Esercizi svolti sui limiti

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1 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare sin). Soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo per : sin) = sin) = sin) a questo punto, ponendo y =, dato che otteniamo y siny y = = sin) = y siny y = = =.

2 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos. Soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo per + cos): cos = cos + cos + cos = = cos + cos = sin + cos = poiché risulta abbiamo = sin = ; ) sin + cos + cos = ) sin + cos = =.

3 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 3. Calcolare cos sin4). Soluzione. Riscriviamo il ite in questo modo: cos sin4) = = cos ) 4 cos) 4 = cos 4 sin4) = sin4) = 4 sin4) = dal momento che risulta 4 cos 4 sin4) abbiamo cos = 4 cos ; 4 sin4) = 4 sin4) = =.

4 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 4. Calcolare cos 3 3. Soluzione. Il numeratore è una differenza di cubi, per cui abbiamo: cos 3 3 = cos) + cos + cos ) 3 = = cos 3 + cos + cos ) = = 3 cos + cos + cos ) poiché risulta abbiamo cos = ; + cos + cos ) = + + = 3 3 cos + cos + cos ) = 3 3 =.

5 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 5. Calcolare sin ) cos3). Soluzione. Riscriviamo il ite in questo modo: sin ) cos3) = = 4 sin ) sin ) cos3) = cos3) = dal momento che 4 = 9 ) sin) 3 ) cos3) abbiamo sin) = ; 3 ) cos3) = 4 9 ) sin) 3 ) cos3) = 4 9 = 8 9.

6 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 6. Calcolare cos5). Soluzione. Portiamo la dentro la radice, facendo molta attenzione al fatto che, trattandosi di un ite per, la è negativa: cos5) cos5) = moltiplichiamo e dividiamo dentro la radice per 5: 5 5 cos5) = 5 cos5) = 5 = 5 cos5) 5 ) = 5 = 5 = 5.

7 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 7. Calcolare e ) 3 ). Soluzione. Mettendo un meno in evidenza e, osservando che ) = ), possiamo riscrivere il ite nel seguente modo: e ) 3 ) = e) ponendo ora y = abbiamo ponendo ora z = y abbiamo 3 ) = 3 e) ) 3 e) ) = y 3 ey y y 3 ey y = z 3 ez z = 3 = 3.

8 Francesco Daddi - dicembre 9 Esercizi svolti sui iti Esercizio 8. Calcolare ln + ) cos3 ) ) sin. Soluzione. Riscriviamo il ite nel modo seguente: = 9 9 cos3 ) ln + ) sin = cos3 ) ln + ) sin = = 9 9 cos3 ) ln + ) sin = = 9 9 cos3 ) ln + ) sin = = 9 9 cos3 ) ln + ) sin = 9 = 9.

9 Liceo Carducci Volterra - Prof. Francesco Daddi - dicembre Esercizio. Calcolare + 7 Esercizio. Calcolare Esercizio 3. Calcolare Esercizio 4. Calcolare Esercizio 5. Calcolare Esercizi svolti sui iti - Classe 3 a A Classico 3. Soluzione. Risulta: 7 + = 5 + = Soluzione. Risulta: = 6 =.. Soluzione. Risulta: Esercizio 6. Calcolare + Esercizio 7. Calcolare Esercizio 8. Calcolare 9 = 5 + =.. Soluzione. Risulta: = 6 = Soluzione. Risulta: Soluzione. Risulta: = = = = ) 6. Soluzione. Risulta: ) 6 = 7 + = Soluzione. Risulta: + ) ) 9 = 3 + =. Esercizio 9. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; fattorizzando il denominatore si ha: = ) ) 3) = ) ) 3) = 3) = =. 4 Esercizio. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; fattorizzando il numeratore ed il denominatore si ha: = ) + ) + + ) + ) = ) + ) + + ) + ) = + + = 4 + =. 5 Esercizio. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; fattorizzando il numeratore ed il denominatore si ha: = 5) 5) = 5) 5) 5 5) ) 5 5) = = 5) ) 5 3 = Esercizio. Calcolare. Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; moltiplicando numeratore 4 e denominatore per si ha: = = ) = ) = ) = ) = Esercizio 3. Calcolare 3 +. Soluzione. Il ite si presenta nella forma e denominatore per si ha: ; moltiplicando numeratore = = ) 3 + ) ) =

10 ) ) ; fattorizzando al denominatore 3 + ) si ha: 8 ) ) ) ) = 8 ) ) ) ) = 8 ) ) = 8 ) ) = Esercizio 4. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; moltiplicando numeratore e denominatore per ) ) si ottiene: = )) ) )) ) = ) 4 ) Esercizio 5. Calcolare si ottiene: ) = ) 4 ) ) = ) 4) ) ) = 3 + 4) + ) =.. Soluzione. Il ite si presenta nella forma ; moltiplicando per ) = + + ) + ) ) ) + ) = + = + ) + ) = + + ) = + = Esercizio 6. Calcolare + 3. Soluzione. Il ite si presenta nella forma indeterminata + 5 ; mettiamo in evidenza 4 al numeratore e 3 al denominatore: ) ) = = + = Esercizio 7. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma indeterminata ; mettiamo in evidenza 4 dentro il radicale al numeratore e 4 al + 5 denominatore: ) ) = ) = = ) = +.

11 Esercizio 8. Calcolare + + mettiamo in evidenza al numeratore e al denominatore: = +. Soluzione. Il ite si presenta nella forma indeterminata ; ) + ) = ) + ) = 5. Esercizio 9. Calcolare + 3. Soluzione. Il ite si presenta nella forma indeterminata + ; moltiplichiamo per : ) = = = ) + 3 = + + ) 3 + ) 3 + = + 3 ) + 3 = + 3 ) ) + = =. Esercizio. Calcolare Soluzione. Il ite si presenta nella forma indeterminata ; possiamo procedere come visto nell esercizio precedente moltiplicando per. In questo esercizio, però, è possibile seguire un altro metodo: mettendo in evidenza dentro il radicale risulta = = ) 7 3 = = ) Esercizio. Calcolare Soluzione. Poiché +, si ha che = +. Esercizio. Calcolare del tipo + ; moltiplichiamo per + + : ) = = = + e 3 = +. Soluzione. Al denominatore si presenta una forma di indeterminazione = ) = + = + + ) = + = + ) = + = ) + = +. = 3

12 3 4 4 ) sol. 4 ) 3 Esercizi sui iti Francesco Daddi - 4 aprile 6 6 sol ) 4 3 sol ) 4 3 sol. 3 5) sol. 4 6) 4 sol. 7) 5 5 sol ) ) sol. 7 sol ) sol. 8 4 ) sol ) 33 sol. 3 3) 3 3 sol. 4) 3 sol.

13 Esercizi svolti sui iti - 7 aprile - Francesco Daddi 4 3 ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo =3 otteniamo ; possiamo quindi 3 4 semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: 3 otteniamo = = =3 4 =. 4 a questo punto, sostituendo di nuovo =3, 3 4 ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo = otteniamo ; possiamo quindi 3 semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: = = 7 =, otteniamo 3 5 = = = = sostituendo di nuovo ) Calcolare Soluzione. Sostituendo =4 otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: = = = 4 nuovo =4, otteniamo 4 3 = = 9 =9. 3 sostituendo di 369 4) Calcolare 3. Soluzione. Sostituendo = otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: = 9 3 = 3 a questo punto possiamo sostituire di nuovo =, ottenendo. Il ite è oppure ; per determinare il risultato è sufficiente studiare il segno del denominatore in un intorno destro di = si osservi che si tratta di un ite destro): in tale intorno il segno del denominatore è positivo, quindi la frazione è negativa si tenga 3 presente che a numeratore c'è ) per cui possiamo scrivere =. 5 5) Calcolare. Soluzione. Sostituendo = otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: = 5 =, ottenendo così = = = =. a questo punto basta sostituire di nuovo