Equazioni di 2 grado

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1 Equazioni di grado Antonino Leonardis Introduzione Solitamente per trovare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si utilizza il completamento del quadrato Adesso vedremo un modo leggermente alternativo per ottenere tale formula, che però fa capire come essa sia legata alla somma, differenza e prodotto delle due soluzioni Ricordiamo che un polinomio generico di grado in una sola incognita x è della forma ax + bx + c per certi parametri a, b, c (con a 0 altrimenti non è di grado) Un equazione di grado in una sola incognita è quindi, ridotta in forma normale, un uguaglianza del tipo: ax + bx + c = 0 Ricordiamo anche che un sistema di più equazioni ha per grado il prodotto dei gradi delle singole equazioni Nei prossimi capitoletti considereremo due valori incogniti x 1, x, la loro somma s, la loro differenza d e il loro prodotto p 1 Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e la loro differenza Il problema si traduce nel sistema: { x1 + x = s x 1 x = d Col metodo di riduzione si ottiene: { x1 = s + d x = s d cioè: { x1 = s+d x = s d Si osservi che questa soluzione semplicemente ci dice che geometricamente i due valori si ottengono (sulla retta reale) aggiungendo e sottraendo al loro punto medio (s/) la metà della loro distanza ( d /) 1

2 Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto Anche qui abbiamo il sistema: { x1 + x = s x 1 x = p Si noti che questo sistema è di grado, perché tale è il grado della seconda equazione 1 Abbiamo la seguente uguaglianza notevole: ottenibile in due modi: s d = 4p 1 Usando s = x 1 + x + p, d = x 1 + x p Scrivendo s d = (s + d)(s d) e utilizzando i valori trovati prima per i due termini di tale prodotto (x 1 e x ) Dunque abbiamo d in funzione di s e p: d = ± s 4p e usando le formule viste nel paragrafo precedente otteniamo: x 1, x = s ± s 4p 3 Formula risolutiva delle equazioni di grado Per il teorema di Ruffini, un polinomio monico (cioè con coefficiente di x uguale a 1) che si annulli per almeno un valore di x, supponendolo scritto nella forma x sx + p (quindi s è l opposto del coefficiente della x), si può sempre scomporre come: x sx + p = (x x 1 )(x x ) dove x 1, x sono i valori (eventualmente coincidenti) per cui tale polinomio vale 0 E in effetti con un calcolo diretto vediamo subito che s e p sono esattamente somma e prodotto delle soluzioni x 1, x, in accordo con le notazioni usate nel paragrafo precedente Dunque l equazione generica ax + bx + c = 0 può essere riscritta, dividendo per a, come: x + b a x + c a = 0 1 E in effetti ci sono due soluzioni, ottenibili per simmetria una dall altra scambiando le incognite

3 e così si vede che vale s = b a e p = c a Riutilizzando le formule precedenti abbiamo la formula risolutiva: x 1, x = ( ba ± b a 4 c a ) = b ± b 4ac a in cui si suole scrivere = b 4ac, che viene chiamato discriminante dell equazione Esso è dunque legato alla differenza delle radici, e determina se l equazione ha soluzione o meno (se è negativo non ci sono soluzioni, se è 0 la differenza tra le soluzioni è 0 cioè coincidono, se è positivo ci sono due soluzioni) La scrittura dunque si semplifica come: x 1, x = b ± a 4 Problema: punti estremali di un polinomio di grado Si ponga d ora in poi x 0 = s/, senza supporre necessariamente che il polinomio x sx + p abbia effettivamente delle soluzioni reali Nel caso in cui le abbia, x 0 è per quanto visto la loro media aritmetica Vedremo ora un altra dimostrazione della formula risolutiva, che si focalizza soprattutto su tale x 0 e che quindi ci farà capire molte proprietà di tale valore Consideriamo il seguente polinomio: (x x 0 ) = x x 0 x + x 0 = x sx + x 0 Si vede dunque che il polinomio di partenza x sx + p differisce da esso solo per una costante Scriviamo dunque: (x x 0 ) k = x sx + p e vediamo tale costante k che valore ha: x 0 k = p k = x 0 p = s 4p 4 che nel caso l equazione sia risolubile corrisponde come abbiamo già visto a d 4 Dunque abbiamo che l equazione di partenza è equivalente a (x x 0 ) = k, e nel caso k 0 (che equivale alla solita condizione > 0) possiamo estrarre la radice quadrata ottenendo: x x 0 = ± k x = x 0 ± k 3

