Istituzioni di Matematiche seconda parte

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1 Istituzioni di Matematiche seconda parte anno acc. 2010/2011 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 26

2 index 1 2 Continuità Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 2 / 26

3 Limiti delle funzioni monotone Le funzioni monotone definite su un intervallo ammettono limite agli estremi dell intervallo. Più precisamente, se f è crescente nell intervallo I = (a, b) si ha lim x a +f (x) = Inf (f ) e lim x b f (x) = Sup(f ) se f è decrescente nell intervallo I = (a, b) si ha lim x a +f (x) = Sup(f ) e lim x b f (x) = Inf (f ). OSSERVAZIONE - Il risultato scritto sopra continua a valere anche quando a = oppure b = +. ESERCIZIO - Determinare i limiti agli estremi dell intervallo di definizione delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 3 / 26

4 Continuità delle funzioni elementari Anticipiamo qui il concetto di continuità che tratteremo ampiamente in seguito. Una funzione f : A R si dice continua in un punto x 0 A di accumulazione per A se esiste finito il limite lim x x0 f (x) e tale limite vale f (x 0 ). Ovvero f è continua in x 0 se e solo se lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Sono continue in tutti i punti del loro dominio di esistenza le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente, arcotangente. Ciò vuol dire, ad esempio, che lim x 3 x 4 = 3 4 = 81 e che lim x 0 cos(x) = cos(0) = 1. Si noti che, come già osservato in precedenza, la funzione seno non ha però limite per x +. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 4 / 26

5 Operazioni con i limiti In alcuni casi, se una funzione h è somma (o prodotto, o quoziente) di altre due f e g, se sono noti i limiti di f e di g si può dedurre il limite di h. In particolare questo è sempre vero se i limiti di f e di g sono numeri reali. SOMMA DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, il limite della somma è la somma dei limiti, cioè, ad esempio lim x 4 (x x ) = lim x 4 x 2 + lim x 4 3 x = = = 97. PRODOTTO DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, cioè, ad esempio lim x 1 (x 3 )(2 x ) = (lim x 1 x 3 )(lim x 1 2 x ) = (1 3 )(2 1 ) = 2. QUOZIENTE DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, e il limite del divisore è 0, il limite del quoziente è il quoziente dei limiti, cioè, ad esempio lim x 4 x x + 3 = lim x 4x lim x 4 x + 3 = 4/7 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 5 / 26

6 In alcuni casi i risultati relativi al limite di somma, prodotto e quoziente si estendono anche a funzioni f e g divergenti. Valgono cioè, con ovvio significato dei simboli, le seguenti "regole di calcolo" per i limiti: SOMMA (+ ) + k = (+ ); ( ) + k = ( ), k R. (+ ) + (+ ) = (+ ); ( ) + ( ) = ( ). PRODOTTO (+ ) k = (+ ) se k > 0; (+ ) k = ( ) se k < 0; ( ) k = ( ) se k > 0; ( ) k = (+ ) se k < 0. (+ ) (+ ) = (+ ); ( ) ( ) = (+ ) ( ) (+ ) = (+ ) ( ) = ( ). QUOZIENTE + + k = + se k > 0; k = se k < 0. k = se k > 0; k = + se k < 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 6 / 26

7 Nel caso del quoziente, quando il denominatore tende a zero, in alcuni casi (in particolare quando non ci sono dubbi sul segno del risultato), si possono anche usare le ulteriori due "regole di calcolo": k 0 = ± se k 0; ± 0 = ±. 2x 1 Ad esempio lim x 3 = +, poiché (x 3) 2 lim x 3 2x 1 = 5 > 0, lim x 3 (x 3) 2 = 0, e la funzione al denominatore (in un intorno di 3) si mantiene sempre 0 per cui, come si suol dire, il denominatore tende a x 1 Invece, ad esempio lim x 3 x 3 non esiste, poiché lim x 3 2x 1 = 5 > 0, lim x 3 x 3 = 0, ma questa volta la funzione al denominatore cambia segno in un intorno di 3. Si può invece calcolare lim 2x 1 x 3 + x 3 = + (il limite del numeratore è positivo ed il denominatore tende a 0 + in quanto si mantiene positivo in un = (il limite del numeratore è positivo ed il denominatore tende a 0 in quanto si mantiene negativo in un intorno sinistro di 3.) intorno destro di 3) e lim x 3 2x 1 x 3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 7 / 26

