Corsi di laurea in Fisica, Fisica ed Astrofisica Analisi A.A Foglio 4 1. Data la funzione

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1 Corsi di laurea in Fisica, Fisica ed Astrofisica Analisi A.A Foglio 4 1. Data la funzione x 6x + 8 x 0, 8 cos(x) x < 0, dire se è continua in 0. Affinché la funzione sia continua in zero, deve essere Essendo lim lim f(x). lim lim 6x+8 = 8, lim si ha continuità. lim 8 cos(x) = 8,. Siano f e g due funzioni reali di variabile reale definite in tutto R e crescenti, provare se sono vere o false le seguenti asserzioni (1) f + g è crescente; () f g è crescente; (3) f g è crescente. Essendo x > y f(x) > f(y) e g(x) > g(y) f(x) + g(x) > f(y) + g(y), e quindi la funzione f + g è crescente. Il prodotto f g, invece, può non essere crescente. Ad esempio, se g(x) = x, (f g)(x) = x, che non è crescente. Infine, e quindi f g è crescente. x > y g(x) > g(y) f(g(x)) > f(g(y)), 3. Data la funzione 1 x 1, x 1 x < 1, determinarne, se esistono, i punti di minimo assoluto e il valore minimo assoluto in R. La funzione f è evidentemente non negativa qualsiasi sia il valore di x. Se x = 1, si ha 0. Pertanto, la funzione ha un minimo assoluto per x = 1, ed il valore del minimo è Determinare il segno della funzione Si ha x 3 + x + x. x 3 + x + x = x (x x ) = x (x + 1) (x ). 1

2 Risolvendo le tre disequazioni x 0, x e x 0 separatamente, si trova x 0, x 1 e x. Mettendo insieme tali risultati si verifica facilmente che f(x) è positiva per x < 1 e per 0 < x <, negativa per 1 < x < 0 e per x >, e nulla per x = 1, x = 0 e x =. 5. Dati gli insiemi A = x : f(x) > 0}, B = x : x 3x + 0}, dove f è la funzione dell esercizio precedente, determinare estremo inferiore e superiore degli insiemi A B, A B, A \ B, B \ A, e stabilire se si tratta di massimo e minimo. Se f è la funzione dell esercizio precedente, si ha Si ha pertanto A = (, 1) (0, ), B = (, 1] [, + ). A B = R, A B = (, 1) (0, 1], A \ B = (1, ), B \ A = [ 1, 0] [, + ), ed il calcolo di estremo superiore ed inferiore è immediato. 6. Data la funzione maxx 3, x 1}, se ne disegni il grafico, inoltre si scelga un sottoinsieme A di R in modo che la restrizione di f ad A sia rispettivamente: a) invertibile, b) decrescente, c) abbia due punti distinti di massimo, d) abbia due punti distinti di massimo ed un punto di minimo strettamente positivo. Disegnando sia x 3 che x 1, si ottiene il seguente grafico

3 3 Pertanto, il grafico di f(x) è il seguente: Si vede allora facilmente che A = (0, + ) è un insieme su cui f è invertibile, che A = (, 0) è un insieme su cui f è decrescente, che A = [ 1, 0] è un insieme su cui f ha due punti distinti di massimo (x = 1 ed x = 0 rispettivamente), mentre A = [ 3, ] [1, ] è un insieme su cui f ha due massimi distinti (x = 3 e x = rispettivamente) ed un minimo strettamente positivo (x = 1). 7. Date le funzioni g(x) = x 3 x 1, x λx + λ x > 1, 1 x 3 x 1, x λx + λ x > 1, determinare, per ognuna, il parametro reale λ in modo che si abbia continuità in 1. In entrambi i casi si deve determinare λ in modo tale che il limite da sinistra in 1 sia uguale al limite da destra in 1. Essendo lim lim x3 = 1, lim lim x λx + λ = 1, x 1 x 1 x 1 + x 1 + la funzione f è continua per ogni valore di λ. Inoltre, lim g(x) = lim 1 x3 = 0, lim g(x) = lim x λx+λ = 1+λ, x 1 x 1 x 1 + x 1 + e quindi g è continua se e solo se λ = Scrivere le funzioni composte f g e g f, determinarne l insieme di definizione e un intervallo di monotonia nei seguenti casi: e x, g(x) = x + x + 1,

4 4 x +, g(x) = x, ln (x), g(x) = x. Con il simbolo ln si è indicato il logaritmo in base e. Nel primo caso si ha (f g)(x) = e x +x+1, (g f)(x) = (e x ) + e x + 1 = e x + e x + 1. Essendo f crescente f g è crescente dove g è crescente (si veda l esercizio ); ad esempio, per x 0. Essendo g crescente per x > 0, ed e x crescente per ogni x e positiva, g f è crescente su tutto R. Nel secondo caso si ha (f g)(x) = (x ) + = x, (g f)(x) = ( x + ) = x, cosicché f g è crescente per x > 0, mentre g x è crescente su R. Nell ultimo caso si ha (f g)(x) = ln(x ), (g f)(x) = (ln(x)). Essendo il logaritmo naturale crescente per ogni x > 0, e x crescente per tali x, f g è crescente per x > 0. Infine, essendo il logaritmo naturale positivo per x 1 e f crescente per argomenti positivi, g f è crescente per x Si tracci il grafico delle funzioni x x ln(x), x + 1 x < 1, g(x) = x x (x 1) x 1. Dal momento che x x vale 1 per x > e 1 per x <, mentre non è definita per x =, f(x) coincide con ln(x) per x > e con ln(x) per 0 < x <. Ricordando il grafico del logaritmo, abbiamo allora

5 Per quanto riguarda la funzione g, si tratta di tracciare il grafico di x + 1 per 1 < x < 1, il grafico di (x 1) per x 1, e di x 1 per x 1. Abbiamo così il seguente grafico: Si dimostri che l equazione x 1 x + 1 = 1 x4 4 ha almeno una soluzione in R. Detta x 1 x x4 4, si ha f(0) = < 0 e f() = 18/5 > 0. Dal momento che la funzione è continua su R, è continua su [0, ]: per il teorema di esistenza degli zeri, esiste almeno un numero reale ξ in [0, ] tale che f(ξ) = 0. Si noti che essendo f(x) pari, si ha anche f( ξ) = 0.