4 Sostituendo al posto di x 0 e k le formule in s e p che li definiscono riotteniamo quindi, come era da aspettarsi, la solita formula: Proprietà importanti x 1, x = s ± s 4p Abbiamo scritto il polinomio x sx + p nella forma (x x 0 ) k: dunque esso assumerà valori sempre maggiori o uguali a k, e solo per x = x 0 assume tale valore minimo Da tale forma si vede anche che per valori equidistanti da x 0 il polinomio assume lo stesso valore (ovvero il quadrato della distanza meno k) Il polinomio generico ax +bx+c lo potremo scrivere come a(x x 0 ) 4a (Esercizio: fare i conti) Dunque il valore 4a è il massimo o il minimo (a seconda del segno di a) assunto dal polinomio e tale valore viene assunto solo per x = x 0 Anche in questo caso resta la simmetria vista precedentemente 5 Altre combinazioni notevoli di x 1, x Dato un numero intero n (preferibilmente non nullo) indichiamo con s n la somma delle potenze n-esime di x 1 e x, cioè s n = x n 1 + xn Ad esempio, s 1 = s, la somma semplice delle due soluzioni incognite Per n negativo supponiamo che nessuna delle radici sia uguale a 0 (cioè per Ruffini che c 0) In generale è possibile trovare relazioni notevoli tra tale valore e i valori di s e p, ed eventualmente anche con a, b e c del polinomio più generico (non monico) Vediamo alcuni esempi importanti: Si ha s = s + p (somma dei quadrati più doppio prodotto), quindi: s = s p = b ac a Si ha, riducendo a denominatore comune: s 1 = 1 x x = s p = b/a c/a = b c Tale valore poteva essere ottenuto anche notando che gli inversi delle radici sono le soluzioni dell equazione cy + by + a = 0, e la somma delle soluzioni di tale equazione è chiaramente b c 4

5 Combinando i ragionamenti già fatti nel modo che più si preferisce si può ottenere anche: s = s p = b ac c Regola di Cartesio Osservazioni preliminari Ricordiamo che per due numeri positivi distinti a, b vale a > b 1/a < 1/b Supponiamo che la somma di due numeri con segno diverso sia negativa: allora il numero negativo è necessariamente quello predominante, ovvero avrà valore assoluto più grande Ad esempio è negativo perché 56 > 47 Se adesso passiamo agli inversi dei due numeri, però, la somma deve diventare positiva: infatti i valori assoluti si scambiano di ordine per quanto osservato inizialmente e quindi è adesso l inverso positivo ad essere predominante Nel nostro esempio 1 uguale a = ) Dimostrazione della regola è positivo (per la precisione Supponiamo che il polinomio ax + bx + c non abbia coefficienti nulli e non abbia discriminante negativo Sappiamo dunque che s 1 = s = b/a (la somma delle radici) e s 1 = b/c (la somma dei loro inversi) Tra la prima somma e la seconda notiamo che i segni degli addendi non cambiano ma viene invertito il rapporto dei loro valori assoluti (se la prima radice è più piccola in valore assoluto, il suo inverso sarà più grande dell inverso dell altra sempre in valore assoluto) Associamo al polinomio la sequenza dei segni dei suoi coefficienti Ad esempio a x x+ associamo + Contiamo in tale sequenza i cambiamenti di segno (nell esempio considerato c è un solo cambiamento, dal secondo al terzo +, mentre i segni di a e b sono uguali), che corrisponderanno a quanti tra s 1 e s 1 sono positivi Si ha: b/c Se non ci sono cambiamenti di segno vuol dire che s 1 e s 1 sono entrambi negativi, quindi almeno una radice è sicuramente negativa; anche l altra deve essere negativa, altrimenti come osservato prima s 1 e s 1 avrebbero segni diversi (il che si può anche vedere osservando che in tal caso p = c/a = s 1 /s 1 sarebbe negativo) Dunque le due soluzioni sono negative La frazione b/a è positiva se e solo se a e b hanno segno diverso, e similmente per 5

