Funzioni Continue. se (e solo se) 0

Transcript

1 f : A R R A ' Funzioni Continue La funzione f si dice continua in f ( f ( se (e solo se A Ne seguono tre proprietà affinché f( sia continua in :. Devono esistere finiti il ite destro e sinistro di f( in. Tali iti devono essere uguali tra loro. Essi devono essere anche uguali a f( Es. Per quali valori del parametro a la seguente funzione è continua su tutto R? f ( a f a ( f ( per per f ( f( è continua su tutto R per a=- Oss. Per le funzioni continue il calcolo del ite si traduce in una semplice sostituzione

2 Funzioni Continue sin( f ( ae per per f ( f ( Es. Per quali valori del parametro a la seguente funzione è continua su tutto R? f( è continua su tutto R per a= Es. Per quali valori del parametro a la seguente funzione è continua su tutto R? sin( f ( a b per per f( è continua su tutto R per b= e per ogni valore di a reale

3 Discontinuità / Si hanno tre possibili casi in cui una funzione non sia continua:. Esistono ite destro e sinistro in sono uguali tra loro ma NON sono uguali a f( (oppure f( non esiste. In questo caso si dice che la discontinuità in è una DISCONTINUITA ELIMINABILE ( o di III SPECIE. per per ( f Es.. è punto di DISCONTINUITA di I SPECIE (o discontinuità a salto se il ite destro e sinistro di f( esistono finiti ma sono diversi tra loro ( ( ( f f f ( ( f f per per ( f Es.

4 Discontinuità /. è punto di DISCONTINUITA di SPECIE se il ite destro o sinistro di f( esiste infinito oppure non esiste f ( non esiste Es. f ( Es. f ( sin Es. f ( tan(

5 Continuità Funzioni Elementari Def. Una funzione f( è continua in un sottoinsieme I di R se è continua in ogni punto dell insieme I. (I deve essere contenuto nell insieme di definizione della funzione Funzioni Lineari, Funzione quadrato : Continue su R n Polinomi: Continui su R Modulo di : continua su R y a y Funzione omografica (iperbole: discontinuità di specie per =-d/c n a n y m q y a n... a a y a c b d b c Funzioni Potenza: continua sull insieme di esistenza y a Funzione Esponenziale: continua su R y a Funzione Logaritmica: continua per > y log a ( Funzioni trigonometriche y y y sin( cos( tan( Continua su R Continua su R Discontinuità di specie in π/+k π 5

6 Continuità Funzioni Elementari Nota Somma e prodotto di funzioni continue sono continue. La funzione composta di funzioni continue è continua. 6

7 Teorema di Weierstrass Teorema (di Weierstrass. Se una funzione f(:ar è continua su un sottoinsieme I di A chiuso e itato allora possiede (almeno un punto di massimo e (almeno un punto di minimo in I. La condizione di continuità su un insieme chiuso e itato è sufficiente ma non necessaria. Esistono funzioni che NON soddisfano all ipotesi del teorema ma soddisfano egualmente alla tesi, oppure che NON la soddisfano. M M m m a, b a,b Discontinua (in un punto su un insieme chiuso e. : eppure ammette massimo e minimo Discontinua (in un punto su un insieme aperto : eppure ammette massimo e minimo 7

8 Teorema di Darbou Continua su un insieme aperto : non ammette massimo e minimo a,b Teorema (di Darbou. Se una funzione f(:ar è continua su un intervallo I di A chiuso e itato allora in tale intervallo assume tutti i valori (almeno una volta compresi tra il massimo ed il minimo. La condizione di continuità su un intervallo chiuso e itato è sufficiente ma non necessaria. Esistono funzioni che NON soddisfano all ipotesi del teorema ma soddisfano egualmente alla tesi oppure che NON la soddisfano. N.B. Si parla di Intervallo chiuso e itato non di insieme. N.B. Il massimo ed il minimo sono quelli assicurati dal teorema di Weierstrass. 8

