Funzione esponenziale

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1 Paolo Siviglia Funzione esponenziale Consideriamo le seguenti funzioni. e Come si vede, si tratta di potenze con esponente variabile. Espressioni di questo tipo sono denominate funzioni esponenziali. La più generale funzione esponenziale è del tipo: a. Poiché per certi valori razionali della una potenza con base negativa può perdere di significato, si conviene di considerare soltanto potenze con esponente positivo. Infatti, considerata la funzione ( ), per, si ha: ( ) che è priva di significato nel campo reale. La funzione esponenziale può essere espressa più compiutamente nel modo seguente: a, con a > 0 e R. Per costruire i relativi grafici delle due funzioni date, si determina prima un congruo numero di punti. Ciò è possibile attribuendo un valore arbitrario alla variabile indipendente e calcolando successivamente il corrispondente valore di. Inoltre, per cercare di intuire quale possa essere il loro andamento, i valori da associare alla variabile indipendente vanno scelti seguendo un certo criterio e non in modo casuale. Ad esempio, attribuendo alla successivamente i valori,,,, 0,,,,, 5, 6,, si cerca di capire come variano in corrispondenza i valori della funzione. Si può provare che tutte le potenze con base positiva ed esponente intero, razionale (frazionario) o irrazionale hanno significato. Più sinteticamente, si può dire che l esponente di una funzione esponenziale può essere un qualunque numero reale. Sui logaritmi

2 Affinchè il docente si renda conto che sussistano le condizioni per realizzare un lavoro proficuo è bene fare eseguire i calcoli a uno studente alla lavagna. Così, se emergono delle lacune, si possono colmare subito. Attendere una futura verifica per rendersi conto dello stato delle cose, conduce ad un lavoro dispersivo e pertanto piuttosto inefficace. Si formano allora le due tabelle seguenti: Dai risultati ottenuti emerge che: 5 5 Sui logaritmi

3 0 < a < 0 a > a Paolo Siviglia I valori ottenuti in entrambe le funzioni sono positivi. Ciò significa che i loro grafici sono localizzati nel semipiano delle ordinate positive, ossia nel primo e nel secondo quadrante degli assi cooordinati cartesiani. Quanto più piccoli si assumono i valori di, tanto più i corrispondenti valori di tendono a zero nella prima funzione e a più infinito nella seconda. Quanto più grandi si assumono i valori di, tanto più aumentano i corrispondenti valori di nella prima funzione e, invece, tendono a zero nella seconda. I diagrammi delle due funzioni sono quelli riportati qui di seguito. Con semplici considerazioni si può constatare facilmente che tutte le funzioni esponenziali con il paramretro a > hanno un andamento analogo a quello 0 riportato nella figura accanto. In questo caso si dice che la funzione è crescente. Ciò vuol dire che al crescere dell esponente cresce anche il valore della funzione; al decrescere dell esponente decresce anche la potenza. Nel caso, invece, che il parametro a sia un numero compreso fra 0 e, l andamento della funzione è quello riportato nella figura accanto. In questo caso si dice che la funzione è decrescente. 0 Ciò vuol dire che al crescere dell esponente decresce il valore della potenza e, viceversa, al decrescere dell esponente cresce il valore della potenza. Nella figura accanto sono riportati i grafici della funzione esponenzioale per i diversi valori del parametro a. Come si vede: per a >, l andamento della funzione rispecchia quello dell esponente: cresce al crescere dell esponente, decresce al decrescere dell esponente; Per 0 < a <, l andamento della funzione non rispecchia quello dell esponente. Infatti: cresce al decrescere dell esponente, decresce al crescere dell esponente. Sistemi di logaritmi. Cambiamento di base L insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali positivi in una data base costituisce un sistema di logaritmi. Poiché la base di un logaritmo può essere un qualsiasi numero reale positivo diverso da, si possono avere infiniti sistemi di logaritmi. Questi sistemi non sono indipendenti Sui logaritmi

4 fra loro, ma sono legati in modo tale che, conoscendone uno, si possono determinare tutti gli altri. Si supponga, infatti, di conoscere il logaritmo del numero positivo k nella base a; ossia, di sapere il valore di: log a k, k R +, a > 0, a. Si vuole calcolare il logaritmo di k in base b. Posto: log b k, si ha: b k. Considerando i logaritmi in base a di entrambi i membri, si ha: log a b log a k Applicando la proprietà del logaritmo di una potenza, si ha: loga k loga k log a b log a k, da cui:, logb k. log b log b ESEMPI log 5 log logc a log7 5 ; log5 ; logb a. log 7 log 5 log b a I sistemi di logaritmi più usati sono due: a) Il sistema dei logaritmi decimali (o volgari o di Briggs o a base 0). Essi sono indicati con Log omettendo la base; b) il sistema dei logaritmi naturali (o neperiani) che ha per base un particolare numero irrazionale detto numero e (o numero di Nepero). Il numero e vale,7 a meno di un millesimo. c a J. Napier (Nepero): Edimburgo I logaritmi naturali si indicano con il simbolo log oppure ln. I logaritmi decimali vengono usati nei calcoli aritmetici, ragion per cui sono denominati anche logaritmi volgari ; i logaritmi naturali, invece, vengono utilizzati nel calcolo infinitesimale. Con l avvento delle calcolatrici tascabili, i logaritmi hanno perso tutta quell importanza che in passato veniva loro attribuita per il calcolo di espressioni piuttosto complicate. Applicazioni Sia da calcolare il seguente logaritmo: log b a, con a e b potenze di uno stesso numero Sui logaritmi

