Introduzione al concetto di funzione

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1 Introduzione al concetto di funzione Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 1 / 32

2 Definizione di funzione: è una terna (A, B, f ), con: A, B insiemi (non vuoti) f : legge che ad ogni elemento x A associa uno e un solo elemento di f (x) B. Notazioni: A si dice dominio di f, anche denotato con dom(f ), D f B si dice codominio di f, scriviamo f : A B, e x dom(f ) f (x) per la legge che a variabile indipendente x associa immagine f (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 2 / 32

3 Riscriviamo la condizione nella definizione di funz. x A,!y B : y = f (x). La def. permette che a diversi x corrisponda lo stesso y. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 3 / 32

4 Codominio e insieme immagine: Data f : A B, il codominio B è oggetto poco significativo: solo un contenitore dei valori assunti da f. Non univocamente determinato: se C è insieme C tale che B C allora C è un codominio per f Oggetto significativo: insieme immagine im(f ) = {y B : x A, y = f (x)} = f (A) è l insieme dei valori assunti da f. In generale, im(f ) B Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 4 / 32

5 Grafico di una funzione: Data f : A B, il grafico di f è graf(f ) := {(x, y) A B : x A, y = f (x)}. graf(f ) A B è un insieme di coppie ordinate. Esempio La funzione f che a ogni numero reale non negativo r associa l area del cerchio di raggio r. In questo caso f (r) = πr 2 r R + = {r R : r 0}. dom(f ) = R +, codom(f ) = R, im(f ) = R +, graf(f ) R 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 5 / 32

6 Una funzione reale di variabile reale è ben definita quando sono dati: il dominio di f la legge che definisce f Quindi, f 1 : dom(f 1 ) R e f 2 : dom(f 2 ) R coincidono se e solo se dom(f 1 ) = dom(f 2 ) e f 1 (x) = f 2 (x) x dom(f 1 ) = dom(f 2 ). Esempio: Ad es. f 1 (x) = x 2 x 0 non coincidono. f 2 (x) = x 2 x R Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 6 / 32

7 Dominio naturale di definizione Quando una funzione reale di variabile reale è data senza che venga specificato il dominio, si sottintende che il dominio è l insieme di tutti gli x R tali che f (x) ha senso ed è un numero reale. Esempi: f 1 (x) := 1 x 2 1. Si ha dom(f 1 ) = {x R : x 2 1 0} = {x R : x ±1} Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 7 / 32

8 f 2 (x) := 4 x 2. Si ha dom(f 2 ) = {x R : 4 x 2 0} = {x R : x 2 4 0} = {x R : 2 x 2} Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 8 / 32

9 Una regola generale Il dominio di una funzione f ottenuta tramite somme e prodotti di funzioni f 1, f 2,..., f n coincide con l intersezione dei domini di f j, j = 1,..., n, cioè vale la seguente identità: dom(f ) = dom(f 1 ) dom(f 2 ) dom(f 3 ) dom(f n ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 9 / 32

10 Esempio Sia f (x) = log(x 2 3) + log x. 9 x 2 Allora f = f 1 + f 2 f 3 con Si ha f 1 (x) = log(x 2 3), f 2 (x) = log x, f 3 (x) = dom(f 1 ) =], 2 ] [ 2, + [ dom(f 2 ) =] 0, + [ dom(f 3 ) =] 3, 3 [ 1 9 x 2. e quindi dom(f ) = [ 2, 3 [ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 10 / 32

11 Funzioni suriettive, iniettive, biiettive Sia f : A B. Dato y B, un elemento x A si chiama controimmagine di y tramite f se f (x) = y. Denotiamo con f 1 ({y}) l insieme (eventualmente vuoto) delle controimmagini di y tramite f. Si ha y im(f ) f 1 ({y}) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 11 / 32

12 Interpretazione grafica per f : dom(f ) R: dato ȳ R, individuo graficamente l insieme controimmagine f 1 ({ȳ}) considerando la retta rȳ di equaz. y = ȳ: se rȳ non interseca graf(f ) in alcun punto, allora f 1 ({ȳ}) = ; viceversa, per ogni punto (x, ȳ) graf(f ) rȳ, si ha x f 1 ({ȳ}). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 12 / 32

13 Suriettività Definizione Sia f : A B. Diciamo che f è suriettiva se o, equivalentemente, se im(f ) = B y B x A : f (x) = y. N.B.: nel caso di una funzione reale di variabile reale f : dom(f ) R, considereremo sempre come codominio l insieme R. Quindi f è suriettiva se im(f ) = R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 13 / 32

14 Interpretazione grafica della suriettività: Una f : dom(f ) R è suriettiva se e solo se ȳ R, ȳ im(f ) ȳ R, f 1 ({ȳ}) e quindi se e solo se per ogni ȳ R, la retta y = ȳ interseca graf(f ) in almeno un punto. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 14 / 32

15 Esempi: f : R R data da f (x) = x è suriettiva. la funzione f (x) = 2x + 1 x 1 definita per x R \ {1} non è suriettiva, infatti x R \ {1} : 2 = 2x + 1 x 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 15 / 32