9 M Teorema di Darbou Discontinua (in un punto su un intervallo chiuso e itato : eppure assume tutti i valori tra massimo e minimo m M a,b Discontinua (in un punto su un intervallo chiuso e itato : NON assume tutti i valori tra massimo e minimo (fascia m a,b 9

10 Teorema di Darbou M Continua sull unione di due intervalli chiusi e itati : NON assume tutti i valori tra massimo e minimo (fascia m a,b c,d

11 Teorema degli Zeri e Metodo di Bisezione Teorema (degli Zeri. Se una funzione f(:ar è continua su un intervallo [a,b] di A chiuso e itato soddisfa alla condizione f(a*f(b< allora esiste (almeno un punto c appartenente all intervallo (a,b tale che f(c=. Metodo di Bisezione. Il metodo di bisezione costituisce un metodo di approssimazione numerica della soluzione di una equazione del tipo f(=. Nota. In generale è meglio stabilire se nell intervallo dato la soluzione è unica [ciò può essere fatto considerando, ad esempio, la monotonia della funzione]. E un metodo iterativo. Ecco come funziona :. Si determina l intervallo che contiene la soluzione dell equazione f(= attraverso il teorema degli zeri. Sia esso [, ].. Dato l intervallo [, ], si calcola la media di e : =( + /. Si valuta quale sottointervallo [, ] o [, ] contiene la soluzione verificando la condizione f( *f( < oppure f( *f( <. Poi si reitera il calcolo. L ampiezza dell intervallo scelto costituisce l errore dell approssimazione.

12 Metodo di Bisezione f(=ln(+ f è continua in [/,] f(=> ; f(,5~-.9 <. Per il teorema degli zeri esiste allora un punto c:.5<c< per cui f(c=. Tale valore è anche l unica soluzione dell equazione ln(=- (vedi confronto grafico. f(=ln(+ f(=ln( e g(=-

13 Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione f(=ln(+..5; f (.5.95 f ( f.75 ( f ( f ( ;.75 f ( ; f ( ;.65

14 Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione f(=ln(+. Errore f( f( f(,5,5 -,95,75,68,5,5 -,95,75,68,65,5996,5,5 -,95,65,5996,565 -,86,65,565 -,86,65,5996,5975,75,5,565 -,86,5975,75,5785,6,565,565 -,86,5785,6,57,87,78,565 -,86,57,87,5666 -,,96,5666 -,,57,87,56859,58,95,5666 -,,56859,58,5678,66,977,5666 -,,5678,66, ,69

15 Metodo di Bisezione: valutazione errore Ampiezza Intervallo Iniziale: A Passaggio. Ampiezza= Passaggio. Ampiezza= A A Passaggio. Ampiezza= Passaggio k. Ampiezza= A A k Stabilito Errore: ε. Quanti passaggi devo fare affinchè l ampiezza dell intervallo sia minore di ε? Es. A k A A k A k log k log log ( *, 9,966 ; k 5

16 Es. ln(+= oppure ln(+> Confronto Grafico ln( y ln( y y y ln(=- ammette un unica soluzione : < < ~ L insieme di soluzione della disequazione è allora: S R : 6

17 Limiti : Somma Le funzioni elementari sono continue (dove sono definite Se compongo le funzioni elementari con operazioni elementari ottengo funzioni continue. Il calcolo del ite allora non presenta difficoltà. basta sostituire. ( ln ( ln 6ln( ln arcsin( / arcsin(/ Da qui in poi f e g saranno due funzioni definite in A, con punto di accumulazione di A ( i iti si assumono tutti esistenti. 6 SOMMA f ( g( f ( g( (si ricordi l aritmetizzazione parziale del simbolo R Eccezione: Forma di indecisione 7

18 Limiti : Somma Eccezione: Forma di indecisione Forma indecisione(indeterminata: significa che il risultato non è prevedibile a priori. ( k k 8