6 Se ci sono due cambiamenti di segno vuol dire che s 1 e s 1 sono entrambi positivi e con un ragionamento simile al precedente si ottiene che anche le due soluzioni sono positive Se c è un solo cambiamento di segno vuol dire che s 1 e s 1 sono discordi, dunque anche le due soluzioni sono discordi con valore assoluto diverso Nel caso il cambiamento di segno sia tra a e b significa che s 1 è positivo, dunque la soluzione positiva ha valore assoluto più grande (è predominante), mentre nel caso il cambiamento avvenga tra b e c avviene il viceversa 6 Disequazioni generiche di grado Come già visto, possiamo facilmente fattorizzare un polinomio generico di grado conoscendone le radici: ax + bx + c = a(x sx + p) = a(x x 1 )(x x ) Dunque per studiare il segno di un polinomio di grado basta trovare i valori di x 1 e x e poi studiare il segno del prodotto appena ottenuto Nel caso invece non ci siano soluzioni, ovvero per < 0, dalla scrittura ax + bx + c = a(x x 0 ) + 4a otteniamo: a(x x 0 ) ha lo stesso segno di a tranne nel caso x = x 0 in cui si annulla 4a ha numeratore positivo e denominatore che è multiplo positivo di a, quindi ha lo stesso segno di a Equivalentemente, abbiamo visto che in questo caso x sx + p è sempre positivo ( k) e il polinomio di partenza si ottiene moltiplicando quest ultimo per a Da tali considerazioni è facile dedurre la regola generale: se il polinomio ax +bx+c ha discriminante < 0, allora esso ha segno costante ed uguale a quello di a 7 Problema: trovare due numeri sapendo la somma dei loro quadrati e il loro prodotto Abbiamo già considerato la somma s dei quadrati di x 1 e x Con questa notazione, i prodotti notevoli del quadrato di un binomio, che lo studente dovrebbe a questo punto conoscere molto bene, si possono scrivere brevemente come: cioè a parole: s = s + p d = s p 6

7 Il quadrato della somma è la somma dei quadrati più il doppio prodotto Il quadrato della differenza è la somma dei quadrati meno il doppio prodotto Ricordando la formula x 1, x = s±d, i prodotti notevoli appena ripassati ci permettono di risolvere il problema del titolo, che come lo studente può verificare (scrivendo le definizioni di s e p come sistema) è di 4 grado e quindi ammette quattro soluzioni: x 1, x = ± s + p ± s p La formula appena scritta ammette quattro scelte per i due segni (++, +, +, ) che corrispondono appunto alle quattro soluzioni Possiamo scriverla meglio come: s + p ± s p x 1, x = ± in cui il segno tra i due addendi distingue le due incognite x 1 e x Ogni incognita dunque potrà assumere i quattro valori possibili, e l altra incognita assumerà il valore in cui si cambia il segno tra i due radicali 3 La precisazione appena fatta si può giustificare osservando che il prodotto delle due soluzioni (che è un prodotto notevole di somma e differenza) deve necessariamente dare p 8 Problema: trovare due numeri sapendo la somma e la differenza dei loro quadrati Consideriamo ora anche la differenza dei quadrati di x 1 e x : con notazione simile, scriviamo d = x 1 x Come possiamo dunque trovare x 1, x in funzione di s e d? Beh, pensandoci un po, possiamo trovare i loro quadrati x 1 e x : infatti conosciamo la loro somma (s ) e la loro differenza (d ), e il problema relativo l abbiamo già risolto: x 1, x = s ± d e dunque: s ± d x 1, x = ma ovviamente non sappiamo se x 1 e x sono positivi o negativi 3 Quindi ci sono due coppie di soluzioni identiche, a seconda del segno davanti alla frazione, ma in cui x 1 e x vengono scambiati: si osservi che p e s non vengono modificati da tale operazione di scambio per la proprietà commutativa di somma e prodotto 7