5 Si abbia, ad esempio: Si dimostra che Paolo Siviglia a k m e b k n () log b a n m Infatti, posto: log b a, per definizione di logaritmo, si ha: b a. n m Per la (), si ha: ( ) ossia: da cui: k k, k n k m n m m n Quindi: log b a n m. Questi calcoli vanno fatti eseguire agli studenti sotto la guida del docente. Se lo studente procede stentatamente, vuol dire che bisogna far eseguire altri esercizi dello stesso tipo prima di andare avanti. Non bisogna fare come quel docente che ha detto che preferisce eseguire lui personalmente i calcoli per non perdere tempo. Agli studenti basta copiare dalla lavagna. Una risposta del genere merita una attentissima riflessione. Quel docente ha creduto forse che gli studenti fossero soltanto come dei sacchi da riempire.. Calcolare il logaritmo di 6 in base. Poiché si ha: 6 e 7 Risulta: log 6 Infatti: 7 6, ( ) 6.. Calcolare il logaritmo di in base. Poiché il e il non sono potenze di una stessa base, chiediamoci prima se tale logaritmo esista. Indicando con l eventuale valore di cui si vuole A stabilire l esistenza, si può scrivere: log. Per la definizione di logaritmo, l espressione A precedente può essere messa sotto la forma:, la quale rappresenta un equazione esponenziale. Indicando con i due termini dell uguaglianza, si forma il sistema: Sui logaritmi 5

6 . La prima equazione rappresenta una funzione esponenziale con la base maggiore di e la seconda una retta parallela all asse delle ascisse. La soluzione del sistema rappresenta le coordinate dell eventuale punto di intersezione delle rispettive curve rappresentative. Poiché i diagrammi delle due funzioni si possono disegnare facilmente, servendosi di essi si può stabilire se il sistema ammetta soluzioni oppure no. Poiché le due curve si intersecano soltanto nel punto A, si può dire allora che il valore cercato esiste ed è rappresentato dall ascissa del suddetto punto A. Si può scrivere: log A > 0. La sequenza dei vari passaggi può essere sinrtetizzata nel modo seguente: log. Stabilire se esiste il logaritmo di in base 5. B B 5 Procedendo come nel caso precedente, si ha: 5 log 5 5 Il valore cercato esiste ed è un numero negativo. Si ha: log 5 B < 0.. Stabilire se esiste il logaritmo di in base. 5 5 C C 5. Stabilire se esiste il logaritmo di in base. 7 Procedendo come nei casi precedenti, si ha: Procedendo come nei casi precedenti, si ha: log Il valore cercato esiste ed è un numero negativo. Si ha, cioè: log 0. C < 5 6 Sui logaritmi

7 Paolo Siviglia log 7 D D log Il valore cercato esiste ed è un numero positivo. Si ha, cioè: log D > Stabilire se esiste il logaritmo di in base. Procedendo come nei casi precedenti, si ha: log ( ) Il valore cercato non esiste perché i grafici delle due funzioni non hanno alcun punto in comune. Si può dire allora che esistono soltanto i logaritmi dei numeri positivi. Quindi, data la funzione: log a, essa ha significato soltanto per > Calcolare il logaritmo di 0 in base 5 a meno di 0,00. Poiché i numeri 0 e 5 non sono potenze di una medesima base, il valore del logaritmo sarà un numero irrazionale. Pertanto di esso si può calcolare soltanto un valore approssimato. Il valore approssimato a meno di una unità va ricercato fra i numeri: 0,,,,, Si calcolano le potenze aventi come esponenti tali numeri, confrontando i risultati con il numero 0. Si ha: 5 0 < 0; 5 5 < 0; 5 5 < 0; 5 5 > 0. Il logaritmo cercato è compreso fra e. Si può scrivere: < log 5 0 <. Si dice che è un valore approssimato per difetto di tale logaritmo a meno di ; il numero, invece, è un valore approssimato per eccesso a meno di. I valori approssimati a meno di 0, (un decimo) vanno ricercati fra le potenze di 5 con esponenti:,0;,;,;,;,;,5;,6;,7;,;,9. Per eseguire i calcoli, si deve fare uso di una calcolatrice. Sui logaritmi 7