19 Limiti : Prodotto PRODOTTO f ( g( f ( g( (si ricordi l aritmetizzazione parziale del simbolo ln( e ln( log ( e Poiché: ln( Poiché: ln( log ( e ln( Poiché: e ln( 9

20 Limiti : Prodotto Eccezione: Forma di indecisione k k k

21 Limiti : Rapporto RAPPORTO ( se ( f f Eccezione: Forme di indecisione k k ( se ( f f ( ( ( ( g f g f Salvo eccezione

22 Limiti : Funzioni Razionali Funzioni Razionali Fratte ( ± : forma /

23 Limiti : Funzioni Razionali Funzioni Razionali Fratte ( : forma / ( ( ( ( ( ( ( ( Non è una forma di indecisione

24 Limiti : Potenza POTENZA g f ( f ( ( Attenzione: forma ( non è di indecisione g( Se / i due iti precedenti sono uguali. Nota Non sono definiti!! ln( ln(

25 Limiti : Potenza Attenzione: forma ( non è di indecisione ( ln Nota Non sono definiti 5

26 Limiti : Potenza Forme indeterminate Eccezione: Forme di indecisione e e Anche ( / : / e a ( / a a a e a a a e / a e a e e 6

27 7 Limiti : Potenza Forme indeterminate Eccezione: Forme di indecisione e e / a e a a a e / 6 6 e e e

28 Limiti : Potenza Forme indeterminate Eccezione: Forme di indecisione e e e ep ep e e / e e 8

29 Limiti : Potenza Forme indeterminate Eccezione: Forme di indecisione ln e ep ln ep ln.. ep ln ep(ln( e e ln e ep ln ep ln ep ln e e 9

30 Forme di indecisione: riassunto Addizione Moltiplicazione Rapporto Potenza

31 Identità Esponenziale f ( e ln( f ( ep(ln(f( : f ( f ( ln( e f ( ln(ep(f( Dominio ( f

32 Infinitesimi ed Infiniti Def. Una funzione si dice Infinita per se (e solo se: f ( Def. Una funzione si dice Infinitesima per se (e solo se: f ( Def. Date f, g infinite per ; f si dice Infinita per di ordine n rispetto a g( se (e solo se: f ( g( n k finito Def. Date f, g infinitesime per ; f si dice Infinitesima per di ordine n rispetto a g( se (e solo se: f ( g( n k finito

33 Infinitesimi ed Infiniti Es. Per + si prende come riferimento g(= Il polinomio a numeratore (^+^+è infinito di grado rispetto a Es. Per si prende come riferimento g(= Il polinomio a numeratore (^+^è infinitesimo di grado rispetto a

34 Infiniti di ordine Superiore (Inferiore Date due funzione f( e g( infinite per Def. f( si dice Infinita di ordine superiore rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( Def. f( si dice Infinita di ordine inferiore rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( Def. f( si dice Infinita dello stesso ordine rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( k finito Se k=, f( si dice ASINTOTICA rispetto a g( per f ~ g( ( ( Def. f( si dice Infinita non confrontabile rispetto a g( per se (e solo se: f ( non esiste g(

35 Gerarchia Ordine Infiniti Per + le seguenti funzioni sono ognuna infinita di ordine superiore rispetto a quelle che stanno a destra (o di ordine inferiore rispetto a quelle che stanno a sinistra Es. e a b d c log ( a b, c c, d, ln( Teorema Se F( è infinita di ordine superiore a f( per allora f(+f( è asintotica a F(X. In più se G( è infinita di ordine superiore a g( per, g(+g( è asintotica a G( e: f ( F( g( G( F( G( Nota: Il passaggio alla funzione asintotica non cambia il valore del ite. 5

36 Gerarchia Ordine Infiniti Es. e ln( ln( ln( / e ln e ln( Comportamento del logaritmo a + come funzione infinita : e ln( y y ln y y ln( y y ln( y 6

