Nozioni introduttive e notazioni

Transcript

1 Capitolo 1 Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Gli insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica, in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni. Non daremo qui una definizione rigorosa di insieme, ma ci limiteremo a parlare di un insieme come di una collezione qualsiasi di oggetti, in numero finito o infinito. Nel caso di un insieme finito il numero degli oggetti che lo costituiscono si dice anche ordine; analogamente un insieme infinito si dice anche di ordine infinito. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi. Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell alfabeto latino esteso A, B, X, Y,..., gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y,.... Per indicare l appartenenza o meno dell elemento x all insieme A, si scrive x A e x / A rispettivamente. L insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il simbolo. Vediamo i modi più usati per indicare un insieme. Alcuni insiemi hanno una notazione standard, in particolare gli insiemi numerici: N è l insieme dei numeri naturali {0, 1, 2, 3,... }; Z è l insieme dei numeri interi relativi {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }; Q è l insieme dei numeri razionali ossia di tutte le frazioni n m dove n e m sono interi relativi e m 0; R è l insieme dei numeri reali che possiamo pensare come l insieme delle misure dei segmenti (numeri reali positivi e 0) e dei loro opposti (numeri reali negativi); C è l insieme dei numeri complessi (che introdurremo a fine corso). Esempio 1.1. Spesso con 2Z si indica l insieme dei numeri pari; in generale con kz si indica l insieme dei multipli interi di un numero k, anche non intero come ad esempio è π. 6

2 Nozioni introduttive e notazioni 7 Con R[X] si indica l insieme dei polinomi in una variabile X a coefficienti reali. Uno insieme può essere assegnato mediante l indicazione diretta dei suoi elementi, elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza all ordine (la ripetizione di un elemento oppure il cambiamento di ordine nella scrittura non modificano l insieme stesso). Così, I = {0, 1, 2} = {1, 0, 2} = {1, 2, 0} = {1, 2, 0, 1, 2, 1}.... Un altro modo per assegnare un insieme A consiste nell indicare un insieme B che lo contiene e una proprietà caratteristica P comune a tutti i suoi elementi: A = {x B x ha la proprietà P }. In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell insieme X. Esempio 1.2. L insieme vuoto può essere indicato come l insieme delle soluzioni reali dell equazione x = 0, cioè = {x R x = 0} oppure come l insieme dei numeri naturali minori di 0 cioè = {x N x < 0} oppure come l insieme delle soluzioni reali del sistema seguente { x = 2 x = 1 ossia = {x R x = 2 e x = 1}. Esempio 1.3. L insieme I = {0, 1, 2}, finito di ordine 3, può anche essere individuato mediante la seguente rappresentazione caratteristica: I = {x Z 0 x 2}. Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi dell insieme e non solo la loro proprietà caratteristica: infatti la proprietà caratteristica degli elementi dell insieme I dell esempio precedente darebbe luogo in R ad un insieme del tutto differente, ossia all insieme infinito [0, 2], detto intervallo chiuso di estremi 0 e 2: [0, 2] = {x R 0 x 2}. Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi) e sono caratterizzati e indicati nel modo che segue: (a, b) = {x R a < x < b} Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )

3 8 Capitolo 1 [a, b) = {x R a x < b} (a, b) = {x R a < x < b}. Con l introduzione dei simboli + e possiamo usare notazioni analoghe anche per le semirette: (a, + ) = {x R x > a} [a, + ) = {x R x a} (, b) = {x R x < b} (, b] = {x R x b} Ricordiamo infine i simboli che useremo più frequentemente nel seguito: significa per ogni, per tutti, qualunque sia,... ; significa esiste almeno un/o/a ;! significa esiste uno ed un solo ; = si legge implica : se p e q sono due affermazioni, p = q significa che se p è vera, allora è vera anche q; si legge biimplica o se e soltanto se : se p e q sono due affermazioni, p q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o entrambe false. si legge e, ha il significato della congiunzione e; si legge o, ha il significato della congiunzione o, oppure (è il vel latino). 1.2 Sottoinsiemi Un insieme A si dice sottoinsieme dell insieme B se ogni elemento di A appartiene a B. Si scrive A B e si legge A contenuto in B o A incluso in B. In simboli : A B (x A = x B). Ad esempio N Z Q R C, 2Z Z, {0, 1, 2} {0, 1, 2, 3} N. Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme, cioè A A e A. S. Console M. Roggero D. Romagnoli

