IPSSART Aversa - Prof Nunzio ZARIGNO - Anno scolastico I LOGARITMI. Definizione di logaritmo

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1 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico I LOGARITMI Definizione di logaritmo Definizione Si dice LOGARITMO in base a, con, di un numero reale positivo b, e si scrive log a b, l'esponente al quale occorre elevare a per ottenere b In simboli a si dice base del logaritmo, b si dice argomento del logaritmo Osservazioni 1 La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come scrivere senza aver specificato indice e radicando 2 Se il numero di cui si vuole calcolare il logaritmo è espresso già come potenza della base si ha in particolare loga a 1 log b 1 0 Esempi: i seguenti logaritmi: Il calcolo è abbastanza semplice quando è possibile esprimere sia la base a che l'argomento b come potenza di una stessa base In caso contrario, come vedremo più avanti, sarà necessario utilizzare una calcolatrice scientifica 1 Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 2 per ottenere 8? 2 Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 27? Logaritmi e Proprietà 1

2 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 7 per ottenere 1/49? 4 Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 1/2 per ottenere 4? 5 Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 1? Osservazione Il risultato ottenuto nell'esercizio 5 vale qualunque sia la base: Osserviamo il grafico della funzione logaritmica Logaritmi e Proprietà 2

3 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Fino ad ora abbiamo considerato esempi nei quali si voleva calcolare il valore del logaritmo conoscendo base e argomento, procedendo nel seguente modo: si scrive l'equazione esponenziale associata:, se l'argomento si può esprimere mediante una potenza della base, si applicano le proprietà delle potenze ricavando il valore della x Vogliamo ora calcolare 1 la base, noti l'argomento ed il logaritmo 2 l'argomento noti la base ed il logaritmo Vediamo la procedura per determinare la base x in Per definizione di logaritmo abbiamo: L'equazione è risolvibile facilmente se anche a si può esprimere come potenza con esponente b applicando le proprietà delle potenze Esempio 1 Determinare x in L'equazione associata è dalla quale deduco immediatamente (osserva che la soluzione deve essere positiva per le ipotesi poste sulla base) Esempio 2 Determinare x in logx8 = 3 L'equazione associata è x 3 = 8 dalla quale si deduce che: 1 1 x 3 da cui x 8 2 Esempio 3 Determinare Per la definizione di logaritmo si ha subito Logaritmi e Proprietà 3

4 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico LOGARITMI DECIMALI In passato, quando avevano una notevole importanza per i calcoli, i logaritmi utilizzati più frequentemente erano quelli in cui la base è 10, detti logaritmi decimali Essi sono indicati con Esempi o anche semplicemente con log x (notazione anglosassone) Per verificare i risultati, come per calcolare il logaritmo in base 10 di un qualunque numero, puoi utilizzare la calcolatrice scientifica dove i logaritmi decimali sono indicati con la notazione anglosassone (log) LOGARITMI NATURALI Si dicono logaritmi naturali o neperiani i logaritmi che hanno come base il numero irrazionale e detto numero di Nepero Il numero di Nepero e è un numero trascendente, le cui prime cifre decimali sono Il logaritmo in base e si indica di solito con ln x Logaritmi e Proprietà 4

5 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Proprietà dei Logaritmi Dalle proprietà delle potenze si ricavano le proprietà dei logaritmi Proprietà 1 (1) Il logaritmo del prodotto di due numeri reali positivi è uguale alla somma dei logaritmi aventi per argomenti i singoli fattori e per base la stessa base oppure La somma di due o più logaritmi aventi ugual base, di numeri reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti Esempio 1 Primo modo ed in base alla definizione di logaritmo, si ottiene log2 (65536) = x 2x = x = 216 x = 16 Secondo modo Applichiamo la proprietà (1): ma, quindi si ha X = = 16 Ovviamente i due risultati coincidono Quando non si è sicuri del risultato utilizzando entrambi i metodi si ha una verifica della correttezza Esempio 2 Logaritmi e Proprietà 5

6 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Esempio 3 Osservazione Nella (1), l'ipotesi che i due fattori m, n siano positivi è necessaria Infatti se i due fattori fossero negativi non si potrebbe applicare la proprietà perché avrebbe senso, in quanto l'argomento risulta positivo perché prodotto di due fattori negativi, mentre logam e logan sono privi di senso avendo argomento negativo Per esempio: mentre non è possibile applicare la proprietà (1) poiché le scritture e prive di significato, in quanto il logaritmo non è definito per argomenti negativi sono Proprietà 2 (2) Il logaritmo del quoziente di due numeri reali positivi, è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore aventi la stessa base del logaritmo di partenza oppure La differenza di due logaritmi con ugual base e di argomenti reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il quoziente dei due argomenti Esempio 1 Primo modo Come nello svolgimento del primo esempio della proprietà precedente, anche in questo caso si possono sviluppare i calcoli numerici indicati nell'argomento del logaritmo assegnato: Logaritmi e Proprietà 6

7 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Secondo modo Applichiamo la proprietà (2): Da cui, sapendo che si ha Esempio 2 Esempio 3 Proprietà 3 (3) Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo, sempre nella stessa base, del numero positivo dato oppure Il prodotto di un numero per il logaritmo di un numero positivo è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento una potenza che ha per base l'argomento del precedente logaritmo e per esponente il fattore che moltiplicava il logaritmo precedente Logaritmi e Proprietà 7

8 Esempio 1 IPSSART Aversa Prof Nunzio ZARIGNO Anno scolastico Applicando la proprietà (3), si ottiene: Proprietà 3 Particolare (3P) Il logaritmo della radice nesima di un numero positivo è uguale al prodotto dell'inverso dell'indice per il logaritmo del radicando oppure Il quoziente tra il logaritmo di un numero positivo e un numero naturale n è uguale al logaritmo della radice nesima avente per radicando l'argomento del logaritmo Osservazione Questa proprietà è un'immediata conseguenza della proprietà (3) Vedi l'esempio seguente Esempio 1 Applicando la proprietà (4), si ottiene: Lo stesso risultato si otteneva applicando la proprietà (3): Ricordiamo altre proprietà, già ampliamente utilizzate, conseguenze immediate della definizione: Logaritmi e Proprietà 8