8 LIMITE DI FUNZIONI COMPOSTE Se lim x c f (x) = L e lim z L g(z) = M (e inoltre, in un intorno di c, fuori di c, la funzione f non assume il valore L) allora lim x c g(f (x)) = M. ESERCIZIO - Utilizzare le "regole di calcolo" per calcolare: 1 lim x (x 3 )( x) 2 lim x + x x lim x x x 4 lim x 3 x 2 +2 x 5 lim x 4 + x2 x+4 6 lim x 4 x2 x+4 7 lim x 2 x 1 (x 2) 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 8 / 26

9 Forme di indecisione Le espressioni (+ ) + ( ), 0 (± ), 0 0, ± ± sono invece forme di indecisione nel senso che, ad esempio per la forma (+ ) + ( ), se f tende a + e g tende a, non si può a priori prevedere il comportamento di h = f + g. In questa situazione infatti può accadere che h diverga, ma anche che h converga, o che non abbia limite. Ad esempio, per x +, se f = x + 1 e g = x, allora h = f + g = 1 converge, mentre se f = x + x 2 e g = x, allora h = f + g = x 2 diverge, e infine se se f = x + sin(x) e g = x, allora h = f + g = sin(x), che non ha limite. Per mostrare che anche 0 (+ ) è di indecisione, si può osservare ad esempio che, per x +, con f = 1 x e g = x2, la funzione prodotto h = f g diverge, mentre con f = 1 e g = x, la funzione prodotto h = f g converge a x 2 0, e con f = 1 x e g = x, la funzione prodotto h = f g è costante di valore 1 (e quindi converge a 1). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 9 / 26

10 ESERCIZIO - Calcolare seguenti limiti che presentano una forma di indecisione: 1 lim x x + x 2 2 lim x 0 x 2 +x 4 x 6 +x 2 3 lim x + 2x 2 +4x 4 3x+x 2 4 lim x 1 x 1 x 1 5 lim x x 2 x 2 x. OSSERVAZIONE - Raccogliendo a fattore al numeratore e al denominatore la potenza di x di grado massimo, ed effettuando le dovute semplificazioni, si verifica che lim x + a 0 x n +a 1 x n 1 + +a n 1 x+a n b 0 x m +b 1 x m 1 + +b m 1 x+b m = ± se n > m; a 0 b 0 se n = m; 0 se n < m. OSSERVAZIONE - Invece per calcolare lim x 0 a 0 x n +a 1 x n 1 + +a n 1 x+a n b 0 x m +b 1 x m 1 + +b m 1 x+b m si raccoglie a fattore al numeratore e al denominatore la potenza di x di grado minimo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 10 / 26

11 Teoremi sui limiti Nel seguito c denota un numero reale oppure + o, e f, g, h denotano funzioni : A R. TEOREMA (unicità del limite) - Se lim x c f (x) esiste, è unico. TEOREMA - Se lim x c f (x) = L, allora esiste un intorno di c in cui f è limitata, se L R; inferiormente limitata, se L = + ; superiormente limitata, se L =. TEOREMA (della permanenza del segno) - Se lim x c f (x) = L 0, allora esiste un intorno di c in cui f è positiva, se L > 0 o L = + (rispett. negativa, se L < 0 o L =.) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 11 / 26

12 TEOREMA (criterio del confronto) 1. Supponiamo che sia f (x) g(x) in un intorno di c, allora se lim x c f (x) = +, allora lim x c g(x) = + ; se lim x c g(x) =, allora lim x c f (x) =. 2. Supponiamo che sia f (x) g(x) h(x) in un intorno di c, allora se lim x c f (x) = lim x c h(x) = L, allora lim x c g(x) = L. OSSERVAZIONE - Se lim x c f (x) = 0 e g è limitata in un intorno di c, allora lim x c f (x) g(x) = 0. ESERCIZIO - Mostrare che lim x 0 xsin( 1 x ) = 0 e che lim x cos(x)5 x = 0 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 12 / 26