37 Gerarchia Infiniti : grafici e e Intersezioni (per ln( ln( ln( ln( (per (?,* e ln( (* ln( ln( Poiché il logaritmo è una funzione continua: 7

38 Gerarchia Infiniti : grafici e e (per R Per > ln( Cfr grafico S Per < Bisezione con intervallo iniziale [-;-/]: Cfr grafico S={= } 8

39 Infinitesimi di ordine Superiore (Inferiore Date due funzione f( e g( infinitesime per Def. f( si dice Infinitesima di ordine superiore rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( Def. f( si dice Infinitesima di ordine inferiore rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( Def. f( si dice Infinitesima dello stesso ordine rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( k finito Se k=, f( si dice ASINTOTICA rispetto a g( per f ~ g( ( Def. f( si dice Infinitesima non confrontabile rispetto a g( per se (e solo se: f ( g( non esiste ( 9

40 Gerarchia Ordine Infinitesimi Per + le seguenti funzioni sono ognuna infinitesima di ordine superiore rispetto a quelle che stanno a destra (o di ordine inferiore rispetto a quelle che stanno a sinistra a b log ( d c Teorema Se f( è infinitesima di ordine inferiore a F( per allora f(+f( è asintotica a f(. In più se g( è infinitesima di ordine inferiore a G( per g(+g( è asintotica a g( e: f ( F( g( G( f ( g( Nota: Il passaggio alla funzione asintotica non cambia il valore del ite.

41 Gerarchia Ordine Infinitesimi Es. e / ln( ln( ln( Nota ln( per È infinitesimo di ordine inferiore a

42 Calcolo Limiti Funzioni Razionali Per a + (- un polinomio è asintotico al suo termine di grado massimo Per un polinomio è asintotico al suo termine di grado minimo ( ~ ~

43 Calcolo Limiti Funzioni Razionali Più in generale, Zeri contemporanei di numeratore e denominatore che originano la forma indeterminata / vanno risolti applicando il teorema di Ruffini, cioè fattorizzando i polinomi e semplificando i termini comuni o mediante regole di fattorizzazione dei polinomi. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

44 Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali Si utilizza un procedimento simile alla razionalizzazione, che utilizza le regole sui prodotti notevoli ( ( ( b a b a b a Regola algebrica:

45 Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali ( ( b a b ab a b a Regola algebrica: ( ( (

46 Asintoti Obliqui Data f definita in un intorno di + (- e tale che: f ( Def. Per + (- la retta y=m+q è ASINTOTO OBLIQUO per la funzione f( se (e solo se : f ( ( m q ( Teorema. Per + (- la retta y=m+q è ASINTOTO OBLIQUO per la funzione f( se (e solo se : f ( m ( esiste finito q [ f(-m] ( esiste finito 6

47 7 Asintoti Obliqui Es.: f ( ( f m ( ( f q y=+ è asintoto a +. Si dimostra analogamente che lo è anche a - f ( Nota: effettuando la divisione di polinomi otteniamo per f( f (

48 8 Asintoti Obliqui Es.: ( f Es.: ( f a y a y - a y

49 Es.: f ( ln Ricerca Asintoti / Dominio: Simmetria: funzione pari ( ( f ( f ( Segno: ln ( ( 9

50 Ricerca Asintoti / ( ( Es.: Limiti alla frontiera del dominio: f ( ln f ( f ( Non esistono asintoti orizzontali f ( f ( f ( f ( = asintoto verticale =- asintoto verticale m f ( ln( Non esistono asintoti obliqui f ( 5