4 Nozioni introduttive e notazioni 9 Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. Si scrive A = B. In simboli: A = B A B B A. A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B, cioè A B e A B. Si scrive talvolta A B (si noti l analogia dei simboli e con i simboli e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali). Dato un insieme I, la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l insieme delle parti o insieme potenza di I: P(I) = {A A I}. Per quanto osservato precedentemente e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai privo di elementi. Come esempio, costruiamo P(I) nei casi I = {0, 1} e I = {0, 1, 2}. P({0, 1}) = {, {0}, {1}, {0, 1}} P({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} Se I ha ordine 2, il suo insieme delle parti ha 4 elementi; se I ha ordine 3, il suo insieme delle parti ha 8 elementi; si dimostra che se I ha ordine n, il suo insieme delle parti ha 2 n elementi. 1.3 Operazioni tra insiemi Definizione 1.4. Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione di A e di B l insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B. In simboli: A B = {x x A x B} Definizione 1.5. Dati due insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e di B l insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B. In simboli : A B = {x x A x B}. Esempio 1.6. Valgono le seguenti relazioni: 1. N Z = Z, N Z = N; 2. {0, 1, 2} {1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2} {1, 2, 3} = {1, 2}; 3. {x R 0 x 2} {x R 1 x < 2} = [0, 2] [ 1, 2) = [ 1, 2] 4. [0, 2] [ 1, 2) = [0, 2), [0, 2] [ 1, 2) = [ 1, 2] Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )

5 10 Capitolo 1 5. (0, 2) [ 1, 0) = {x R 1 x < 2, x 0}, (0, 2) [ 1, 0) =. Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se A B =. Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell ultimo caso dell esempio precedente. Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte implicitamente, quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o disequazioni. Esempio 1.7. L insieme S delle soluzioni in R dell equazione (x 2 1)(x + 3) = 0 è S = { 1, +1, 3} che è l unione insiemistica dell insieme S 1 = { 1, +1} delle soluzioni di x 2 1 = 0 e dell insieme S 2 = { 3} delle soluzioni di x + 3 = 0. Esempio 1.8. L insieme S delle soluzioni del sistema { x y = 0 x 2 + y 2 8x + 15 = 0 è l intersezione dei due insiemi infiniti di coppie di numeri reali: S 1 = {(x, y) R 2 y x = 0} e S 2 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 8x + 15 = 0}. Nel piano cartesiano essi danno luogo rispettivamente alla bisettrice r del primo e terzo quadrante e alla circonferenza γ di centro C(4, 0) e raggio 1 (si noti come la proprietà caratteristica dei due insiemi ne diventi l equazione cartesiana ). Poiché r e γ non hanno punti in comune l insieme delle soluzioni è S 1 S 2 =. Definizione 1.9. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza di A e di B l insieme A \ B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B In simboli: A \ B = {x x A x / B}. Esempio {0, 1, 2, 3} \ { 1, 0, 2, 2} = {1, 3}; R \ {x R x > 0} = {x R x 0} = (, 0]; Z \ 2Z = {x Z x = 2y + 1 al variare di y Z}. Se la differenza viene effettuata tra un insieme X e un suo sottoinsieme A, si parla di complementare del secondo insieme nel primo denotata C X (A). Così, riferendoci all ultimo esempio, l insieme dei numeri dispari è il complementare dell insieme dei numeri pari nell insieme degli interi. Definizione Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza simmetrica di A e di B l insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In simboli: A B = {x A x / B} {x B x / A} = (A \ B) (B \ A). S. Console M. Roggero D. Romagnoli

