9. Lezione 9/10/2017. = a 3 a a

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1 9. Lezione 9/10/ Funzioni esponenziali. Scelta una base positiva a possiamo considerare le potenze a n per ogni n N. Valgono le proprietà: a 0 = 1 1 n 1 a = 1 a 1/ = a a a 4/3 = a 3 a a 0.5 = 1 a che consentono di considerare potenze a r per ogni razionale r. L ipotesi che la base a debba essere positiva è evidente pensando semplicemente a a 1/ = a. La possibilità di approssimare ogni numero reale x con razionali suggerisce di definire a x per x reale tramite i valori a r relativi ai razionali r che approssimano x. In altri termini, ad esempio, a è, per definizione, il numero al quale si avvicinano sempre più le potenze ad esponenti razionali 1 a 1.4, a 1.41, a 1.414,... DEFINIZIONE 9.1. Scelto a > 0 la funzione x R : si chiama funzione esponenziale di base a. x a x 9.. Proprietà della funzione esponenziale. Conviene, per semplicità, elencare le proprietà della a x pensando che x sia un intero. La relazione fondamentale è la seguente a n+m = a n.a m Tutte le altre, di seguito elencate, sono una conseguenza di tale relazione fondamentale: x R : a x > 0 se a = 1 allora x R : a x 1, x 1,x R : a x 1+x = a x 1 a x, 1 < a implica che a x : è crescente: x 1 < x a x 1 < a x 1... che tali potenze si avvicinino veramente a un certo numero reale e non si spargano in modo disordinato è tutto da dimostrare!

2 FIGURA 1. x, ( 1 3) x positivo grande se x è positivo grande, positivo vicino a zero se x è negativo grande, 0 < a < 1 implica che a x è decrescente: x 1 < x a x 1 > a x positivo grande se x è negativo grande, positivo vicino a zero se x è positivo grande, Le proprietà elencate si possono riassumere nella proposizione seguente PROPOSIZIONE 9.. Per ogni a 1 si definisce la funzione esponenziale a x che ha dominio R, è monotona, ha immagine l insieme dei numeri reali maggiori di zero. ESEMPIO 9.3. Sia a =, base maggiore di 1, a 7 = 1 7 = 1 18, a7 = 18, a 100 = Sia invece a = 0.1, base minore di 1, a 7 = 10 7 = , a 7 1 = ,... OSSERVAZIONE 9.4. La radice quadrata di è il più noto numero irrazionale: con la notazione degli esponenti frazionari si indica = 1/ che fa pensare, ragionevolmente, che siano proprio gli esponenti non interi la principale causa di irrazionalità. Una questione interessante può essere la seguente: se a e b sono tutti e due irrazionali sarà irrazionale anche la potenza a b?

3 9. LEZIONE 9/10/017 3 NO: la terribile potenza a b può, in qualche caso, essere razionale. Infatti prendiamo a =, b = e ragioniamo sulla potenza c =. Non abbiamo la minima idea di quanto sia c ma possiamo ragionare sui due casi possibili: (1) c sia razionale, e allora avremmo trovato l esempio di una potenza di base ed esponenti irrazionali che risulta razionale, () c non sia razionale, considerata allora ( ) c = = = = abbiamo l esempio di una potenza con base e esponente irrazionali che vale addirittura un numero naturale La funzione e x. La funzione esponenziale di base la costante e di Nepero gode di una particolare celebrità: FIGURA. e x, e x/, e x/3 nella maggioranza dei casi la locuzione funzione esponenziale si riferisce appunto alla e x, sulle calcolatrici tascabili il tasto EXP si riferisce alla e x,

4 4 i valori della e x, nonostante la terribile base e si calcolano con relativa facilità tenuto presente che (come riconosceremo più avanti) e x = 1 + x + 1! x + 1 3! x FIGURA 3. e x, e 3x La funzione composta e x, come pure tutte quelle ad essa associate Ae λ x hanno un ruolo molto importante nella distribuzione dei possibili errori casuali delle attività sperimentale. I loro grafici a forma di campana vengono detti appunto campane di Gauss. Consideriamo, data b, l equazione 10. I logaritmi (1) 10 x = b nell incognita x. In altri termini cerchiamo il valore x in corrispondenza del quale la funzione esponenziale 10 x produce il valore b. La Figura 4 è riferita a un piano cartesiano non monometrico: l unità di misura sull asse y è un decimo di quella sull asse x. Il motivo è rendere meno rapida, e quindi più leggibile, la crescita dell esponenziale 10 x.

5 10. I LOGARITMI 5 FIGURA x, log 10 (b) ESEMPIO x = 100 x =, 10 x = 0.1 x = 1 10 x = 1000 x = 3 10 x = 10 x = 1 Tenuto presente che l esponenziale 10 x produce sempre valori positivi è chiaro che l equazione proposta non ha soluzione se b 0 x R : 10 x = 5 È altrettanto chiaro che, tenuto conto che la funzione esponenziale 10 x produce valori sia vicini a zero che positivi molto grandi, per ogni b > 0 ci sarà un valore x che soddisfi l equazione. 10 x = x = 1, 10 x = x = 1 È anche chiaro che non ce ne possono essere due x 1 < x perchè 10 x è crescente e quindi x 1 < x 10 x 1 < 10 x e quindi se uno dei due valori 10 x 1 e 10 x vale b non può valere b anche l altro. DEFINIZIONE 10.. La soluzione dell equazione 10 x = b prende il nome di log 10 (b) che si legge logaritmo in base 10 di b o più brevemente anche logaritmo di b. ESEMPIO Consideriamo l equazione 10 x = b: 10 x = 1 log 10 (1) = 0 10 x = 10 log 10 (10) = 1 10 x = 100 log 10 (100) = 10 x = 0.1 log 10 (0.1) = 1 10 x = log 10 (0.1) = 3

6 6 FIGURA 5. log 10 (b), sistema non monometrico. I valori log 10 (b) crescono al crescere di b, ma crescono assai lentamente: come visto precedentemente per arrivare a 3 bisogna che b sia 1000, per arrivare a 4 bisogna che b sia 10000,... per arrivare a 10 bisogna che b arrivi a un miliardo! ESEMPIO Ogni numero positivo a può essere rappresentato come potenza di 10, ovviamente con esponente non sempre intero...! Si noti come 3 = 10 x x = log(3) 0, ,4771 0, , ,5 = ,167 Si tenga presente che, quasi sempre, la notazione log 10 viene semplificata scrivendo semplicemente log, tralasciando cioè la specifica Le funziioni inverse. Assegnata una funzione f : x f (x) di dominio D si può considerare l equazione () f (x) = b nella quale, assegnato b, si cerca x D tale che f (x) = b. L equazione () è una generalizzazione della (1). detta I l immagine di f l equazione () ha soluzione se e solo se b I, se f è monotona è di conseguenza iniettiva, ovvero l equazione () ha per ogni b I una sola soluzione x D. In altri termini se f è monotona da D a I allora risolvere l equazione () determina una funzione da I a D che prende il nome di funzione inversa di f e si denomina in genere con f 1. Detta f la funzione esponenziale 10 x la funzione log 10 (b) ne rappresenta l inversa.

7 10. I LOGARITMI 7 ESERCIZIO Sia f (x) = 3x +5, funzione di dominio R e immagine ancora R: La funzione inversa è pertanto f (x) = b 3x + 5 = b x = 1 (b 5) 3 f 1 : b 1 (b 5) 3 Si noti, in particolare che f : 7 6 f 1 : x : 100 log 10 (x) : 100 ESERCIZIO Non si può parlare della funzione inversa della q(x) = x perchè essa non è monotona. L equazione x = 4 ha due soluzioni: e. Se ci fosse la funzione inversa di q quale sarebbe il suo valore q 1 (4)? DEFINIZIONE La funzione inversa della funzione f di dominio D e immagine I è, per definizione, la funzione f 1 di dominio I di immagine D che fa corrispondere ad ogni b I la soluzione x D dell equazione f (x) = b Proprietà dei logaritmi. Le proprietà dei logaritmi discendono dall unica relazione k > 0 : 10 log 10 (k) = k a > 0, r Q : log(a r ) = r log(a) a > 0, x R : log(a x ) = x log(a) a > 0, b > 0 : log(a b) = log(a) + log(b) a > 0, b > 0 : log( a b ) = log(a) log(b) ESEMPIO Determinare la soluzione x dell equazione Trascriviamo l equazione nella forma Posto x + 3 x x = 3 x 4 x + 6 x = 9 x t = ( ) x ( ) x + = ( ) x 3

8 8 l equazione si riduce a Poichè ( 3) x è positivo si ha t +t 1 = 0 t = ( ) x = ( 1 + ) 5 log x = log ( ) Logaritmi in basi diverse. Abbiamo incontrato i logaritmi in base log 10 (b) cercando la soluzione dell equazione 10 x = b: a fianco di tale equazione se ne possono considserare tante altre analoghe: ad esempio (3) 3 x = b, x = b, 0.1 x = b,... Quella che non si può considerare è 1 x = b: se b 1 ovviamente non avrebbe soluzioni, mentre se b = 1 tutti i reali x sarebbero soluzione! DEFINIZIONE Fissato a > 0 e a 1 si dice logaritmo in base a di b la soluzione dell equazione a x = b ad essa si da il nome di log a (b). La sorpresa è che chi conosce i logaritmi in base 10 conosce, forse senza saperlo, anche quelli in base 3. Consideriamo infatti l equazione 3 x = 5: la soluzione è, per definizione x = log 3 (5): trascriviamo i due numeri 3 e 5 come potenze di 10 { 3 = 10 log 10 (3) 5 = 10 log 10 (5) 3 x = 5 10 x log 10 (3) = 10 log 10 (5) Da cui Si ha pertanto x log 10 (3) = log 10 (5) x = log 10 (5) log 10 (3) log 3 (5) = log 10 (5) log 10 (3) Naturalmente quanto fatto a partire dalla base 3 si fa, analogamente, per ogni altra base a, riconoscendo quindi che log a (b) = log 10 (b) log 10 (a) Tra le infinite basi possibili una è particolarmente importante nel Calcolo: la costante e di Nepero che abbiamo incontrato a pagina??. Addirittura i logaritmi riferiti alla base e hanno l ambizioso nome di logaritmi naturali

9 10. I LOGARITMI 9 e si denotano spesso con la notazione ln(b). La tabellina seguente confronta i logaritmi in base 10 e quelli in base e per alcuni valori di b: si osservi che i logaritmi naturali valgono poco più del doppio di quelli decimali. b Log 10 (b) ln(b)