51 Ricerca Asintoti / ( ( 5

52 Es.: f ( ep Ricerca Asintoti / 5

53 Funzioni e grafici Probabili / X X X X 5

54 Funzioni e grafici Probabili / X X X X 5

55 Funzioni e grafici Probabili / X 55

56 Grafici Probabili di funzioni f( 56

57 Grafici Probabili di funzioni f( log 57

58 Grafici Probabili di funzioni f( 58

59 Grafici Probabili di funzioni f ( e sin( 59

60 Limiti Notevoli Es. sin( cos( sin( 5 sin( 5 5 sin( ~ cos( ~ cos( sin ( tan( sin( cos( tan( ~ tan( sin( tan ( 6

61 6 Deduzione Limiti Notevoli Da sin( cos( cos( ( cos cos( cos( cos( cos( sin( ( sin ~ cos( ~ cos(

62 Deduzione Limiti Notevoli bis ( cos( cos( sin ( sin ( ( 9 sin( sin( sin( tan( sin( cos( cos( sin( cos( cos( cos( 6

63 Da Deduzione Limiti Notevoli e log a( log a( log a( e ln( a log a( ~ ln( ~ ln( a a y ( y a ln( a y log a y log ( e a a ~ ln( a a ~ ln( a e ~ e ~ 6

64 Es. log a ( log a e Limiti Notevoli ln( a log a( ~ ln( ~ ln( a ln ( ln( ln( a ln ( ln( a a ~ ln( a e ~ Es. e sin( e ln( 6

65 65 Limiti Notevoli Es. e ~ e e e ~ e e Posso considerare anche:

66 66 Deduzione Limiti Notevoli ~ y ( ( ln( ( ln(( ln( y y y ( ( Reciproco:

67 Deduzione Limiti Notevoli bis y ln( y ln( y ln( y ln( y ln( e ( y y y e e y ln( y/ y/ ~ 67

68 Limiti Notevoli: riassunto / sin( sin( ~ cos( tan( cos( ~ tan( ~ e log a ( log a e ln( a log a( ~ ln( ~ ln( a 68

69 Limiti Notevoli: riassunto / a ln( a a ~ ln( a a ~ ln( a e ~ e ~ ~ 69

70 Limiti Deducibili da Limiti Notevoli Valgono ancora i iti notevoli ed i passaggi all asintotico se al posto di ( mettiamo una qualsiasi funzione infinitesima ε(, purché la sostituzione avvenga in modo coerente. sin( ( ~ ( cos( ( ~ ( log a ( ( ( ~ ln( a ( a ~ ( ln( a ( ( e ( ~ ( 7

71 7 Limiti Deducibili da Limiti Notevoli : esempi / Es. ln ln cos( ln Es. sin(/ cos( sin Es. cos( ln( cos( e Es. ln sin sin Oppure cos( cos( sin Oppure / / ln( cos( e e Oppure ln ln( sin( sin sin

72 7 Limiti Deducibili da Limiti Notevoli : esempi / Es. 9 ( ln( sin sin e e e Es. ln ln sin ln( e e Oppure ln ln sin( ln( ln( sin ln( e Oppure 9 ( sin( ln( ( / ln( sin e

73 Sostituzione di variabile nei iti e y y e y y ln( y ln( y y y cos( y y cos( y y y sin( y y 7

74 Sostituzione di variabile nei iti arcsen( y arcsen( y sen( y y sen(y arctan( y arctan( tan( y y y tan( y 7

75 NOTA Limiti Particolari Forma di indecisione ln( e ln( ep( ln( NOTA ep(ln ep( ln( ln( Non è una forma di indecisione 75

76 Limiti Particolari Forma di indecisione ep ep ln ln NOTA ln Forma di indecisione ep ln y ep y y ln y e 76

77 Limiti Particolari ln( ln( ep ln( ln( e Infinitesimi di ordine superiore e corretto utilizzo delle funzioni asintotiche tg( sen( sen( cos( cos( cos( cos( 77

78 f Limiti Particolari Utilizzo della continuità delle funzioni invertibili: Se f è continua : ( g( Se f è continua ed invertibile: l f ( ln g( ln( l ln ln( ln( ln( l l 78