8 9 Problema: trovare la differenza dei quadrati (d ) di due numeri conoscendo la somma dei quadrati (s ) e il prodotto (p) Supponiamo adesso di conoscere s e p Come possiamo calcolare facilmente d? Facendo un ragionamento analogo, conosciamo la somma di x 1 e x e il loro prodotto (x 1 x = p ) Dunque vale la relazione notevole (vedi il problema già trattato trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto ): s d = 4p da cui d = ± s (p) 10 Problema: radicale doppio Supponiamo che un radicale doppio a ± b si possa scrivere nella forma s = x 1 + x in cui x 1 e x siano radicali (quadrati) semplici Per definizione di radicale, saranno valide solo le soluzioni di s = a ± b con s > 0 (mi raccomando: assicurarsi di aver capito bene questo passaggio) Siccome i loro quadrati sono liberi da radicali, si dovrà avere che a = s mentre b conterrà per forza di cose tutta la parte del doppio prodotto, in cui potrebbero invece comparire radicali Dunque b = (p) Cerchiamo ora di scrivere d in funzione di a e b Nel paragrafo precedente abbiamo risolto questo problema, ottenendo: d = ± s (p) = ± a b e siccome, come appena ribadito, i quadrati di x 1 e x sono liberi da radicali, a b dovrà necessariamente essere un quadrato perfetto per poter avere una scrittura del genere Scriviamo dunque x 1 e x in funzione di s e d, come visto in precedenza (problema trovare due numeri sapendo la somma e la differenza dei loro quadrati ): s ± d a ± a x 1, x = = b Dunque il radicale doppio (che abbiamo scritto come s = x 1 + x ) vale: a + a s = b a a ± b Attenzione: dei quattro segni possibili per x 1, x abbiamo escluso i due casi in cui la prima radice abbia segno negativo, altrimenti è facile vedere che s è negativo contro le ipotesi, come osservato prima Il segno della seconda 8

9 radice, invece, è necessariamente uguale al segno di b nel radicale doppio originario (infatti la soluzione col + è maggiore di quella col, così come a + b > a b) Ricapitolazione - riassunto dei concetti fondamentali Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e la loro differenza Risolvendo il sistema: { x1 + x = s x 1 x = d si ottiene x 1 = s + d, x = s d cioè: { x1 = s+d x = s d Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto Il sistema da risolvere (di secondo grado) è: { x1 + x = s x 1 x = p Usando l uguaglianza notevole s d = 4p si ha d = ± s 4p e quindi la formula risolutiva: x 1, x = s ± s 4p Formula risolutiva delle equazioni di grado Per il teorema di Ruffini e per calcolo diretto si ha sempre x sx + p = (x x 1 )(x x ) e quindi, siccome l equazione di secondo grado ax + bx + c = 0 si può riscrivere x + b a x + c a, ottenendo s = b a e p = c a, abbiamo la formula risolutiva: x 1, x = b ± b 4ac a in cui sostituendo = b 4ac (il discriminante) si ottiene la scrittura compatta: x 1, x = b ± a 9

