Radicale Intero Decimo Centesimo Millesimo ,2e Cosa ottengo se ad un numero razionale aggiungo o tolgo un numero irrazionale?

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1 ) I Numeri Irrazionali. I BM pag. 6. Es. pag. 7-7 Un numero è detto irrazionale quando è non possibile definirlo sotto forma di frazione, non ammette dunque una rappresentazione decimale finita o periodica. Esempio : 2 ; ; 8 ; π ; π ; e ; oppure anche :, ; 7, ; 2, Inventa due numeri irrazionali:. ;. ; Completa con ; ; ; i) +2.I ii) I.Q iii) 5 7.I iv) 5 7.Q v) 5.Q vi) 5.I vii) 6.I viii) 9.Z ix) π.i x) 27.I xi) 8.N xii) 9.I Osservazione: la scrittura 2, rappresenta il valore non approssimato della radice quadrata di due; mentre, rappresenta il valore approssimato ai centesimi della radice e scriveremo 2,. Nella risoluzione degli esercizi dovrai scrivere le due forme. Utilizzando la calcolatrice approssimare i seguenti numeri irrazionali alla cifra richiesta. Radicale Intero Decimo Centesimo Millesimo π 7 π 8,2e Cosa ottengo se ad un numero razionale aggiungo o tolgo un numero irrazionale? + 2 = ; - 2 = ; 8-2, 5 = ; Conclusione: Cosa ottengo se sommo due numeri irrazionali? 2 + =. ; π + e =. ; (+ 2 ) + (- 2 ) =. ; ( π + 2 ) + (- π + 2 ) =.. Conclusione: Cosa ottengo se moltiplico un numero razionale con un numero irrazionale? 2. 2 = ;. 2 = ; 8. 2, 5 = ; Conclusione: Cosa ottengo se moltiplico due numeri irrazionali? 2. =. ; π. e =...; 7. 7 =. ; (+ 2 ). (- 2 ).. Conclusione:

2 Proprietà dei radicali. (Radici) a) Il prodotto di radicali.. 2 =. 2 = 6 = 6. =. = = 2 = Con le lettere procedo allo stesso modo a. 2b = a. 2b = 6. ab = 6. ab = 6 ab =. 9 = = 27 = = 2 6 = 2 2 = x. y.. 2xy. 8x 2 y = x. y x. 6y Cosa capita se i radicali sono identici?. =. = 2 = ( ) 2 = x. x 2x. 2x 5y = = 5 = ( 5) = 5.. y. y. y. 5y. 5y Questa proprietà ci permette d estrarre uno o più fattori dal radicale. Esempio: 2 =. =. = 2 2. = 2,6,5 6 = 8.2 = 8. 2 = 2. 2 =2 2 2,52 2,5 50 = 72 = 0 = 250 = Con le potenze capita la stessa cosa. 2. = = = 2. = = = Con le lettere si procede allo stesso modo: x y = m 9 n 8 p 2 = 90a b 5 c 9 = x y = 8d 7 e 5 f = 5a 2 b 25 c 9 Svolgi le seguenti moltiplicazioni mettendo il risultato nelle due forme: 5. 8 = 5. 8 = 0 =. 0 = 2 0 6, 0. 9 = 0. 9 = 270 = = = 0 6, x. 8y.. 20x. 6y a 2. 2a = x 5 y 2. 6x 2 y = = 2

3 Come dovrò procedere per reintrodurre il fattore sotto il segno di radice? 5 = ; 5 2 = ;5x y = ; Introduci il fattore sotto il segno di radice: 5 = ; = ; 2a b ab = b) Quoziente di radicali. 72 : 8 = 72 8 = 72 8 = 9 = 5 : 2 = 2 = 2 = = = 2 Con le lettere procedo allo stesso modo 2a 5 : 6a = 2a 5 6a 0 : 2 : 80 = 2a5 6a = a =. a 2 = 2a 2 = 5 2 = 5 = = 0 80 = 27 = 8 = = = 8 2 2a 5 : 6a = 2a 5 = 6a 2a5 = 6a a =. a 2 = 2a 2 Con lo stesso procedimento calcola il quoziente dei numeri irrazionali, e verifica la soluzione con la calcolatrice. 2 : 2.. : x 5 x x : 2x 6x 8 y 2 : 29x 2 y 0.. m 5 n : 500m 2 n.. Ma non è sempre festa c) La razionalizzazione. 8 : 2 = 8 = 2 = = Prova ad amplificare la frazione per ; 2 ; ; 5 cosa noti? Razionalizza le seguenti frazioni: 2 = 6 = 5 0 = 5 20 = a 2 Cosa capita in queste occasioni? a = 2a = 2 = = x