13 Confronto tra infiniti Una funzione si dice infinito per x c se lim x c f (x) = ±. Supponiamo che f e g siano infiniti per x c, f (x) se lim x c g(x) = 0, si dice che f è un infinito di ordine inferiore a g e che g è un infinito di ordine superiore a f ; f (x) se lim x c g(x) = k 0, si dice che f e g sono infiniti dello stesso ordine; f (x) se non esiste il limite lim x c g(x) si dice che f e g sono infiniti non confrontabili. f (x) Si noti che se lim x c g(x) = ±, allora f è un infinito di ordine superiore a g e g è un infinito di ordine inferiore a f. ESERCIZIO - Confrontare tra loro gli ordini di infinito, per x +, di f (x) = 3x 2 + 2x 3, e di g(x) = x 3 + x. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 13 / 26

14 Confronto tra infiniti: esempi fondamentali CONFRONTO TRA POTENZE - Per x + x a è un infinito di ordine superiore a x b se e solo se a > b > 0. x a è un infinito di ordine uguale a x b se e solo se a = b > 0. CONFRONTO TRA ESPONENZIALI - Per x + a x è un infinito di ordine superiore a b x se e solo se a > b > 1. a x è un infinito di ordine uguale a b x se e solo se a = b > 1. CONFRONTO TRA LOGARITMI - Per x + log a x è un infinito dello stesso ordine di log b x, a, b > 0, a, b 1. Inoltre a x è un infinito di ordine superiore a x h ( h > 0, a > 1) e x h è un infinito di ordine superiore a log b x ( h > 0, b > 0, b 1). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 14 / 26

15 Confronto tra infinitesimi Una funzione si dice infinitesimo per x c se lim x c f (x) = 0. Supponiamo che f e g siano infinitesimi per x c, f (x) se lim x c g(x) = 0, si dice che f è un infinitesimo di ordine superiore a g e che g è un infinitesimo di ordine inferiore a f ; f (x) se lim x c g(x) = k 0, si dice che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine; f (x) se non esiste il limite lim x c g(x) si dice che f e g sono infinitesimi non confrontabili. f (x) Si noti che se lim x c g(x) = ±, allora f è un infinitesimo di ordine inferiore a g e g è un infinito di ordine superiore a f. ESERCIZIO - Confrontare tra loro gli ordini di infinitesimo, per x +, di f (x) = 3 x 2 +x, e di g(x) = 3 x. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 15 / 26

16 Confronto tra infinitesimi: esempi fondamentali CONFRONTO FRA POTENZE - Per x 0 + x a è un infinitesimo di ordine superiore a x b se e solo se a > b > 0. x a è un infinitesimo di ordine uguale a x b se e solo se a = b > 0. Il confronto tra infinitesimi, nel caso di esponenziali, si può ridurre ad un confronto tra infiniti, come negli esempi che seguono. ESEMPIO - lim x 2 x 3 x = lim x 3 x 2 x = + ESEMPIO - lim x + ( 1 5 )x ( 1 3 )x = lim x + 3x 5 x = 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 16 / 26

17 Asintoti obliqui Abbiamo già visto quando una funzione ammette un asintoto orizzontale o un asintoto verticale. Se, per x +, f è divergente, può accadere che f ammetta un asintoto obliquo. La retta di equazione y = mx + q, con m 0, è un asintoto obliquo per f per x + se lim x + (f (x) mx q) = 0. Analoga definizione si ha per x. La retta y = mx + q è un asintoto obliquo per f per x + se e solo se 1 lim x + f (x) x = m 0 e 2 lim x + (f (x) mx) = q. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 17 / 26

18 Ad esempio la funzione ammette asintoto obliquo. Infatti f (x) = 2x2 x 4 x + 1 lim x + f (x) = + (e questo dice che f può ammettere un asintoto obliquo per x + ), inoltre lim x + f (x) x = 2(= m) e infine lim x + (f (x) 2x) = lim x + 3x 4 x + 1 = 3(= q). L asintoto pertanto ha equazione y = 2x 3. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 18 / 26

19 index Continuità 1 2 Continuità Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 19 / 26

