Compito di matematica Classe III ASA 14 maggio 2015

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1 Compito di matematica Classe III ASA 14 maggio Data la funzione y = f(x) rappresentata sul piano cartesiano dal grafico sottostante: a) determinare l espressione analitica di f(x) b) disegnare (su piani separati) i grafici di f(x ) e di f(x) 3 c) determinare, giustificando adeguatamente la risposta, se è vera la seguente affermazione: L equazione f(x) = π ha due soluzioni reali d) determinare gli eventuali valori di a tali che l equazione f(x a) = 0 abbia come soluzione x = 0 e) determinare tutti i valori di b tali che la disequazione f(x) > b sia verificata x R. [Un quadretto = 1] a) Dalla semplice osservazione del grafico, senza praticamente alcun calcolo, si ricava: x se x < 1 x se 1 x < f(x) = 4 x se x < 5 x 6 se x 5 b) Il grafico di f(x ) si ottiene traslando di due unità verso destra il grafico di f(x), mentre quello di f(x) 3 si ottiene traslando dapprima di tre unità verso il basso il grafico di f(x), e successivamente ribaltandone al di sopra dell asse x la parte che ne giace al di sotto. 1

2 c) Dal momento che 1 < π <, si vede immediatamente che la retta y = π interseca il grafico di f(x) in quattro punti distinti, e pertanto l affermazione è falsa in quanto l equazione f(x) = π ha quattro soluzioni reali. d) Il grafico di f(x a) si ottiene traslando verso destra di a unità il grafico di f(x); per avere uno zero di f(x a) in x = 0 occorre evidentemente traslare verso sinistra di 4 oppure di 6 unità e pertanto la condizione richiesta è a = 4 a = 6. e) Dal grafico si vede che il codominio di f(x) è y R y 1} e pertanto si avrà f(x) > b x R se b < 1.. Date le due funzioni f(x) = x 3 e g(x) = x : a) verificare che f(x) è invertibile e determinare f 1 (x) b) verificare che l equazione f(x) = f 1 (x) non ha soluzioni reali e giustificare graficamente il risultato c) risolvere l equazione f(x) + g(x + ) = 1 [suggerimento: riscrivere l equazione nella forma f(x) = 1 g(x + ) e procedere graficamente] d) si ponga h(x) = f[g(x)]; disegnare il grafico della funzione h(x) h( x) e) risolvere la disequazione f ( x ) > 1. a) La funzione f(x) è una funzione omografica, che per le sue caratteristiche è notoriamente invertibile. Si ha: y = x 3 e pertanto f 1 (x) = x + 3 x xy + y = x 3 x(y ) = y 3 x = y + 3 y b) Dal momento che, come è noto, i grafici di f(x) e f 1 (x) sono tra loro simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, un eventuale valore di x per il quale si abbia f(x) = f 1 (x) deve corrispondere a un punto del grafico di f(x) appartenente alla bisettrice stessa. Nel caso in esame, poiché il grafico di f(x) non interseca la bisettrice, l equazione non può avere soluzioni reali. [In alternativa, si può direttamente osservare che i grafici di f(x) e f 1 (x) non hanno punti in comune.] c) Il grafico di 1 g(x+) si ottiene partendo dal grafico di g(x) = x e compiendo nell ordine le seguenti operazioni: 1) ribaltamento rispetto all asse x; traslazione di unità verso sinistra; 3) traslazione di 1 unità verso l alto. Si arriva alla situazione rappresentata nella figura sottostante, da cui si evince immediatamente che il grafico di 1 g(x + ) interseca il grafico di f(x) nel solo punto (0; 3). Il valore x = 0 pertanto rappresenta l unica soluzione reale dell equazione proposta. d) Risulta h(x) = f[g(x)] = x 3. Si tratta di una funzione pari in quanto evidentemente x + 1 h(x) = h( x) e pertanto il grafico della funzione h(x) h( x) coincide con quello della funzione y = 0, ossia con l asse x.