6 Nozioni introduttive e notazioni 11 Ad esempio {0, 1, 2, 3} { 1, 0, 2, 2} = {1, 3} { 1, 2} = { 1, 1, 2, 3}. Esempio Date due specie biologiche e denotati con A l insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della seconda, l ordine (ossia il numero di elementi) di A B indica la distanza tra le due specie in esame. Definizione Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l insieme A B avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B. In simboli: A B = {(a, b) a A, b B}. Esempio Se A = {0, 1, 2} e B = {2, 3}, si ha: A B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}. Il prodotto cartesiano R R, indicato anche con R 2, è l insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti del piano cartesiano. R R = R 2 = {(a, b) a R, b R}. La coppia (a, b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata b. 1.4 Corrispondenze e funzioni Definizione Si definisce corrispondenza dell insieme I nell insieme I un sottoinsieme F del prodotto cartesiano I I. I è detto dominio della corrispondenza e I è detto codominio della corrispondenza e F è il grafico. F esprime un legame tra gli elementi di I e gli elementi di I : precisamente dice che l elemento x di I è legato all elemento x di I se e solo se la coppia ordinata (x, x ) appartiene a F. Diciamo allora che x è un corrispondente (oppure una immagine) di x in F e che, viceversa, x è una controimmagine di x. Esempio Si considerino gli insiemi I = {x, y, z} e I = {1, 2, 3}. Il sottoinsieme F = {(x, 2), (z, 3), (z, 2)} di I I, determina la corrispondenza che associa il numero 2 agli elementi x e z e il 3 ancora a z. Quindi x ha corrispondente 2, y non ha corrispondenti, z ha i due corrispondenti 2 e 3; il numero 1 non corrisponde ad alcun elemento del dominio, il numero 2 è il corrispondente di x e di z, il 3 è il corrispondente di z. Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )

7 12 Capitolo 1 Scambiando in una corrispondenza il dominio col codominio e quindi scambiando tra di loro il primo e il secondo elemento in ciascuna coppia che ne costituisce il grafico F, otteniamo la corrispondenza inversa. Il grafico della corrispondenza inversa è quindi G = {(x, x) I I (x, x ) F }. Esempio La corrispondenza inversa di quella considerata nell Esempio 1.16 ha come grafico il sottoinsieme G = {(2, x), (3, z), (2, z)} di I I. Definizione Una corrispondenza è detta: i) funzionale se ogni x di I ha al più una immagine; ii) ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine; iii) iniettiva se ogni elemento di I ha al più una controimmagine (o equivalentemente se elementi distinti di I hanno immagini distinte); iv) suriettiva se ogni elemento di I ha almeno una controimmagine; v) biunivoca se è sia iniettiva sia suriettiva. La corrispondenza dell esempio precedente non ha nessuna di queste proprietà. Le corrispondenze più importanti sono le funzioni, ossia quelle che associano ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio. Definizione Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I (detto codominio), una funzione f di I in I è una corrispondenza in I I che sia ovunque definita e funzionale. Per indicare una funzione useremo la notazione: mentre f : I I f : x x oppure f(x) = x indica che la funzione f associa all elemento x di I l elemento x di I. In tal caso x è detto l immagine di x (oppure x è detta una controimmagine di x ). Il grafico di una funzione f, ossia : F = {(x, x ) I I x = f(x)} gode della proprietà che ogni elemento x di I compare esattamente in una e una sola coppia di F. Casi particolarmente importanti di funzioni sono le successioni e le funzioni reali di variabile reale che hanno come dominio e codominio R oppure suoi sottoinsiemi. Delle funzioni reali parleremo più diffusamente nei paragrafi successivi. S. Console M. Roggero D. Romagnoli

8 Nozioni introduttive e notazioni 13 Sono particolarmente importanti le funzioni iniettive, suriettive e quelle aventi entrambe le proprietà dette biiezioni o corrispondenze biunivoche. Notiamo che la terminologia usata è coerente con quella definita in precedenza in quanto tutte le corrispondenza che sono biunivoche risultano anche ovunque definite e funzionali e quindi sono funzioni. Esempio Ogni numero reale positivo x è la lunghezza del lato di un quadrato. Possiamo allora associare ad ogni x siffatto (ossia ad ogni elemento di (0, + ) = R + ) l area del quadrato stesso. Possiamo sintetizzare questa corrispondenza come funzione f : R + R + data da f(x) = x 2. Si tratta di una corrispondenza biunivoca. La sua caratteristica è che anche la corrispondenza inversa il cui grafico è F = {(x 2, x) R + R + } è una funzione. In altri termini assegnata l area di un quadrato (numero reale positivo) siamo sempre in grado di determinare in modo univoco quale è il lato. Se avessimo considerato la funzione g : R R data da g(x) = x 2, la corrispondenza inversa il cui grafico è G = {(x 2, x) R R} non sarebbe una funzione poiché non ci sono numeri x il cui quadrato è 2 e quindi 2 non ha controimmagine: inoltre ci sono due numeri reali il cui quadrato è 4 ossia x 1 = 2 e x 2 = 2. In altre parole, sapendo che il quadrato di un certo numero x è 4 non siamo in grado di risalire in modo univoco al numero x. Esempio Si registrano le temperature delle ore 12 in una certa stazione meteorologica per la durata di un anno. Possiamo sintetizzare queste rilevazioni mediante la funzione g con dominio l insieme I dei numeri interi compresi tra 1 e 365 e codominio R, il cui grafico è costituito dalle coppie (n, T n ) dove T n è la temperatura misurata in C registrata nell n-esimo giorno dell anno. È assai improbabile che una tale funzione sia iniettiva poiché una stessa temperatura potrebbe essere stata riscontrata più volte durante l anno. In tal caso, la conoscenza della temperatura registrata T non ci permetterà di stabilire che giorno era, almeno non in modo univoco. Sicuramente, poi, la funzione g non è suriettiva poiché ci sono moltissimi numeri reali che non sono la temperatura rilevata in alcun giorno. Nel caso di dati raccolti sperimentalmente, come nell esempio precedente, la funzione è definita elencando le coppie di elementi in corrispondenza. Le funzioni che si incontrano più comunemente sono invece assegnate mediante una espressione algebrica che permette di calcolare l immagine di ciascun elemento del dominio. Nel caso delle funzioni reali di variabile reale, quando il dominio non è assegnato esplicitamente, in genere si considera come tale il cosiddetto insieme di definizione ossia l insieme dei valori in cui l espressione algebrica ha senso. Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )

9 14 Capitolo Composizione di funzioni Definizione Date due funzioni f : I I e g : I I si dice funzione funzione composta di f e di g la funzione indicata con g f di I in I così definita: (g f)(x) = g(f(x)). In termini di grafo, indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo della loro composizione, abbiamo H = {(x, x ) I I x I per cui (x, x ) F, (x, x ) G}. Possiamo comporre anche più funzioni una dopo l altra: date f : A B, g : B C h: C D possiamo considerare la funzione g f : A C che composta con h dà h (g f): A D; possiamo anche comporre f con h g : B D ottenendo (h g) f : A D. È facile verificare che le due funzioni così ottenute coincidono. Bisogna invece prestare molta attenzione all ordine con cui si dispongono le funzioni in una composizione poiché le composizioni f g e g f sono in generale diverse (anche ammesso che entrambe le composizioni siano possibili). Esempio Se f e g sono le funzioni considerate negli Esempi 1.21 e 1.20, la composizione g f associa ad ogni numero n tra 1 e 365 il numero reale T 2 n quadrato della temperatura registrata il giorno n; invece non ha senso considerare f g poiché non sapremmo quale immagine assegnare al numero reale 3 2 in quanto ( 3 2) 2 = 3 4 non è un numero naturale. La composizione di due funzioni iniettive è ancora una funzione iniettiva e la composizione di due suriettive è suriettiva. Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione. Definizione Se f : I I è una biiezione, allora anche la corrispondenza inversa è una funzione che si si dice inversa di f e si indica con f 1 : I I. La funzione f 1 associa ad ogni x di I l unico x in I tale che f(x) = x. La funzione f 1 è a sua volta una biiezione e la composizione di f e f 1 nei due modi possibili dà l identità, ossia: e f 1 f : I I è data da x x per ogni x I f f 1 : I I è data da x x per ogni x I. La proprietà di avere una funzione inversa (e quindi la proprietà di essere una biiezione) è così importante che spesso si modifica il dominio e il codominio di una funzione al fine di ottenerne una (diversa, ma strettamente legata alla precedente) che ammetta inversa. Vedremo più volte in seguito questo procedimento; lo useremo ad esempio per le funzioni trigonometriche oppure per i logaritmi. S. Console M. Roggero D. Romagnoli