20 Continuità in un punto Continuità Abbiamo già visto che una funzione f : A R si dice continua in un punto x 0 A di accumulazione per A se esiste finito il limite lim x x0 f (x) e tale limite vale f (x 0 ). Ovvero f è continua in x 0 se e solo se lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Supponiamo per semplicità che x 0 sia un punto interno ad A. Dalla definizione di funzione continua segue che perché f sia continua in x 0 è necessario che x 0 A (quindi sia definito f (x 0 )) x 0 sia di accumulazione per A (altrimenti non sarebbe possibile parlare di limite) esistano sia lim x x + f (x) che lim 0 x x f (x) e siano uguali (altrimenti non 0 esisterebbe il limite) lim x x0 f (x) = lim x x + 0 non ± ) lim x x0 f (x) = f (x 0 ). f (x) = lim x x f (x) sia un numero reale (quindi 0 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 20 / 26

21 Continuità Operazioni tra funzioni continue Abbiamo già visto che le funzioni elementari f (x) = x a, f (x) = b x, f (x) = log c (x), f (x) = x, f (x) = sin(x), f (x) = cos(x) sono continue in tutto l insieme di definizione. Se f e g sono continue in un punto x 0 allora anche le funzioni f + g, f g, fg sono continue in x 0 ; se f e g sono continue in un punto x 0 e g(x 0 ) 0, allora anche f /g è continua in x 0 ; inoltre, se g(x 0 ) 0, allora anche f g è continua in x 0; se f è continua in x 0 e g è continua in f (x 0 ) allora g f è continua in x 0 ; se f è invertibile ed è continua in x 0 allora f 1 è continua in f (x 0 ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 21 / 26

22 Continuità TEOREMA (permanenza del segno) - Se f è definita in un intorno di x 0, è continua in x 0, e f (x 0 ) > 0, allora esiste un intorno di x 0 tale che ivi f sia positiva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 22 / 26

23 Continuità Teoremi sulle funzioni continue in un intervallo [a, b] TEOREMA - Se f è continua in un intervallo [a, b], allora è limitata. La seconda e la terza delle figure di sopra mostrano come in generale il teorema sulla limitatezza non vale se cade l ipotesi di continuità o l ipotesi che l insieme di definizione sia del tipo [a, b]. TEOREMA (degli zeri) - Se f è continua in un intervallo [a, b], e f (a)f (b) < 0 (cioè f (a) e f (b) sono discordi), allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che f (c) = 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 23 / 26

24 Continuità TEOREMA (di Darboux) - Se f è continua in un intervallo [a, b], allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b). TEOREMA (di Weierstrass) - Se f è continua in un intervallo [a, b], allora f ammette massimo e minimo assoluti. I due teoremi di Darboux e di Weierstrass dicono che se f è continua in [a, b], allora f assume tutti i valori compresi tra i proprio massimo assoluto e il proprio minimo assoluto. ESERCIZIO - Come si è fatto nel caso del teorema sulla limitatezza, mostrare con esempi grafici che i teoremi degli zeri, di Darboux e di Weiestrass in generale non valgono se cade l ipotesi di continuità o l ipotesi che l insieme di definizione sia del tipo [a, b]. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 24 / 26

25 Punti di discontinuità Continuità Abbiamo visto che una funzione può essere non continua in un punto per diversi motivi. Un punto in cui la funzione è definita, ma non è continua, viene detto punto di discontinuità. Nelle figure che seguono sono illustrati alcuni esempi di discontinuità. Discontinuità eliminabile: i limiti da destra e da sinistra esistono, sono uguali, ma non coincidono con il valore della funzione nel punto. Discontinuità di prima specie: i limiti da destra e da sinistra esistono, sono finiti, ma sono diversi. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 25 / 26

26 Continuità Discontinuità di seconda specie: almeno uno dei due limiti destro e sinistro non esiste o è infinito. ESERCIZIO - Determinare per quale valore di a R la funzione f (x) definita da f (x) = 5 3x per x 1 e da f (x) = ax 2 per x > 1 è continua su tutto R. ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da f (x) = 1 x 2 per x < 2, e da f (x) = log 2(x) per x 2. ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da f (x) = log 2 (1 + 2x) per 1 2 < x < 0 e da f (x) = (2 x) x per x 0. ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da f (x) = 3 1 x per x < 0, f (x) = 5 per x = 0, e da f (x) = sin(x) per x > 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 26 / 26