8 Si ha: 5,0 5 < 0; 5, 9,.. < 0; 5,,.. < 0; 5, 0,5..> 0 Il logaritmo è compreso fra, e,. Si ha, cioè., < log 5 0 <,. I numeri, e, rappresentano i valori approssimati a meno di un decimo del logaritmo cercato. I valori approssimati a meno di 0,0 (un centesimo) vanno ricercati fra le potenze di 5 con esponenti:,0;,;,;,;,;,5;,6;,7;,;,9. Si ha: 5,0, < 0; 5, 5, < 0; 5, 5, < 0; 5, 6, < 0; 5, 6, < 0; 5,5 7, < 0; 5,6 7, < 0; 5,7, < 0; 5, 9, < 0; 5,9 9, < 0; 5,0 0,5 > 0 Si ha:,9 < log 5 0 <,0. I valori approssimati a meno di 0,00 (un millesimo) vanno ricercati fra le potenze di 5 con esponenti:,90;,9;,9;,9;,9;,95;,96;,97;,9;,99. Si ha: 5,90 9, < 0; 5,9 9, < 0; 5,9 9, < 0; 5,9 0,06 > 0. Si ha:,9 < log 5 0 <,9. Il logaritmo cercato a meno di un millesimo per difetto è,9. Poiché le calcolatrici permettono di determinare i logaritmi decimali, ossia in base 0, e i logaritmi naturali, ossia in base il numero e di Nepero, si potrebbe procedere anche nel modo seguente: Log0,600 log 5 0,9 Log 5 0,699 ln 0,6 log 5 0,9 ln5,609 Conviene proporre un certo numero di questi esercizi. Così uno studente, oltre a fare un uso corretto della calcolatrice, può fissare meglio certi concetti riguardanti i calcoli numerici. Si possono proporre anche quozienti di due numeri, estrazioni di radici prefissando il grado di approssimazione, come nell esempio seguente.. Estrarre la radice quinta del numero 0 a meno di un centesimo. Sui logaritmi

9 Paolo Siviglia Un valore approssimato a meno di va ricercato fra i numeri: ; ; ; ; 5; 6; Si ha: 5 < 0; 5 < 0; 5 > 0; Risulta: < 5 0 <. I valori aopprossimati a meno di un decimo vanno ricercati fra i numeri:,0;,;,;,;,;,5; Si ha:,0 5 < 0;, 5 0, > 0. Risulta:,0 < 5 0 <,. I valori approssimati a meno di un centesimo vanno ricercati fra i numeri:,00;,0;,0;,0;,0;,05; Si ha:,00 5,00 < 0;,0 5, < 0;,0 5, < 0;,0 5, < 0;,09 5 9, < 0;, 5 0, > 0. Risulta:,09 < 5 0 <,0. I numeri,09 e,0 rappresentano i valori approssimati per difetto e per eccesso rispettivamente ameno di un centesimo della radice quinta del numero 0. Funzione logaritmica Una funzione del tipo: log a è detta funzione logaritmica. Essa è l inversa della funzione esponenziale. Infatti, data la potenza: a n b, si ha: a a n b e n log a b. a > loga Cioè, la potenza ammette due operazioni inverse: l estrazione di radice, per trovare la base; l estrazione di logaritmo, per trovare l esponente. Quindi, da a, si ha: log a. Permutando le variabili, si ottiene: log a La costruzione del grafico della funzione logaritmica si realizza facilmente, utilizzando le proprietà delle funzioni inverse. Sui logaritmi 9

10 I grafici di due funzioni inverse, come è noto, sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante del sistema di riferimento. Quindi, dal grafico della a 0 < a < log a nell insieme R + dei numeri reali positivi. Si ha: 0 < < +, < < + funzione esponenziale si può dedurre quello della funzione logaritmica. Si ha: f() a, a > 0 dom f R cod f R +. f () log a a > 0 dom f R + cod f R. La funzione logaritmica è definita, quindi, log a a > 0 < a < log a La funzione logaritmica segue l andamento dell argomento se la base a è maggiore di, non segue l andamento dell argomento se la base è compresa fra 0 e. La funzione logaritmica ha l asse come asintoto verticale. ESEMPI. Data la funzione f() 7, determinare la sua inversa. Risolvendo rispetto a l equazione: 7, si trova: log 7, ossia: + log 7. Scambiando le variabili, si ha: + log 7. Risulta, allora: f () + log 7. Data la funzione f() log ( ), determinare la sua inversa. Tenendo conto della definizione di logaritmo, si ha:, + +, Permutando le variabili, si ha: + Risulta, così: f ( ) + 0 Sui logaritmi