In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli

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1 LOGARITMO Il logaritmo è un operatore matematico indicato generalmente con loga(b); detta a la base e b l'argomento, il logaritmo in base a di b è definito come l'esponente a cui elevare la base per ottenere l'argomento. Cos'è il logaritmo in base a di b? Siano a e b due numeri reali, entrambi positivi e con. Definiamo il logaritmo in base a di b, e scriviamo per indicare quel numero reale c che realizza l'uguaglianza In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli il logaritmo in base a di b è l'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza. Diamo dei nomi ai personaggi a, b, c: - chiamiamo a la base del logaritmo; - chiamiamo b l'argomento del logaritmo; - chiamiamo c il valore del logaritmo. Essendo il logaritmo definito in modo che valga questa uguaglianza, osserviamo quanto segue: prendiamo a positivo. Se eleviamo un numero positivo (a) ad un qualsiasi numero (c) otteniamo un numero che è solo e soltanto positivo (nè zero nè negativo). Tutto qui: prendiamo la base e positiva (positivo vuol dire maggiore strettamente di zero) e quindi dobbiamo necessariamente considerare un argomento b positivo. Esempi sui logaritmi 1) Il primo e più semplice esempio che possiamo calcolare è il logaritmo di 1 con base a Qualsiasi numero diverso da zero (come è previsto dalle nostre ipotesi) ed elevato alla zero dà 1, quindi 2) Consideriamo il logaritmo in base a di a2 => Logaritmo naturale e logaritmo decimale

2 Ci sono due particolari tipi di logaritmi che si incontrano spesso, e che sono caratterizzati da una particolare scelta della base: il logaritmo naturale ed il logaritmo decimale. Il logaritmo naturale, in cui si prende come base il numero di Nepero Si è soliti indicare il logaritmo naturale con In altre parole se scriviamo ln(qualcosa) senza indicare la base intendiamo che vogliamo calcolare il logaritmo naturale, dunque in base, di qualcosa. Un altro logaritmo ricorrente è il logaritmo decimale, o logaritmo in base 10, in cui si prende come base Si indica tale logaritmo con Log(qualcosa), ovvero con una L maiuscola e senza indicare la base oppure nella forma standard. PROPRIETÀ DEI LOGARITMI Le proprietà dei logaritmi sono una serie di regole che permettono di semplificare notevolmente il calcolo dei logaritmi, e che permettono di riscrivere le operazioni tra logaritmi in una forma più semplice. Principali proprietà dei logaritmi Le proprietà dei logaritmi valgono per qualunque scelta della base del logaritmo (la a nell'espressione ), ma vi ricordiamo che la base e l'argomento devono sempre essere presi maggiori strettamente di zero (inoltre la base deve essere diversa da 1). Questi requisiti devono valere sempre. Definizione di logaritmo Logaritmo del prodotto Regola dell'esponente Logaritmo del rapporto Formula del cambiamento di base per logaritmi Formula di inversione per i logaritmi

3 P-0) Riscrittura alternativa di un logaritmo Questa proprietà è in realtà una semplicissima riscrittura della definizione di logaritmo, anche se non sembra. Per definizione infatti il è quel numero c tale che. L'identità su scritta vale solamente se logaritmo., in base a quanto chiesto dalla definizione di La precedente uguaglianza si verifica quindi facilmente, infatti sostituendo con c troviamo proprio. Quella appena introdotta più che una proprietà è un utile trucco algebrico che permette di uscire da situazioni che sembrano più complicate di quello che non siano. È una formuletta che non ha un utilizzo intuitivo ma proprio per questo gli esercizi che la richiedono sono pochi. Ad ogni modo con l'esperienza vi accorgerete quando sarà il momento di usarla. P-1) Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi Esempio 1 Se consideriamo il logaritmo in base 3 di 18, grazie alla proprietà del logaritmo del prodotto possiamo riscriverlo come dove l'ultimo passaggio si giustifica con la definizione di logaritmo:. Se invece prendiamo possiamo riscriverlo nella forma P-2) Regola dell'esponente La proprietà del logaritmo e dell'esponente ci dice sostanzialmente che, ogni volta che l'argomento di un logaritmo ha un esponente, possiamo portarlo davanti al logaritmo e farlo diventare un coefficiente.

4 P-3) Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi In parole povere la proprietà del logaritmo del rapporto stabilisce che, indipendentemente dalla base, quando abbiamo un logaritmo contenente una frazione, possiamo riscrivere tale logaritmo come la differenza tra il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore. Esempio 3 Un esempio semplice: se avessimo il logaritmo in base 7 di 1/49, potremmo riscriverlo come Se invece considerassimo tale logaritmo equivarrebbe a P-4) Formula del cambiamento di base La formula del cambiamento di base ci dice che possiamo scrivere il logaritmo nostra scelta, a patto che sia positiva e diversa da 1. con una nuova base c, a Per farlo, riscriviamo il logaritmo come un rapporto di logaritmi in cui il logaritmo a numeratore ha come base la base desiderata e argomento l'argomento di partenza, e il logaritmo a denominatore ha come base la base desiderata e come argomento la base di partenza. Il trucco per ricordare questa formula: riscrivo il logaritmo come un rapporto di logaritmi. Questi logaritmi hanno la nuova base c che vogliamo. Il logaritmo che sta sopra (a numeratore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sopra (l'argomento iniziale), il logaritmo che sta sotto (a denominatore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sotto (la base iniziale). Esempio 4 Vogliamo scrivere (non chiedetevi perchè: saranno gli eventuali esercizi a darcene motivo) il logaritmo come base. Usando la formula del cambiamento di base troviamo: usando

5 dove abbiamo usato la formula al primo passaggio. P-5) Formula di inversione base-argomento Esempio 5 Dato, decidiamo che non vogliamo avere a che fare con una base compresa tra 0 ed 1. Ci andrebbe bene la base 5 al suo posto. Dunque con la suddetta formula possiamo equivalentemente considerare: