10.1 Successioni. Definizione. Notazione

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1 10.1 Successioni. Definizione Una funzione f : N! A, di dominio l insieme N dei numeri naturali o l insieme N dei naturali positivi si chiama successione. In particolare, una successione di numeri reali è una successione il cui codominio è R. Notazione Sia f : N! A una successione; si definisce termine generale della successione l immagine f (n) del generico n 2 N e, posto f (n) =x n per ogni n 2 N la successione viene denotata con {x n } n2n Molte situazioni possono essere descritte da opportune successioni, ad esempio l aumento dello stipendio di un lavoratore per effetto degli scatti di anzianità, la crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, la suddivisione delle cellule, la diffusione di una epidemia ecc.

2 Supponiamo ad esempio di voler schematizzare l aumento di uno stipendio per effetto degli scatti di anzianità. Indicato con S = S(0) lo stipendio base ovvero lo stipendio al momento dell assunzione, supponiamo che il contratto di lavoro preveda uno scatto annuale di anzianità pari al 1, 5% dello stipendio base. Questo vuol dire che dopo un anno lo stipendio sarà dopo due anni S(1) =S +( 1, )S S(2) =S +( 1, 5 5 1, 5 )S +(1, )S = S + 2( )S In generale, se indichiamo con S(n) lo stipendio dopo n anni, avremo che S(n) =S + n( 1, )S

3 Otteniamo dunque una successione S : N! Q 0! S(0) 1! S(1) in generale 2! S(2)... n! S(n) =S + n( 1, )S Il termine generale della successione ottenuta è S(n) = S + nd dove d =( 1,5 100 )S. 3 / 23

4 Per assegnare una successione si può: precisare il termine generale x n mediante una formula che consenta di calcolarlo direttamente; esprimere il termine generale in funzione dei termini precedenti precisando però il termine iniziale (x 0 oppure x 1 a secondo che il dominio sia N oppure N ) Ad esempio la successione {(1 + 1 n )n } n2n, è la funzione N! R tale che 1! 2 2! ( )2 = 9 4 3! ( )3 = n! (1 + 1 n )n

5 La successione di Fibonacci è la successione {F n } n2n definita da e, per n 2 F 0 = F 1 = 1 F n = F n 2 + F n 1 Dunque è la funzione F : N! R che a 0 e 1 associa 1 e ad ogni numero naturale n 2 associa la somma delle immagini dei due numeri naturale che lo precedono. Ad esempio F 2 = F 0 + F 1 = = 2, F 3 = F 1 + F 2 = = 3 e così F 4 = 5 ecc. La successione di Fibonacci nasce dal seguente problema posto nel 1202 da Leonardo Fibonacci : Supponiamo che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di coniglietti e che i nuovi nati si riproducano con le stesse modalità ad iniziare dal secondo mese dalla nascita. Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno dopo 1, 2, 3,... mesi?

6 Il problema di Fibonacci può essere schematizzato in questo modo: all istante iniziale n = 0 c è una sola coppia di coniglietti, dopo un mese (n = 1) c è ancora una sola coppia che però nel frattempo è diventata adulta e quindi nel mese successivo (n = 2) genera un altra coppia di coniglietti. Pertanto dopo 2 mesi le coppie sono 2. Nel terzo mese (n = 3), la prima coppia genera un altra coppia di coniglietti per cui le coppie sono 3. Indicando con F (n) il numero delle coppie al termine dell n-esimo mese si ha F (0) =F(1) =1, F(2) =2, F(3) =3 Per determinare il termine generale F (n) occorre osservare che, dopo n mesi, sono presenti tutte la F (n 1) coppie presenti al termine del mese precedente più le giovani coppie della nuova generazione che sono tante quante erano le coppie adulte della generazione precedente quindi tante quante erano le coppie (non tutte adulte) nel mese ancora precedente cioè F (n 2). Pertanto F(n) =F(n 1)+F(n 2).

