Matematica: Continuità e calcolo dei limiti (Cap.7)

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1 Matematica: Continuità e calcolo dei limiti (Cap.7) Marco Dall Aglio LUISS University mdallaglio@luiss.it A.A Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

2 Continuità in un punto Definizione Sia f : A R R con x 0 A A. La funzione si dice continua in x 0 quando lim = f (x 0 ) (1) x x 0 ovvero quando ε è possibile trovare un intorno di x 0 i cui punti soddisfano la condizione f (x 0 ) ε < < f (x 0 ) + ε La condizione (1) richiede che le seguenti tre condizioni siano soddisfatte i) esistono finiti sia il limte destro lim x x + 0 lim x x 0 che il limite sinistro ii) Questi limiti siano uguali fra di loro (tanto da poter scrivere lim x x0 ) iii) Questi limiti sono anche uguali al valore f (x 0 ) assunto dalla funzione nel punto x 0 Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

3 Continuità delle funzioni elementari Osservazione importante Tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio Il limite lim x x0 si ottiene semplicemente calcolando f (x 0 ) Questo però non ci aiuta per il calcolo dei limiti agli estremi degli intervalli di definizione di una funzione lim x + ex =? lim ln x =? lim x 0 + tg x =? lim x π/2 1 x 0 x =? (un occhata ai grafici può aiutare) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

4 Classificazione delle discontinuità Abbiamo diversi tipi di discontinuità a. x 0 è una discontinuità eliminabile quando Il valore f (x 0 ) risulta diverso dal limite finito di f per x x 0 ; x 0 non appartiene all insieme di definizione della funzione e il limite di f per x x 0 esiste finito; è possibile prolungare con continuità la funzione in x 0 ponendo f (x 0 ) = lim x x0 ; b. x 0 è una discontinuità di prima specie quando il limite sinistro e il limite destro per x 0 esistono finiti, ma sono diversi fra loro; c. x 0 è una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) non esiste o esiste infinito. Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

5 Continuità in un insieme Definizione Una funzione f : A R R si dice continua in un insieme B A quando è continua per ogni punto di B Nel caso l insieme sia un intervallo del tipo [a, b) o [a, + ), richiediamo che la funzione sia continua su (a, b) e che lim = f (a) (2) x a + Nel caso l insieme sia un intervallo del tipo (a, b] o (, b], richiediamo che la funzione sia continua su (a, b) e che lim = f (b) (3) x b Nel caso di intervallo [a, b] debbono valere entrambe le (2) e (3) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

6 Operazione sui limiti Premessa In tutti i risultati che seguono f e g sono definite sullo stesso insieme A con P A. lim x P e lim x P g(x) esistono (finiti o infiniti) Teorema (somma) a) lim x P [ + g(x)] = lim x P + lim x P g(x) Vale se i limiti sono finiti Vale con limiti infiniti, utlizzando le regole per sommare di ± ± + x = ± x R ± + (± ) = ± Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

7 Forma indeterminata Il precente teorema sul limite della somma di funzioni da informazioni se un limite è + e l altro è Esempio Consideriamo, per x +, g(x) = x 2, f 1 (x) = x 2 + 1, f 2 (x) = x 2 + x, e f 3 (x) = x 2 + sen x. Abbiamo lim f 1(x) + g(x) = 1 x + lim f 2(x) + g(x) = + x + Indicheremo questa situazione come forma indeterminata + =? lim f 3(x) + g(x) = x + Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

8 Operazione sui limiti Teorema (prodotto) b) lim x P [ g(x)] = lim x P lim x P g(x) Vale se i limiti sono finiti Vale con limiti infiniti, utlizzando le regole per moltiplicare ± ± x = ± x > 0 ± x = x < 0 ± (± ) = + ± ( ) = Non da informazioni se un limite è 0 e l altro è ± 0 (± ) =? (Forma indeterminata) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

9 Operazione sui limiti Teorema (quoziente) c) lim x P 1 = 0± quando è lim x P = ± d) lim x P 1 = ± quando è lim x P = 0 ± e) lim x P g(x) = lim x P lim x P g(x) Vale con limiti finiti e infiniti, utlizzando le regole già viste e tenendo conto delle regole dei segni ( ) α 1 0 = α 0 = (α 0) 0 = ( ) 1 = 0 ( ) 1 0 = 0 = 0 Non da informazioni quando entrambi i limiti sono 0 o ± 0 0 =? =? (Forme indeterminate) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

10 Cambio di variabile Il metodo del cambio di variabile consiste nel ricondurre il limite di una funzione ad un limite più semplice rispetto ad una nuova variabile scelta in modo opportuno. Ad esempio potremmo ricondurci ad un limite notevole. Ci serve Teorema (Limite di una funzione composta) Siano f : A R R, g : B R R. Se x 0 A e L B e se esistono i limiti lim x x 0 = L R, lim g(y) = M R; y L allora esiste anche il limite lim (g() = M. x x 0 Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

11 Esempio Calcoliamo lim x x 2. La funzione h(x) = 2 1 x 2 può essere scritta come h = g[f ], dove Ora quindi f : R R, = 1 x 2 lim =, lim x + g : R R g(x) = 2 x g(y) = 0, y = lim (g() = 0. x + Questi passaggi si indicano brevemente come: Analogamente si trova che lim x + 21 x 2 = 2 = 0 lim log 2 (1 cos x) = log 2 x 0 (0+ ) =. Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

12 Operazioni sui limiti Teorema (potenza di funzioni e) lim x P [] g(x) = [lim x P ] lim x P g(x) In generale questo limite si risolve ricordando che > 0 e Ad esempio [] g(x) g(x) log = e lim x x = lim x log x x + x + e = e ( )(+ ) = e = 0 Ma non ci aiuta nei seguenti casi: 1 =? 0 0 =? 0 (Forme indeterminate) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