16 f : R R data da f (x) = x 2 non è suriettiva da R in R, perché x R : 1 = x 2. Infatti, im(f ) = {y R : y 0} R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 16 / 32

17 Iniettività Definizione Sia f : A B. Diciamo che f è iniettiva se x 1, x 2 A, x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) x 1, x 2 A, f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. N.B.: non confondere l ordine in cui è scritta la formula: infatti la proprietà x 1, x 2 A, x 1 = x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ) è verificata da ogni funzione. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 17 / 32

18 Iniettività x 1, x 2 A, f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 implica che a ogni elemento y B ha al più una controimmagine, cioè y B \ im(f ) f 1 ({y}) = y im(f ) f 1 ({y}) è singoletto Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 18 / 32

19 Interpretazione grafica della iniettività: Una f : dom(f ) R è iniettiva se e solo se per ogni ȳ R, la retta y = ȳ interseca graf(f ) in al massimo un punto. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 19 / 32

20 Esempi: 1 f : R R data da f (x) = x è iniettiva 2 la funzione f (x) = 2x + 1 x 1 definita per x R \ {1} è iniettiva. Infatti f (x 1 ) = f (x 2 ) 2x x 1 1 = 2x x 2 1 2x 1 x 2 2x 1 + x 2 1 = 2x 1 x 2 2x 2 + x 1 1 x 1 = x 2. 3 f : R R data da f (x) = x 2 non è iniettiva perché f (1) = f ( 1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 20 / 32

21 Iniettività e suriettività sono nozioni indipendenti: per esempio vi sono funzioni iniettive ma non suriettive f (x) = 2x+1 x 1 funzioni sia iniettive che suriettive f (x) = x funzioni né iniettive né suriettive f (x) = x 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 21 / 32

22 Biettività Se f : A B è sia iniettiva, sia suriettiva, allora f si dice biettiva. Quindi f : A B è biettiva se e solo se 1. y B, x A : y = f (x), 2. l elemento x A al punto 1. è unico. cioè y B,!x A : y = f (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 22 / 32

23 Questo definisce la funzione da B in A ad ogni y B si associa uno e un solo elemento x A cioè quell unico elemento x tale che f (x) = y. N.B. Se f : A B è una funzione iniettiva, allora, f : A im(f ) è biiettiva. Quindi la biettività dipende dalla scelta del codominio Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 23 / 32

24 Invertibilità Definizione Sia f : A B una funzione iniettiva. Si dice inversa di f e si denota con f 1 la funzione f 1 : im(f ) A che associa a ogni y im(f ) l unico elemento x A tale che y = f (x). Cioè, y im(f ), f 1 (y) = x y = f (x) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 24 / 32

25 Esempi 1 f : R R data da f (x) = 2x 1 è invertibile 2 f : R R data da f (x) = e x è iniettiva, con im(f ) = {y R : y > 0} = (0, + ). Allora f è invertibile, con f 1 : (0, + ) R data da f 1 (y) = log y y (0, + ). Infatti, y = f (x) y = e x x = log y Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 25 / 32

26 Data f : A B invertibile, il grafico di f 1 è graf(f 1 ) = {(y, x) B A : x = f 1 (y)} = {(y, x) B A : (x, y) graf(f )}. cioè è il simmetrico di quello di f : si ottiene scambiando A con B. Nel caso di funzioni reali a valori reali, graf(f 1 ) è il simmetrico di graf(f ) risp. a y = x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 26 / 32

27 Restrizione Definizione Dati f : A B ed E A, si dice restrizione di f ad E f E : E B data da f E (x) = f (x) x E. Esempio Sia f : R {x R : x 0} = [0, + ) definita da f (x) = x 2 non è iniettiva e non è invertibile. La restrizione f [0,+ ) risulta iniettiva, con im(f ) = [0, + ). Allora è invertibile, con inversa (f [0,+ ) ) 1 (y) = y y 0 Infatti, y = x 2 x = y. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 27 / 32

28 Quindi una funzione che non è iniettiva si può rendere iniettiva semplicemente considerandone opportune restrizioni. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 28 / 32

29 Composizione di funzioni Definizione Siano f : A B, g : B C, con im(f ) B si dice composizione di f e g la funzione g f : A C data da (g f )(x) = g(f (x)) x A. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 29 / 32

30 Esempio Date f : R \ {0} R f (x) = x per x 0 g : (0, + ) R g(x) = log(x) per x > 0 g f è ben definita, poiché im(f ) = (0, + ) = dom(g), e (g f )(x) = g(f (x)) = log(f (x)) = log( x ) x R \ {0}. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 30 / 32

31 Proprietà della composizione di funzioni è associativa (h g) f = h (g f ) NON è commutativa f g g f inversa della composizione (g f ) 1 = f 1 g 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 31 / 32

32 Funzioni inverse e composizione Sia f : dom(f ) R una funzione iniettiva con funzione inversa f 1 : im(f ) R Valgono le relazioni y dom(f 1 ) = im(f ) (f f 1 )(y) = y, x dom(f ) (f 1 f )(x) = x. Per es., con f (x) = e x e f 1 (x) = log(x) si ha e log(y) = y y (0, + ), log(e x ) = x x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Introduzione al concetto di funzione Analisi Matematica 1 32 / 32