7 Tra le successioni ci sono le progressioni aritmetiche e geometriche. Definizione Fissato un numero reale m 2 R \{0}, si chiama progressione aritmetica di ragione m, una successione {a n } n2n definita assegnando il termine iniziale a 0 e ponendo a n+1 = a n + m Una progressione aritmetica è univocamente determinata dal termine iniziale a 0 e dalla ragione m; infatti a 1 = a 0 + m a 2 = a 1 + m = a 0 + m + m = a 0 + 2m In generale a 3 = a 2 + m = a 0 + 2m + m = a 0 + 3m a n = a 0 + nm Dunque ad esempio la progressione aritmetica di ragione 3 e termine iniziale -8 è la successione di termine generale a n = 8 + 3n. La successione {S n } n2n che schematizzava l aumento di stipendio per effetto degli scatti stipendiali è una progressione aritmetica di ragione d = 0, 015 e termine iniziale S (stipendio iniziale).

8 Definizione Fissato un numero reale p 2 R \{0}, si chiama progressione geometrica di ragione p, una successione {g n } n2n definita assegnando il termine iniziale g 0 e ponendo g n+1 = pg n Anche le progressioni geometriche sono determinate completamente dal termine iniziale e dalla ragione, infatti: g 1 = pg 0 g 2 = pg 1 = ppg 0 = p 2 g 0 g 3 = pg 2 = pp 2 g 0 = p 3 g 0 In generale g n = p n g 0 Dunque la progressione geometrica di ragione 3 e termine iniziale successione di termine generale g n = 8 3 n 8 è la

9 Un esempio di progressione geometrica si ottiene cercando di descrivere la crescita di un capitale investito ad un tasso di interesse annuo fisso. Infatti, indicato con C = C 0 il capitale iniziale, supponiamo che l interesse annuo sia del 7% e che tale interesse venga, alla fine di ogni anno, sommato al capitale. Dopo un anno il capitale sarà C 1 = C C = C( ) Dopo due anni gli interessi maturano non solo sul capitale ma anche sugli interessi precedentemente capitalizzati per cui C 2 = C 1 + C = C 1( )=C( )2 In generale dopo n anni il capitale sarà C n = C( )n Si ottiene dunque una progressione geometrica di ragione p =( ).

10 Osserviamo che nelle progressioni aritmetiche è costante la differenza a n a n 1 tra due termini consecutivi mentre nelle progressioni geometriche lo è il rapporto gn g n 1. Non tutte le successioni sono progressioni aritmetiche o geometriche, ad esempio la successione di Fibonacci non è una progressione. Nello studio delle successioni reali è importante cercare di capire che cosa accade al crescere del numero naturale n Definizione Una successione di numeri reali {x n } n2n è convergente e converge ad un certo l 2 R se, comunque si consideri un numero reale > 0, esiste un indice n 0 2 N tale che per ogni n n 0, si ha x n 2 [l, l + ] cioè x n l <. Tale circostanza si esprime con la notazione lim n x n = l Ad esempio la successione { 1 n } n2n è convergente e lim n 1 n = 0 10 / 23

11 Definizione Una successione di numeri reali {x n } n2n è divergente positivamente se, comunque si consideri un numero reale M > 0, esiste un indice n 0 2 N tale che per ogni n n 0, si ha x n > M. Tale circostanza si esprime con la notazione lim x n =+1 n Ad esempio una progressione aritmetica di ragione m > 0 è divergente positivamente. Definizione Una successione di numeri reali {x n } n2n è divergente negativamente se, comunque si consideri un numero reale M > 0, esiste un indice n 0 2 N tale che per ogni n n 0, si ha x n < M. Tale circostanza si esprime con la notazione lim x n = n 1 Una progressione aritmetica di ragione m < 0 è divergente negativamente.