13 Conclusioni a) Se la funzione di cui dobbiamo calcolare il limite, per x x 0 o per x ±. è elementare o è somma, prodotto, quoziente, potenza di funzioni elementari, il limite si calcola con una semplice sostituzione se x0 è nel dominio della funzione ricordando i limiti delle funzioni elementari agli estremi del dominio Ricordando le operazioni lecite con ± b) Rimangono fuori le sette situazioni nelle quali non è assicurata alcuna conclusione Queste sono le Forme Indeterminate (FI) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

14 Infiniti Definizione Una funzione f si dice infinita per x P quando: Definizione lim = ± x P Date due funzioni infinite f e g per x P, per confrontarle consideriamo il limte del loro rapporto. Quando a. lim x P = 0 f è infinita di ordine inferiore rispetto a g g(x) b. lim x P = k 0 f e g sono infinite dello stesso ordine g(x) c. lim x P = ± f è infinita di ordine superiore rispetto a g g(x) d. lim x P non esiste f e g non sono confrontabili g(x) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

15 Ordine di infinito In alcuni casi è possibile misurare con precisione l ordine di infinito Definizione Sia g una funzione infinita per x P. Diciamo che la funzione f è un infinito di ordine a (a R) rispetto ad un infinito di riferimento g(x) quando lim x P [g(x)] a = k 0 In genere, quando x si considera g(x) = x Esempi: = x 4 + x h(x) = 3 x x 2 l(x) = x x + 3 Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

16 Non sempre troviamo l ordine di infinito Confronto esponenziale/potenza La funzione esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi funzione potenza lim x + e x = + a > 0 x a Lo stesso è vero per qualsiasi funzione esponenziale con base > 1 Confronto logaritmo/potenza qualsiasi funzione potenza è infinito di ordine supeiore rispetto a qualsiasi potenza positiva della funzione logaritmo lim x + x a = + a, b > 0 b (ln x) Gerarcha di infiniti: ln x x a e x Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

17 Semplificazione di infiniti Teorema Sia data la funzione y = + F(x) con F infinita di ordine superiore rispetto a f ; analogamente sia data y = g(x) + G(x) con G infinita di ordine superiore rispetto a g, per x P. Se i limiti sottoindicati esistono, vale la seguente uguaglianza Esempio: lim x + lim x P + F(x) g(x) + G(x) = lim F(x) x P G(x) x 4 + 2x 3 3x 4 x 3 x 2 + x + 1 = lim x 4 x +infty 3x 4 = 1 3 Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

18 Infinitesimi Definizione Una funzione f si dice infinitesima per x P quando: Definizione lim = 0 x P Date due funzioni infinitesime f e g per x P, per confrontarle consideriamo il limite del loro rapporto. Quando a. lim x P = 0 f è infinitesima di ordine superiore a g g(x) b. lim x P = k 0 f e g sono infinitesime dello stesso ordine g(x) c. lim x P = ± f è infinitesima di ordine inferiore a g g(x) d. lim x P non esiste f e g non sono confrontabili g(x) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

19 Ordine di infinitesimo In alcuni casi è possibile misurare con precisione l ordine di infinitesimo Definizione Sia g una funzione infinitesima per x P. Diciamo che la funzione f è un infinitesimo di ordine a (a R) rispetto ad un infinitesimo di riferimento g(x) quando lim x P [g(x)] a = k 0 In genere, quando x 0 si considera g(x) = x h(x) = 2x 4 + 3x 3 Esempi: = x 3 l(x) = x x + 3 x Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

20 Semplificazione di infinitesimi Teorema Sia data la funzione y = + F(x) con F infinitesimo di ordine superiore rispetto a f ; analogamente sia data y = g(x) + G(x) con G infinitesimo di ordine superiore rispetto a g, per x P. Se i limiti sottoindicati esistono, vale la seguente uguaglianza lim x P + F(x) g(x) + G(x) = lim x P g(x) Esempio: x 4 + x 2 x x lim x 0 x 10 + x Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

21 o piccolo Definzione Sinao f e g definite in un intorno di P. Diciamo che, per x P è : f = o(g) (leggiamo che f è o piccolo di g) quando: Esempi: x 3 = o(x 2 ) per x 0 x 2 = o(x 3 ) per x + lim x P g(x) = 0 Attenzione le funzioni possono anche non essere infiniti o infinitesimi: x = o(x + 5) per x x = o(x) per x + Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

22 Proprietà di o piccolo = o(1) per x P significa lim x P = 0 = k + o(1) per x P significa lim x P = k Valgono inoltre le seguenti proprietà o(k g(x)) = o(g(x)) k 0 o(g(x)) = o ( g(x)) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

23 Asintoti obliqui Quando vale lim = x + il grafico di f non ammette asintoto orizzontale per x - Può invece ammettere asintoto obliquo dato da una retta y = mx + q Questo succede quando = mx + q + o(1) per x + Esempio: = 2x 3 + 2x x 2 + x = 2x + 1 x 2 + x = 2x + o(1) Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24

24 Come trovare gli asintoti obliqui Teorema Il grafico di una funzione f ammette la retta y = mx + q come asintoto obliquo se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni: a. esiste, finito e diverso da zero il limite b. esiste finito il limite lim = m 0 x + x lim [ mx] = q x + Esempio: = x 2 ln x + 2x ln x x ln x + 3 per x + Dall Aglio (LUISS) Guerraggio Cap.7 A.A / 24