Algebra dei limiti. quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha. lim. f (x)

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1 Algebra dei limiti Teorema. Se lim f () = l R e lim g() = m R, allora, 0 0 quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha lim (f () + g()) = lim f () + lim g() = l + m lim (f () g()) = lim f () lim g() = l m lim (f () g()) = ( lim f ()) ( lim g()) = l m lim f () f () lim 0 g() = 0 lim g() = l (g() 0, I ( 0 ) \ { 0 }) m 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Algebra dei limiti cap4.pdf 1

2 Teoremi sui limiti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per domf. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 2

3 Teorema di permanenza del segno Supponiamo che esista lim 0 f () = l R. Se l > 0, allora esiste un intorno I ( 0 ) del punto 0, tale che f () > 0 per ogni I ( 0 ) \ { 0 }. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 93) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 3

4 Primo Teorema del confronto Supponiamo che f ammetta limite l R per 0 e la funzione g ammetta limite m R per 0. Se esiste un intorno I ( 0 ) di 0 tale che f () g() per ogni I ( 0 ) \ { 0 }, allora l m. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 94) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 4

5 Secondo Teorema del confronto Siano date tre funzioni: f, g e h e supponiamo che esistano e siano uguali i limiti lim f () = lim h() = l. 0 0 Se esiste un intorno I ( 0 ) in cui siano definite le tre funzioni, tranne al piú nel punto 0, tale che f () g() h() I ( 0 ) \ { 0 }, allora si ha lim g() = l. 0 (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 95) PSfrag replacements h() g() l 0 f () c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 5

6 Funzioni limitate Def. Una funzione f è limitata in un intorno I ( 0 ) del punto 0 se esiste una costante C > 0 tale che f () C, I ( 0 ) \ { 0 }. cements 0 = 0 PSfrag replacements 0 = 3 0 = 3 0 = 0 I ( 0 ) I ( 0 ) f limitata in I (3) ma non limitata in I (0) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 6

7 Corollario al II thm del confronto Sia f una funzione limitata in un intorno di 0 e sia g una funzione tale che lim 0 g() = 0. Allora lim 0 (f ()g()) = 0. (Dimostrazione: appunti o libro a pag. 97). Es. lim + sin(). f () = sin() è limitata: sin() 1 e g() = 1 lim g() = 0. Allora lim sin() = è tale che c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 7

8 Corollario al II thm del confronto per successioni Sia a n una successione limitata e sia b n una successione infintesima. Allora la successione a n b n è infinitesima. sin(n) Es. lim n n inifinitesima. = 0 poiché a n = sin(n) è limitata e b n = 1 n è an 0 PSfrag replacements n c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 8

9 sin() Limite fondamentale lim 0 ments 0 Dim. 1 O A( POA) = e P H A T PH OA 2 = 1 A( POA) A( OPA) A( TOA) ovvero Lavoro con 0, osservo che f () = sin() è pari. Se l angolo POA = allora l arco AP è lungo, e A( OPA) = 2. Infatti AP: 2πr = : 2π, AP= r = ; A( OPA) : πr 2 = : 2π, A( OPA) = 2 = sin(), A( TA OA TOA) = = tan() sin() 2 2 tan(). 2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 9

10 Moltiplicando sin() 2 2 tan() 2 per 2 sin() si ha e invertendo il tutto: 1 sin() 1 cos() cos() sin() 1. Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere a 0: lim cos() = 1, lim sin() 1 = 1 e quindi lim = c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teoremi sui limiti cap4.pdf 10

11 Funzione continua in un punto Ricordiamo la definizione di limite lim 0 f () = l R ( 0 è di accumulazione per domf ): I ε (l), I δ ( 0 ) : domf I δ ( 0 ) \ { 0 } f () I ε (l). ( ε > 0, δ > 0 : domf : 0 < 0 < δ f () l < ε). Def. Sia 0 domf. La funzione f si dice continua in 0 se I ε (f ( 0 )), I δ ( 0 ) : domf I δ ( 0 ) f () I ε (f ( 0 )). ( ε > 0, δ > 0 : domf : 0 < δ f () f ( 0 ) < ε). c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap4.pdf 11