12 Una successione è detta regolare se è convergente oppure divergente. Non tutte le successioni sono regolari, ad esempio la successione non è regolare. {( 1) n } n2n Ogni successione monotona {x n } n2n è regolare; in particolare se è limitata, ossia se esistono a, b 2 R tali che x n 2 [a, b] per ogni n 2 N, allora è convergente e lim n x n 2 [a, b]. Si può dimostrare che la successione è crescente, limitata e 2 apple n n o n n2n n n < 3. Pertanto è convergente. Il limite di tale successione è detto numero di Nepero. e = lim n n n 2 [2, 3)

13 11.1 Funzioni esponenziali Definizione Siano a 2 R \{0} un numero reale non nullo e p 2 R un numero reale, p > 0; la funzione f : R! R definita da f (x) =ap x, per ogni x 2 R si chiama funzione esponenziale di base p. Osserviamo che se p = 1 allora, per ogni x 2 R, si ha f (x) =a1 x = a dunque la funzione esponenziale di base 1 è la funzione costante di valore a. Pertanto si assume sempre p 6= / 23

14 Osservazione Per le proprietà delle potenze si ha che 1 x ap x = a p e ap cx = a(p c ) x Dunque ogni funzione definita da f (x) =ap cx, con p > 0ea, c 6= 0 si può scrivere come funzione esponenziale scegliendo la base in modo opportuno. La più importante tra le funzioni esponenziali è quella di coefficiente a = 1e base p = e il numero di Nepero; cioè la funzione f (x) =e x Vedremo infatti che ogni funzione esponenziale può essere scritta nella forma ae cx per opportuni a, c 2 R, a 6= 0.

15 Studiamo dunque la funzione reale f : R! R definita da f (x) =ap x In primo luogo osserviamo che poichè p > 0, si ha che p x > 0 per ogni x 2 R e quindi si ha che: se a > 0, allora ap x > 0 per ogni x 2 R e quindi f (R) ={f (x) x 2 R} R + = {x 2 R x > 0} se a < 0, allora ap x < 0 per ogni x 2 R e quindi f (R) ={f (x) x 2 R} R = {x 2 R x < 0} Si può in realtà provare che nel primo caso f (R) =R + e nel secondo f (R) =R ; in ogni caso l immagine di f è un sottoinsieme proprio di R il che comporta che la funzione non è suriettiva.

16 Per studiare l iniettività di f osserviamo che: se p > 1, allora considerati x 0, x 1 2 R, x 0 < x 1 comporta p x 0 < p x 1 da cui f (x 0 )=ap x 0 < f (x 1 )=ap x 1 se a > 0 f (x 0 )=ap x 0 > ap x 1 = f (x 1 ) se a < 0 cioè f è strettamente crescente se a > 0, strettamente decrescente se a < 0 ma, in ogni caso è iniettiva. se 0 < p < 1, allora 1 p > 1 e quindi, considerati x 0, x 1 2 R, si ha che 1 x 0 < x 1 comporta p x0 < 1 p x1 e p x 0 > p x 1 da cui f (x 0 )=ap x 0 > f (x 1 )=ap x 1 se a > 0 f (x 0 )=ap x 0 < ap x 1 = f (x 1 ) se a < 0 cioè f è strettamente decrescente se a > 0, strettamente crescente se a < 0 ma, in ogni caso è iniettiva.

17 Come fatto in precedenza per le funzioni lineari e quadratiche, cerchiamo di determinare una funzione esponenziale conoscendo dei punti del grafico. La generica funzione esponenziale f (x) =ap x dipende dai parametri a 6= 0e p > 0 pertanto per determinarla dovrebbero bastare due punti (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ) del suo grafico G f. Poichè (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ) sono punti del grafico di una stessa funzione, si ha che x 0 6= x 1, inoltre, poichè la funzione è esponenziale le seconde coordinate y 0 e y 1 sono entrambe strettamante positive o entrambe strettamente negative. Da (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) 2 G f, segue che y 0 = ap x 0 e y 1 = ap x 1 = ap x 1 x 0 +x 0 = ap x 0 p x 1 x 0 = y 0 p x 1 x 0 Allora e da y 1 = y 0 p x 1 x 0 da cui p = y 0 = ap x 0 segue a = y 0 p x 0 = y1 1 (x 1 x 0 ) y 0 y 0 x0 y1 (x 1 x 0 ) y 0 = y x 1 1 x 0 1 x 0 y x 0 1