10 Il discriminante è legato alla differenza delle eventuali soluzioni e determina se l equazione è risolubile: Per < 0 l equazione non è risolubile (sotto radice compare un numero negativo) Per = 0 l equazione ha due soluzioni con differenza 0, ovvero coincidenti Per > 0 l equazione ha due soluzioni distinte Problema: punti estremali di un polinomio di grado Il polinomio x sx + p si può scrivere nella forma (x x 0 ) k con x 0 = s/ e k = x 0 p Da tale scrittura si ottengono facilmente le soluzioni x 1, x = x 0 ± k e questa formula è identica a quella trovata precedentemente tramite Ruffini Più in generale ax + bx + c si può scrivere nella forma a(x x 0 ) 4a Questo significa anche che per x = x 0 il polinomio assume valore estremale (massimo o minimo a seconda del segno di a) uguale a 4a Inoltre per valori di x che hanno la stessa distanza da x 0 il polinomio assume lo stesso valore (ovvero a per il quadrato della distanza meno la costante 4a ) Dunque il grafico di y = ax + bx + c ha la retta x = x 0 come asse di simmetria e lo interseca in quello che viene chiamato vertice, ovvero il punto V ( x 0, 4a) Altre combinazioni notevoli di x 1, x Le combinazioni notevoli delle radici s n = x n 1 + xn si possono ottenere in funzione di s e p (e quindi a, b, c), e in questi appunti viene visto qualche esempio Importanti sono s 1 = s = b a e s 1 = b c dedurre la regola di Cartesio perché dal loro segno si può Disequazioni generiche di grado Studio del segno di ax + bx + c - distinguiamo due casi: 1 0: in questo caso esistono le soluzioni x 1, x dell equazione associata e possiamo scrivere ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ), quindi il segno si ottiene con il solito schemino per i tre fattori del prodotto (per il primo fattore a il segno è ovviamente costante) 10

11 < 0: in questo caso possiamo scrivere ax + bx + c = a(x x 0 ) + 4a da cui deduciamo la regola: se il polinomio ax +bx+c ha discriminante < 0, allora esso ha segno costante ed uguale a quello di a Piccola curiosità: se il discriminante è nullo (quindi x 1 = x = x 0 ), le due scritture a(x x 1 )(x x ) e a(x x 0 ) + 4a coincidono In particolare da quanto visto finora è possibile stabilire alcune caratteristiche fondamentali del grafico di y = ax + bx + c quali: l asse di simmetria, il vertice, le intersezioni con gli assi (sostituendo y = 0 per l asse x e x = 0 per l asse y), l appartenenza al semipiano y > 0 o y < 0 a seconda del segno del polinomio 11 Problema: trovare due numeri sapendo la somma dei loro quadrati e il loro prodotto Ripasso: indichiamo con s la somma dei quadrati di x 1 e x (s = x 1 + x ) I prodotti notevoli del quadrato di un binomio si possono scrivere usando le nostre notazioni nella seguente forma compatta: s = s + p d = s p Usando i prodotti notevoli appena visti possiamo risolvere il problema (che è di 4 grado) ottenendo le quattro soluzioni (corrispondenti alle quattro scelte dei segni ++, +, +, ): x 1, x = ± s + p ± s p Notazione: indichiamo con d = x 1 x la differenza dei quadrati delle solite incognite x 1 e x 1 Problema: trovare due numeri sapendo la somma e la differenza dei loro quadrati Questo, sempre di 4 grado, può essere risolto cercando dapprima i quadrati dei numeri, di cui conosciamo somma e differenza Questo fornisce i valori assoluti delle due incognite (i segni sono invece indeterminati, ottenendo quindi quattro possibili coppie): s ± d x 1, x = 11

12 13 Problema: trovare la differenza dei quadrati (d ) di due numeri conoscendo la somma dei quadrati (s ) e il prodotto (p) Applicando la formula notevole s d = 4p ai quadrati dei due numeri, si ottiene: s d = 4p da cui d = ± s (p) 14 Problema: radicale doppio Il radicale doppio a ± b può essere semplificato come somma di due radicali (quadrati) semplici x 1 e x solo nel caso in cui a b sia un quadrato perfetto perché questo è appunto il quadrato di d In tal caso, applicando le varie formule appena ricapitolate, si ha la formula risolutiva: a ± b = s = x 1 + x = a + a b a a ± b con segno tra le due radici uguale a quello di b nel radicale doppio originario 1