12 Funzione continua Quindi f () è continua in 0 se lim 0 f () = l e l = f ( 0 ) (esiste il limite di f per tendente a 0 e questo limite coincide con il valore della funzione f in 0 ) o, equivalentemente, se lim 0 f () = l, lim + 0 f () = l e l = f ( 0 ) (esistono il limite sinistro e destro di f per 0, questi sono uguali e coincidono con il valore della funzione f in 0 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap4.pdf 12

13 Esempi replacements h() 1 f () 1 1 g() f () = , g() = { se 0 1 se = 0 lim f () = 1 e f (0) = 1 f () è continua in 0 = 0. 0 lim g() = 0 mentre g(0) = 1 g() NON è continua in 0 0 = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap4.pdf 13

14 Def. Una funzione f definita in un intorno di 0 R è continua da sinistra (risp. continua da destra) in 0 se lim 0 f () = f ( 0 ) (risp. lim + 0 f () = f ( 0 )). replacements f () 1 1 g() 0 f () = + 1 > 0 lim f () = 0 = f (0) lim f () = < 0 g() = lim g() = 0 g(0) = lim g() = Quindi: una funzione f definita in un intorno di 0 è continua in 0 se e solo se è continua da destra e da sinistra in 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap4.pdf 14

15 Funzioni discontinue Def. Una funzione che non è continua in 0 si dice DISCONTINUA in 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap4.pdf 15

16 Teorema di sostituzione Supponiamo che esista lim 0 f () = l R. Sia g una funzione definita in un intorno di l (tranne al piú nel punto l) tale che: 1) se l R, allora g sia continua in l, 2) se l = + o l =, allora esista lim l g(). Allora esiste lim 0 (g f )() e si ha lim g(f ()) = lim g(). 0 l c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 16

17 2. Es. lim e 1 + f () = 1 2 e lim + g() = e e 1 2 lim e = 0. Allora = (= l). 2 lim e 1 = lim + e = 0. Es. lim log ) = ( = f () = 1. Se 0+, allora +. Riscrivo il limite in funzione di : se = 1/, allora = 1/ e si ha: 0 = lim + lim +( log ) = lim ( ) 1 log ( 1 + = lim + ) log( 1 ) ( ) log = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 17

18 Es. lim n sin(1/n) n Poniamo = 1 n. Se n +, allora 0+ e: sin(1/n) sin() lim n sin(1/n) = lim = lim = 1 n n 1/n 0 sin() Sempre partendo dal limite fondamentale lim = 1 e 0 applicando il teorema di sostituzione si può dimostrare che 1 cos lim 0 2 = 1 2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 18

19 Applicazione del thm di sostituzione Si vuole calcolare Si utilizza l identità lim f () g(). 0 (f ()) g() = e log(f ())g() g() log f () = e Quindi: lim f () g() = lim ep(g() log f ()) = ( 0 ) 0 ep lim (g() log f ()). 0 Es. Calcolare lim 0 + = ( lim 0 = lim ep ( log ) = ep Si ricorda che lim 0 +( log ) = 0 lim 0 +( log ) ) = e 0 = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 19

20 ( Partendo da lim ) = e + e applicando il Teorema di sostituzione si può dimostrare che: log(1 + ) lim 0 lim 0 e 1 = 1 = 1 lim (1 + 0 )1/ = e... pag c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 20

21 Analogamente per le successioni: (a n ) b n = e log(a n) bn = e b n log a n Notazione: ep(n) = e n ( ( ) ( ) n 1/n2 = ep log n 1/n2) 1 log n = ep n 2 log n = ep n 2 Quindi ( ) log n lim n n1/n2 = lim ep n n 2 ( = ep lim n ) log n n 2 = e 0 = 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 21

22 Esercizi n n = lim n lim n lim n lim n lim n n 2 n + 3 n = 7n 2 + n n + sin(n!) n n n! (n + 2) n (n + 1)! = n n+1 + 7n! (n + 2) n (7n + sin(n)) = n 1/n2 1 2n 2 log(n + 7) = c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 22

23 Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: pagg , pagg Sezioni 4.1.1, 4.1.2, pagg Canuto-Tabacco: Sezioni 4.1, 4.2 pagg Esercizi: pag c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Teorema di sostituzione cap4.pdf 23

