D. Sia y=f(x) funzione definita in un dominio D. Tutorial di Paola Barberis - agg Ord =limite

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1 LIMITI Ord =ite Sia =f() funzione definita in un dominio D. Sia c D c Cercare il LIMITE della funzione per c ( che tende a c) significa trovare, man mano che la TENDE a c, l ORDINATA a cui SI AVVICINA la funzione. Tutorial di Paola Barberis - agg 2012

2 Esempio: nel grafico seguente trova il ite per che tende a c=2 Ord =ite l=3 Per 2 - da sinistra le ordinate tendono a l =3 dal basso 2 Per 2 + da destra le ordinate tendono a l =3 dall alto Lim sinistro Lim destro 2 f () = 3 f () = Quando ite sin = destro Si scrive in forma compatta: 2 f () = 3

3 CI SONO QUATTRO DEFINIZIONI DI LIMITE 1) LIMITE FINITO l per c valore finito f()= l c Man mano che la tende a c da sin e da ds le ordinate tendono al valore finito l l LIMITE sinistro Per c - le ordinate possono tendere a l o dall alto o dal basso (uno dei due casi) c LIMITE destro Per c + le ordinate possono tendere a l o dall alto o dal basso In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

4 2) LIMITE INFINITO per c valore finito f()= c : Man mano che la -->c [da sin e da ds ] le ordinate tendono all infinito ± c LIMITE sinistro di c Per c - le ordinate possono tendere o a + (divergono positivamente) oppure a - ( div negativamente) (uno dei due casi) LIMITE destro di c Analogo ragionamento per c + =c è asintoto verticale In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

5 4 grafici con ite infinito per -->valore finito ( es: 5 ) a) b) c) d) Risposte: a) b) c) d) f () = 5 f () = f () = + 5 f () = f () = + 5 f () = f () = f () =

6 3 ) LIMITE FINITO l per che tende all infinito f()= l Man mano che la tende a ± le ordinate tendono a l l - + = l asintoto orizzontale LIMITE sinistro di infinito Per - le ordinate possono tendere o a l + (dall alto) oppure a a l- (dal basso) Analogamente per + ( ite destro di infinito) In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

7 4 grafici possibili con ite finito per -->infinito a) b) f () = 2 f () = f () = 2 f () = 2 c) d) f () = 2+ f () = 2 + f () = 2+ f () = 2+

8 4) LIMITE INFINITO per che tende all infinito f()= - + Man mano che la tende a ± le ordinate tendono a ± LIMITE verso meno infinito Per - le ordinate possono tendere o a + (divergono positivamente) oppure a - ( div negativamente) Analogamente per + In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

9 4 grafici con ite infinito per che tende a ± + + f () = + f () = f () = + f () = f () = f () = f () = f () =

10 esempi funzione esponenziale con base e: Analizza i iti agli estremi del dominio =e Dominio: R (- ;+ ) Codominio COD: >0 Gli estremi del dominio sono - ;+ = e e = e - =0 + - e = e + =+ + Asintoto orizzontale (asse ): =0

11 esempi Funzione logaritmica con base e : Analizza i iti agli estremi del dominio =ln Dominio D: >0 (0;+ ) Codominio COD: R Gli estremi del dominio sono 0 + ;+ ln = ln(0 + ) = ln = ln(+ )= + + Asintoto verticale: =0 (asse )

12 Riepilogo LIMITI FUNZ ESPONENZIALE E LOGARITMICA F. Log con base maggiore di 1 F. Log con base compresa tra 0 e 1 log(0 + ) = log(+ ) = + log(0 + ) = + log(+ ) = F. esp con base maggiore di 1 F. esp con base compresa tra 0 e 1 a = 0 + a + = + a = + a + = 0 +

13 Limiti: principali regole di calcolo = = = + + = + ( + ) +7 ( ) = + ( + ) ( 5) = ATTENZIONE 0 N = 0 N 0 N 0 N = Forme indeterminate base > 1 o_base = e e = 0 + e = + ln(0 + ) = ln ( + ) = + 0 < base < 1 a = + a + = 0 + Quando il denominatore tende ad infinito l intera frazione tende a ZERO Quando il denominatore tende a zero l intera frazione tende ad INFINITO log (0 + ) = + a log + a + - / 0 / 0 0 ( ) =

14 CALCOLO di Limiti Il calcolo di un ite si ottiene, per funzioni continue, sostituendo il valore a cui tende la nella funzione f(): LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il risultato finito o infinito, il ite si chiama IMMEDIATO LIMITE CON FORMA INDETERMINATA Se ottengo una di queste forme indeterminate: + - / 0 / 0 In tal caso si deve togliere l indeterminazione

15 Principali Forme indeterminate: come einarle + Raccolgo la di grado massimo Il risultato è + oppure Rapporto dei termini di grado ma al Num e Den Se gradonum>gradoden ottengo ite Se gradonum =gradoden ottengo ite finito l Se gradonum<gradoden ottengo 0 Devo scomporre numeratore e denominatore o con le note regole o con il metodo di Ruffini.Otterrò un fattore che si semplifica mandando via l indeterminazione. Il risultato può essere finito o infinito