3 e) Il grafico di f( x ) si ottiene considerando la sola sezione del grafico di f(x) che si trova a destra dell asse y e replicandola specularmente alla sua sinistra. Il grafico così ottenuto interseca la retta y = 1 nei punti di ascissa ±4 e giace al di sopra della retta stessa nell intervallo ] ; 4[ ] + 4; + [, che pertanto rappresenta la soluzione della disequazione proposta. 3. Si dica, giustificando la risposta, se la relazione che associa ad ogni segmento del piano il suo punto medio definisce una funzione oppure no. In caso affermativo si dica, giustificando la risposta, se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, invertibile. La relazione definisce una funzione in quanto ad ogni segmento del piano corrisponde effettivamente uno ed un solo punto medio. Tale funzione non è iniettiva in quanto uno stesso punto del piano può essere il punto medio di più segmenti (ad esempio se due segmenti sono le diagonali di un parallelogramma hanno il medesimo punto medio), ma è suriettiva in quanto ogni punto del piano può essere visto come punto medio di un segmento. Ovviamente la funzione non è biettiva (e quindi invertibile) in quanto manca l iniettività. 3

4 4. Data la funzione f : Z Z descritta dall equazione 3x + se x > 0 f(x) = x se x 0 a) disegnarne il grafico sul piano cartesiano b) determinare l immagine di 3 e di 3 e le eventuali controimmagini di 4, di 5 e di 1. c) rispondere alle domande precedenti considerando f : R R descritta dalla medesima equazione. Nella figura sottostante sono riportati i due grafici corrispondenti ai due casi f : Z Z (a sinistra) e f : R R (a destra). Nel primo caso, il grafico è costituito dai soli punti delle semirette che corrispondono a valori interi di x, mentre nel secondo caso il grafico è costituito dalle due semirette. In entrambi i casi si ha f( 3) = ( 3) = 6 e f(3) = = 11. Il valore y = 1 non appartiene al codominio di f e pertanto non ammette controimmagini. Il valore y = 4 ammette la sola controimmagine f 1 (4) = nel caso f : Z Z e le due controimmagini f 1 (4) = ; } nel caso f : R R. Infine, il valore y = 5 ammette la sola 3 controimmagine f 1 (5) = 1 nel caso f : Z Z e le due controimmagini f 1 (5) = 5; 1} nel caso f : R R. 5. Stabilire, motivando opportunamente la risposta, se le seguenti equazioni definiscono o meno la stessa funzione; in caso negativo, disegnare il grafico di entrambe evidenziandone le differenze. f(x) = x x g(x) = 1 x 1 x Svolgendo i calcoli nell espressione di g(x) si ottiene g(x) = x x + x(x ) = x(x ) = f(x) 4

5 Le due equazioni non definiscono tuttavia la stessa funzione in quanto il dominio di f è l intero insieme R, mentre il dominio di g è R 0; } in quanto per l esistenza delle frazioni devono essere verificate le condizioni x 0 x. Il grafico di g si ottiene dunque togliendo dal grafico di f i punti (0; 0) e (; 0). 6. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: f 1 (x) = x 4 f (x) = x 4 1 x se x 0 f 4 (x) = x 1 x + 3 se x > 0 f 3 (x) = 7 x 4 Le condizioni per il dominio di f 1 sono date dal sistema: 0 x 1 x 4 > 0 x < x > x > Le condizioni per il dominio di f sono date dalla disequazione: x 4 0 (x + )(x ) 0 < x 1 x > Le condizioni per il dominio di f 3 sono date dalla disequazione x 4 0 (in quanto per un radicale di indice dispari non è richiesta la non negatività del radicando); il dominio è pertanto R ; +}. Il dominio di f 4 coincide con l insieme R, in quanto per x 0 è assicurata la positività del radicando nel primo ramo e per x > 0 è assicurata l esistenza della frazione nel secondo. 5