24 Funzione elevamento a potenza = α con R e α R. Distinguiamo vari casi: α = 0 = 0 = 1 funzione costante. domf = R. imf = {1}. α = n N + = n. domf = R. PSfrag replacements Se n è pari, imf = R + {0} Se n è dispari, imf = R = n n = 2 = c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Potenza con esponente reale cap4.pdf 24

25 α = n m Q \ {0}, con n, m N+ primi fra loro, = n/m = m n. 10 PSfrag replacements 5 n 0 = 3/2 5 = 4/3 = 5/3 = n n m Esempio domf imf dispari pari = 3/2 R + {0} R + {0} dispari dispari = 5/3 R R pari dispari = 4/3 R R + {0} c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Potenza con esponente reale cap4.pdf 25

26 α > 0 irrazionale (α R + \ Q). domf = R + {0} e imf = R + {0} 2 PSfrag replacements n = n 0.5 = 3 = 1/ 3 = 1/ 2 = Se α 1, definisco = α := sup{ n/m : m α} Se 0 α < 1, definisco = α := inf{ n/m n : m α} n c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Potenza con esponente reale cap4.pdf 26

27 Dominio di f () = (h()) g() Consideriamo h : R R e g : R R. A priori l esponente g() può assumere un valore reale positivo nullo o negativo. Quindi la funzione f () è ben definita se la base h() è t.c. h() 0 e se g() è definita, ovvero domf = { R : h() 0} dom g Es. Determinare il dominio di f () = ( ). domf = { R : } 0 R = = (, 1] (0, + ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Potenza con esponente reale cap4.pdf 27

28 Funzione continua su un intervallo Def. Sia I un insieme contenuto in domf. La funzione f si dice continua su I se è continua in ogni punto di I. Proposizione. Tutte le funzioni elementari (polinomi, funzioni razionali, funzioni elevamento a potenza, funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e loro funzioni inverse) sono continue in tutto il loro dominio. Corollario al Thm dell algebra dei limiti. Siano f e g due funzioni continue in 0 R. Allora sono continue in 0 anche le funzioni f () ± g(), f () g() e f () g() (quest ultima a patto che g( 0 ) 0.) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Funzioni continue cap4.pdf 28

29 Corollario al Teorema di sostituzione Sia f una funzione definita e continua in un intorno di 0 e sia 0 = f ( 0 ). Sia poi g una funzione definita e continua in un intorno di 0, allora anche g f è continua in 0. Dim. Dobbiamo dimostrare che lim (g f )() = (g f )( 0 ) 0 Se f è continua in 0 si ha lim f () = l = f ( 0 ) = 0. 0 Inoltre = f (). Quindi: lim (g f )() = lim g(f ()) = lim g() = lim g() = 0 0 l 0 g( 0 ) = g(f ( 0 )) = (g f )( 0 ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Funzioni continue cap4.pdf 29

30 Punti di discontinuità Un punto di discontinuità per f è un punto in cui f non è continua. Classificazione: Punto di discontinuità eliminabile Punto di salto Punto di infinito Punto di discontinuità di seconda specie. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 30

31 Punto di discontinuità eliminabile Def. Sia f una funzione definita in un intorno di 0. Se esiste finito lim 0 f () = l R e, f ( 0 ) l diciamo che 0 è punto di discontinuità eliminabile per f. Es. f () = PSfrag replacements { se se = 1 Il punto in questione è 0 = 1, lim f () = 1, f ( 1) = f () c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 31

32 Es. PSfrag replacements sin() se 0 f () = 0 se = 0 1 f () dom f = R, 0 = 0, f (0) = 0, mentre lim 0 f () = 1. Perché eliminabile? Perché partendo da f (), si costruisce una nuova funzione f : { f () se 0 sin() f () = lim f () = l se = 0. f () = se se = 0. Ne segue che f è continua in 0 perchè lim f () = lim f () = l e f ( 0 ) = l. 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 32