10 Nozioni introduttive e notazioni 15 Esempio La funzione f : R R data da f(x) = x 2 non ammette inversa poiché non è né iniettiva né suriettiva. Si faccia attenzione al fatto che in generale non è vero che x 2 = x e che non sempre è possibile eseguire il calcolo ( x) 2 ; ad esempio se x = 3 si ha ( 3) 2 = 9 = 3 3 e non esiste alcun numero reale dato da ( 3) 2. La funzione g : R + R + data da g(x) = x 2 è invece biunivoca e quindi ammette inversa g 1 : R + R + che è la funzione data da g 1 (y) = y. Per ogni numero reale positivo si ha infatti (x 2 ) = x e anche ( x) 2 = x. Definizione Le funzioni f il cui dominio e codominio è l insieme dei numeri reali R oppure sottoinsiemi di R (in genere intervalli, semirette o loro unioni) si dicono funzioni reali di variabile reale. In tal caso è abitudine indicare con x un elemento del dominio e con y un elemento del codominio e scrivere quindi y = f(x). Ci occuperemo diffusamente delle funzioni reali nei prossimi capitoli. 1.6 Esercizi risolti 1.1 Siano A = [ 3, 2] (5, + ) e B = (, 5) sottoinsiemi della retta R. Determinare A B, A B e B \ A. Soluzione: A B = (, 5) (5 + ) che possiamo anche scrivere R \ {5} oppure C R ({5}) ossia la retta reale privata del punto 5, poiché 5 è l unico valore di R che non appartiene né ad A né a B. Si ha poi A B = [ 3, 2] e B \ A = (, 3) (2, 5). 1.2 È una funzione la corrispondenza che associa ad ogni numero reale a le soluzioni dell equazione nell incognita T : at 1 = 0? Soluzione: non si tratta di una funzione. Infatti se scegliamo a = 0, l equazione diventa 0T = 1 che non ha alcuna soluzione. Quindi l elemento 0 del dominio non ha alcuna immagine. Sarebbe una funzione se restringessimo il dominio ai numeri reali non nulli R = (, 0) (0, + ) e più precisamente sarebbe la funzione f che associa ad ogni numero reale a il suo inverso f(a) = 1 il cui a grafico è un iperbole. 1.3 Spiegare perché la funzione f(x) = x 2 +2x non è invertibile su R. Determinare un sottoinsieme di R in cui lo è. Soluzione: non si tratta di una funzione invertibile perché non è biunivoca. Si ha ad esempio f(0) = f( 2) = 0. Se si considera R + (insieme dei numeri reali positivi) come dominio e come codominio si ottiene una funzione biunivoca la cui inversa è g(x) = 1 + x Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = x 1 x 2. Soluzione: l espressione x 1 non ha senso quando il denominatore è nullo, ossia per x = 2 e x 2 quando il radicando è negativo, ossia per x < 1. Il campo di esistenza è allora il complementare in R dell insieme (, 0) {2} ossia è[0, 2) (2, + ). 1.5 L equazione F (x) = 0 nella variabile reale x ha insieme delle soluzioni { 2, 3, 2} mentre la disequazione G(x) 0 ha insieme delle soluzioni ( 2, 5). Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )

11 16 Capitolo 1 j j F (x) = 0 F (x) = 0 Qual è l insieme delle soluzioni del sistema? E del sistema G(x) 0 G(y) 0? Soluzione: Le soluzioni del primo sistema sono quelle comuni all equazione e alla disequazione e quindi sono date da { 2, 3, 2} ( 2, 5) = {2}. Le soluzioni del secondo sistema, invece, sono coppie (x, y) in cui il primo elemento x è soluzione dell equazione F (x) = 0 e il secondo y è soluzione della disequazione G(y) 0. L insieme delle soluzioni è il prodotto cartesiano dei due insiemi dati dal problema, ossia { 2, 3, 2} ( 2, 5), che possiamo anche scrivere come unione di tre segmenti del piano {( 3, y) y ( 2, 5)} {( 2, y) y ( 2, 5)} {(2, y) y ( 2, 5)} 1.6 Stabilire se l insieme delle soluzioni (x, y) dell equazione xy 3 3x 3 = 1 è il grafico di una funzione. E quello dell equazione xy 2 3x 3 = 1? q Soluzione: Mettendo in evidenza la variabile y otteniamo y 3 = 1+3x3 da cui y = 3 1+3x 3. Per x x ogni valore reale di x ( 0) otteniamo uno ed un solo valore corrispondente per la y. Per x = 0 il secondo membro non è definito e l equazione iniziale non ha soluzioni. Possiamo allora dire che le soluzioni formano il grafico di una funzione f data da f(x) = 3 q 1+3x 3 x il cui dominio è R \ {0}. Nel caso della seconda equazione invece otteniamo l espressione y 2 = 1+3x3. Possiamo osservare x che per molti valori di x vi sono due possibili corrispondenti valori di y: ad esempio per x = 1 abbiamo sia y = 2 sia y = 2. Quello ottenuto non è quindi il grafico di una funzione. 1.7 Date f(x) = x e g(x) = x + 1, determinare l espressione analitica e il campo di esistenza delle funzioni f g e g f. Soluzione: Posto x = t in f e t = g(x) ed eseguita la sostituzione otteniamo f(g(x)) = ( x + 1 ) che è definita sulla semiretta [ 1, + ). Posto invece x = t in g e t = f(x) otteniamo g(f(x)) = x che è definita sulla semiretta [ 3 2, + ). 1.7 Altri esercizi 1.8 L equazione F (x) = 0 nella variabile reale x ha insieme delle soluzioni { 1, 3, 7} mentre l equazione G(x) = 0 ha insieme delle soluzioni { 2, 1, 0}. Qual è l insieme delle soluzioni dell equazione j F (x) G(x) = 0? F (x) = 0 Qual è l insieme delle soluzioni del sistema G(x) = 0? 1.9 L insieme delle soluzioni di una disequazione F (x) > 0 nella variabile reale x è l intervallo [ 2, π] e l insieme delle soluzioni di un altra disequazione G(x) > 0 è (, 0] [3, 4). l insieme delle soluzioni del sistema formato dalle due disequazioni? 1.10 Spiegare perché la corrispondenza che a x associa x 3 è una funzione Qual è È una funzione la corrispondenza che associa a x la sua radice quarta? e quella che associa ad x la sua radice cubica? 1.12 È una funzione la corrispondenza che associa ad ogni numero reale a le soluzioni dell equazione nell incognita T : at 2 3T + 1 = 0? S. Console M. Roggero D. Romagnoli

12 Nozioni introduttive e notazioni È una funzione la corrispondenza che associa ad ogni numero reale a le soluzioni dell equazione T 2 = a nell incognita T? 1.14 E una funzione la corrispondenza che associa ad ogni numero reale il suo troncamento alla terza cifra decimale (in notazione posizionale in base 10)? 1.15 Stabilire se l insieme delle soluzioni (x, y) dell equazione xy 2 + 3y 2x = 0 è il grafico di una funzione. E l insieme delle soluzioni di yx 2 + 3x + 2y = 0? 1.16 Determinare il campo di esistenza delle funzioni f g e g f per ciascuna delle seguenti coppie di funzioni: a. f(x) = x 1, g(x) = 2x + 1 b. f(x) = x 3 1, g(x) = x + 1 c. f(x) = x 2, g(x) = 3 x d. f(x) = x 3, g(x) = x Provare, mediante la composizione, che le funzioni di f(x) = 1 1+x inversa dell altra nei rispettivi campi di esistenza. e g(x) = 1 x x sono l una Appunti di Istituzioni di Matematiche ( )