LIMITI DI FORMA INDETERMINATA. Le forme cosiddette forme di indeterminazione sono le seguenti : ( generalmente riferite alla funzione)

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Sofia Fabbri
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1 LIMITI DI FORMA INDETERMINATA I iti di forma indeterminata sono tutti quei iti per i quali, al contrario dei precedenti, non si ottiene immediatamente il risultato. Le forme cosiddette forme di indeterminazione sono le seguenti : ( generalmente riferite alla funzione) ± m () () () Esaminiamo quindi i casi più frequenti che si possono verificare : caso : An ( ) m B () Tale tipo di ite si risolve applicando i metodi della scomposizione ( il tutto per arrivare a semplificare). + + ( )( ) ( )( + ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( + ) ( ) ( + )

2 caso : An ( ) m B ( ) Tale tipo di ite si risolve mediante raccogento a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, della variabile di grado massimo. + + ( + + ) ( ) ) (+ ) ( NOTA : Il segno è stato valutato dal rapporto dei segni nella forma indeterminata. Questo caso lo possiamo riassumere nelle seguenti tre possibili casistiche : ( facciamo presente che il fatto di non indicare i relativi segni per infinito stà a significare che questo può assumerli indifferentemente tutti). ) An ( ) m B ( ) n>m ) An ( ) m B ( ) n<m ) An ( ) l B m ( ) nm

3 Nei primi due casi volendo valutare il segno relativo del termine che otterremo, dovremo valutare il rapporto dei segni nella forma indeterminata. Per ottenere l'esatto valore del termine l, eseguiremo il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo poiché n, m + + +

4 poiché n, m poiché n, m n Am ( ) B p ( ) + caso : Am ( ) n B p ( ) oppure : Tale tipo di ite si risolve applicando le operazioni della razionalizzazione di radicali. ( Anche in questo caso è evidente che si arriva poi a semplificare). ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( )( + ) +

5 ( ) ( ) n Am ( ) B p ( ) caso : ( ) ( ) ( ) oppure : ( ) Am ( ) n B p ( ) Tale tipo di ite si risolve con il raccogento a fattor comune della variabile di grado massimo. ( Ricordiamo anche che possiamo sempre riferirci alla tabella del caso e quindi applicando un confronto tra i relativi gradi). + N.B. + ( ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) Per l esempio precedente si ricordi che : ( ) ( + ), con ( ) ( + ) se se > <

6 5 caso : An ( ) ( ± m ) Tale ite si risolve evidenziando la variabile di grado massimo. ( + + ) + Sostanzialmente tale tipo di ite viene risolto considerando direttamente il termine di grado massimo. ( + ) + (/ / / + ) 6 caso : n Am ( ) ± B p ( ) (± m ) Tale tipo di ite si risolve applicando le operazioni di razionalizzazione ( è essenziale ricondurci alla forma ).

7 + + + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( ) + ( + ) ( + ) + ( + + ) (+ ) ( + + ) ( + + ) + ( + + ) ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( ( + + ) + (+ ) + ( + ) ( + + ) ( + )

8 , Forma Tali tipi di forme indeterminate si affrontano inizialmente col ricondurle alle forme, Nella maggior parte dei casi, poiché vi è un rapporto fra una funzione algebrica e una trascendente, è necessario risolvere il ite con il teorema di l Hospital se le funzioni sono della stessa natura ( algebriche o trascendenti ) si possono riapplicare i metodi esposti in precedenza o più opportunamente procedere secondo le relative proprietà algebriche. a) Se si vuole ottenere la forma sarà sufficiente dividere numeratore e denominatore, della forma iniziale, per il termine che tende a infinito. ln + + ln ( ) + ln ( ) + ln ln ln b) Se si vuole ottenere la forma sarà sufficiente dividere numeratore e denominatore, della forma iniziale, per il termine che tende a zero. + ln + ln ( ) + ln ( ) + ln

9 Riassumendo : forme (, ), Hospital N.B. Nella forma diventa sicuramente più vantaggioso rispetto ad Hospital, tranne che in alcuni casi particolari, avvalersi di un metodo di confronto basato sui grafici di alcuni infiniti elementari, ai quali riferirsi per stabilire il risultato del ite. Grafici di infiniti elementari ( riferiti solo al primo quadrante ) y a, a> y n y yn y log a, a > + Come si può notare, quando si fa tendere la a +, le rispettive funzioni tendono ugualmente +, ma con rapidità diversa l una nei confronti dell altra. Ecco quindi che la funzione logaritmo ad esempio, essendo la più lenta nel tendere a +, viene a stabilire quello che si chiama un infinito di ordine inferiore rispetto a tutte le altre.

10 Algebricamente si ha : ( + ) che dimostra come il denominatore sia un infinito di ordine superiore! Forme indeterminate del tipo (, Sono generate da funzioni composte del tipo, f ( ) ) g ( ). La risoluzione di iti, che presentano tale tipologia di forma indeterminata, si riscontra nei seguenti casi: a) Trasformazione ( secondo definizione logaritmica ) della funzione composta in funzione esponenziale di base prefissata. ( Di solito la base dei logaritmi Neperiani e,7 ) Successivamente la riconduzione alle forme f ( )g ( ) ln f ( ) g ( ) e g ( ) ln f ( ) e

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