4 d) Addizione - sottrazione di radicali. L addizione di radicali si svolge come l addizione nel calcolo letterale, sommo cioè i monomi simili, estraendo però prima tutti i fattori possibili dalla radice. esempio 7a + 5b a + b = 7a a + 5b + b = ( 7 - )a + (5 + )b = 6a + 9b = = (7 ) 2 + (5 + ) = = = ( ) = = = = 7 Semplifica le seguenti espressioni con i radicali: i) = ii) iii) 2. ( 5 ) + (2 5) = iv) = v) = vi) 8x 2-50x x 2 = vii) - 8x + 50x + 98x = viii) x + x 5 - x 7 = e) La rappresentazione d un qualche numero irrazionale sulla retta numerica. Rappresenta sul piano cartesiano ( u = q) i punti A ( 0 ; 0 ) ; B ( ; 0) e C ( ; ), collega i punti AC, ottenendo del triangolo ABC. Sfruttando il teorema di Pitagora calcola: AC., Riporta con li compasso la distanza sull asse delle ascisse ed ottiene D (.;.) Esercizio : rappresenta i seguenti punti E ( ; 0 ) F ( 5 ; 0 ) ; H ( 0 ; ) Ricerca: La chiocciola di Pitagora la spirale di Teodoro.

5 5) I Numeri Reali.R a) L unione dell insieme dei numeri Razionali con l insieme dei numeri Irrazionali forma l insieme dei numeri Reali, con il simbolo R, matematicamente scriveremo: Q I = R Con il diagramma di Venn abbiamo. con Q I =. ; R Q =. R I = b) Le operazioni con i numeri reali. Con i numeri reali possiamo svolgere le operazioni già incontrate negli altri insiemi. Esempi: i) = ; ii) ( ) (2 5 8) = iii) x + x 25x + 80x = ; iv) (2 a + b) (2 a b) = v) + ( ) 2 2 ( ) = c) La razionalizzazione. Abbiamo visto che razionalizzare una frazione vuol dire determinare una frazione equivalente avente il denominatore intero. Si presentano diversi casi. =.. = = ; =.. = = ; 6 8 a x2 =.. = = ; =.. = = a x =.. = = ; =.. = = ; a 2x2 =.. = = ; =.. = = 6a + 8x 6 =.. =..; =.. =..; 2 Se al denominatore avessimo una radice cubica. =.. = = ; 6 a =.. = = ; a =.. = = ; x 2 =.. = = Semplifica le seguenti espressioni, razionalizzando il risultato. i) = ii) = Risolvi il seguente problema applicando le regole di calcolo dei radicali. i) Un triangolo rettangolo ha i cateti uno doppio dell altro, calcola: La misura dell ipotenusa. L area del triangolo rettangolo. Cosa noti? Il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo rettangolo L area del cerchio circoscritto al triangolo. Il rapporto tra l area del triangolo rettangolo e l area del cerchio circoscritto al triangolo stesso, in forma non approssimata. x 2 5

6 d) Equazioni con numeri irrazionali reali. Osservazione: Le equazioni con i radicali rispettano le identiche regole che ben conosci utilizzate negli altri insiemi. Risolvi in R le seguenti equazioni, specificando l insieme soluzione. Abbiamo due possibilità: Equazioni con coefficienti numerici irrazionali i) 2x = 8 ii) x 8 = 2 iii) x 5 0 = 0 iv) x - 27 = 0 v) x = 2 vi) x = 2 2x vii) viii) (x 6 ) = ( x) + 8 ix) 2 (x + 5) = x Equazione con l incognita sotto il segno di radice n-esima. Ricorda risolvendo un equazione svolgi l operazione inversa, dunque in questo caso l operazione inversa dell estrazione di radice è.. Attenzione il radicando deve rispettare alcune condizioni, che vedremo. i) x = ii) x = iii) x = 5 iv) x = 5 v) x = 0 vi) 2 x vii) 2 = x x Attenzione: Si possono risolvere equazioni con l incognita sotto radice quadrata, unicamente se il radicando (la parte sotto la radice ) è positiva! Dunque x 0, oppure x > 0! O vedremo! e) Approfondimenti i) La doppia razionalizzazione Il denominatore è formato dalla somma d un numero irrazionale con un numero razionale. Es : = Dobbiamo definire una frazione equivalente con il denominatore intero, proviamo a procedere come abbiamo fatto finora, vale a dire moltiplichiamo numeratore e denominatore per, cosa capita? = =. = ( ) Osservazione:..... Dobbiamo procedere dunque in un altro modo, considerando il seguente prodotto Ricorda: ( a + b). ( a b) = Dunque per razionalizzare il denominatore dovremo moltiplicarlo per otteniamo: ( ) ( + ) = = ( +) = = ( ) ( +) Razionalizza: 5 = ; 0 = ; 0 = ; 2 = ; = ; 2 = ; 2a = ; y a a b x+ y 6

7 ii) Condizione d esistenza d un radicale. 6) 7) 7