33 Punto di discontinuità di tipo salto Def. Sia f una funzione definita in un intorno di 0. Se esistono finiti f () = l 1 R e f () = l 2 R, con l 1 l 2, lim 0 lim + 0 diciamo che 0 è punto di discontinuità di salto per f e si definisce salto di f in 0 il valore [f ] 0 = lim f () lim f () Es. f () = { se se > 0 PSfrag replacements 0 = 0, f è definita in I ( 0 ) incluso 0. lim f () = 0, lim f () = 1, [f ] = 1 0 = 1. 1 f () c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 33

34 Punto di infinito Def. Sia f una funzione definita in un intorno di 0. Se esistono infiniti f () e f (), con segno uguale o diverso, o se un lim 0 lim + 0 limite è finito e l altro è infinito, diciamo che 0 è punto di infinito per f. Es. { e 1/ 0 f () = 0 PSfrag = 0 replacements f () 0 = 0, f è definita in I ( 0 ). f () = 0, lim f () = +, + lim c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 34

35 Discontinuità di seconda specie Def. Sia f una funzione definita in un intorno di 0. Se in 0, uno dei due limiti (destro o sinistro) o entrambe non esistono, si dice che 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per f. Es. 2 ( ) 1 sin se 0 f () = 1 se = 0 domf = R. ments ( ) 1 NON esiste lim sin e 0 ( ) 1 NON esiste lim sin = 0 è punto di disc. di seconda specie per f () c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 35

36 Proprietà delle funzioni continue cements Def. Data una funzione reale f, si chiama zero (o radice) di f ogni punto 0 domf in cui f si annulla. Teorema (degli zeri di una funzione continua). Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f (a) f (b) < 0. Allora esiste almeno uno zero di f nell intervallo aperto (a, b). f (a) f (b) a b f (a) f (b) a b f (a) f (b) a b c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 36

37 Teorema (dei valori intermedi) Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b). PSfrag replacements f (b) z f (a) a 0 b c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 37

38 L immagine di un insieme I tramite f è: f (I ) = { = f () : I } Corollario. Sia f una funzione continua su un intervallo I. Allora l immagine f (I ) dell intervallo I tramite f è ancora un intervallo. cements f (I ) f (I ) f (I ) I I I I intervallo e f cont. I non intervallo e f cont. I interv. e f disc. su I. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 38

39 Massimo e minimo di una funzione PSfrag replacements Def. Si chiamano massimo e minimo di una funzione f su un intervallo [a, b] i numeri reali M = ma f = ma{f () : a b} e [a,b] m = min f = min{f () : a b} [a,b] M m a M m b M e m sono detti rispettivamente punto di massimo e punto di minimo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 39

40 Teorema (di Weierstrass). Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f è limitata ed ivi assume valori massimo e minimo. placements M m a m M b a b f continua: m, M f discontinua: m, M c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 40

41 Teorema. Sia f una funzione continua su un intervallo I. Allora f è iniettiva se e solo se è strettamente monotona su I. cements I I f continua sull intervallo I : NON monotona e NON iniettiva su I. f continua sull intervallo I : iniettiva e monotona su I L equivalenza cade se f non è continua o se I non è un intervallo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 41

42 Teorema. Sia f una funzione continua e invertibile su un intervallo. Allora la funzione inversa f 1 è continua sull intervallo J = f (I ). Es. f () = sin() con I = [ π/2, π/2]. f è continua strettamente monotona sull intervallo I e J = f (I ) = { = sin(), [ π/2, π/2]} = [ 1, 1] è un intervallo. Allora f 1 () = arcsin() è continua su J. 2 2 cements J PSfrag replacements I I J = f () = sin() = f () = arcsin() N.B. sin() non è invertibile sul suo dominio (perchè non è strettamente monotona su tutto R). c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 42

43 Riferimento bibliografico: Canuto-Tabacco: Sezioni 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, pagg Sezioni 4.1.1, 4.1.2, pagg Canuto Tabacco: Sez. 4.3, pagg c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 43

44 Esercizi Canuto-Tabacco: pag. 89, esercizio n. 3, Studiare il tipo di discontinuità presente nelle seguenti funzioni. f () = { { 1 log() < 1, f () = = 0, ( ) 1 sin 0 f () = 3 = 0, f () = { e 1/ = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punti di discontinuità cap4.pdf 44