18 11.2 La funzione logaritmo Le considerazioni precedenti assicurano che, dato un numero reale positivo p 6= 1, la funzione f : x 2 R! p x 2 R + = {x 2 R x > 0} è biettiva e dunque dotata di funzione inversa. Definizione La funzione inversa della funzione esponenziale f (x) =p x, ovvero la funzione f 1 : R +! R che ad ogni y 2 R + associa l unico x 2 R tale che p x = y, è detta logaritmo in base p e, per ogni y 2 R +, si pone f 1 (y) =log p (y) Dalla definizione segue dunque che, per ogni x 2 R +, p logpx = x e log p (p x )=x Inoltre da p 0 = 1ep 1 = p segue subito che log p 1 = 0elog p p = 1 18 / 23

19 Proprietà dei logaritmi Per ogni a, b 2 R +, si ha 1 log p (ab) =log p (a)+log p (b) 2 log p ( a b )=log p(a) log p (b) Per dimostrare la prima delle due proprietà poniamo x = log p a e y = log p b; allora a = p x e b = p y pertanto log p (ab) =log p (p x p y )=log p (p x+y )=x + y = log p a + log p b Per dimostrare invece la seconda notiamo che dunque a 0 = log p 1 = log p a = log 1 pa + log p a log p 1 a = log pa e quindi log p a b = log pa + log p 1 b = log pa log p b 19 / 23

20 Dalla prima delle due precedenti proprietà dei logaritmi segue, in particolare che log p a 2 = log p (a a) =log p a + log p a = 2log p a log p a 3 = log p (a 2 a) =log p a 2 + log p a = 2log p a + log p a = 3log p a In generale per ogni intero positivo n 2 N, si ha log p a n = nlog p a

21 Siano p, q 2 R + numeri reali positivi; allora da cui q x = p (logpq)x q = p logpq per ogni x 2 R In particolare se p = e (numero di Nepero), ponendo c = log e q si ha Questo assicura che q x = e cx e aq x = ae cx per ognia 2 R Ogni funzione esponenziale può essere scritta nella forma ae cx scegliendo a e c in modo opportuno. Osserviamo poi che da applicando il logaritmo in base p si ha q x = p (logpq)x log p (q x )=log p (p (logpq)x )=xlog p q Quest ultima formula vale per ogni x 2 R e per ogni p, q > 0.

22 Sempre da q x = p (logpq)x, ponendo x = logpx log pq, si ottiene q logp x logp q e, applicando il logaritmo in base q, si ha = p (logpx) = x log q x = log px log p q Quest ultima formula assicura che tutti i logaritmi sono multipli di una stessa funzione pertanto non è necessario utilizzare logaritmi in base qualsiasi, si può fissare una base e lavorare sempre con quella. La base che comunemente si utilizza in matematica è il numero di Nepero e. I logaritmi in base e si dicono anche logaritmi naturali e per essi si utilizza la notazione log oppure ln. Nelle applicazioni invece si preferisce utilizzare i logaritmi in base 10 per i quali la notazione utilizzata è Log. 22 / 23

23 Osserviamo infine che se nella formula precedente si pone x = p si ottiene log q p = 1 log p q e per q = 1 p si ha log 1 x = log px p 1 log p p = log p x Questo comporta che possiamo senz altro limitarci a considerare logaritmi in base p > 1. Nelle applicazioni si utilizzano i logaritmi in base 10 perchè questi funzionano molto bene con la notazione scientifica. Sia x = a 10 b un numero reale positivo scritto in notazione scientifica (1 apple a < 10, b 2 N); allora Logx = Log(a 10 b )=Loga + Log10 b = Loga + b Il numero reale 0 apple Loga < 1 è detto mantissa di Logx e b è detto caratteristica. 23 / 23