Limite Destro Finito

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Emilio Ruggiero
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1 Limite Destro Finito Quando la variabile assume valori via via più vicini ad a (ma sempre maggiori di a), i corrispondenti valori di f() si avvicinano sempre più al valore L. y scelta di ε y = f () y scelta di δε y = f () L + ε L L - ε L + ε L L - ε ite destro finito a +f() = L O a O a a + δε Si dice che f() tende al ite L per che tende ad a da destra se: per ogni ε > 0 esiste un δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni (a,a+δ ε ). ESEMPI: (1) = 0 (in questo caso δε = ε 2 ), (2) 0 + = 1.

2 Limite Sinistro Finito Quando la variabile assume valori via via più vicini a b (ma sempre minori di b), i corrispondenti valori di f() si avvicinano sempre più al valore L. y scelta di ε y = f () y scelta di y = f () δ ε L + ε L L - ε L + ε L L - ε ite sinistro finito b f() = L O b O b - δ ε b Si dice che f() tende al ite L per che tende a b da sinistra se: per ogni ε > 0 esiste un δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni (b δ ε,b). ESEMPI: (1) 1 1 = 0, (2) 0 = 1.

3 Limite Finito per 0 Se la funzione possiede sia il ite destro che il ite sinistro nel punto 0 e se entrambi sono uguali al valore L, si dice che f() = L 0 (ite finito) Quando la variabile assume valori vicini a 0 (diversi da 0 ), i corrispondenti valori di f() sono vicini al valore L. Si dice che f() tende al ite L per che tende ad 0 se: per ogni ε > 0 esiste un δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) con 0. ESEMPI: (1) 3 (5 9) = 6, (2) = 2

4 Limite Finito per + Quando la variabile cresce arbitrariamente, i corrispondenti valori di f() sono sempre più vicini al valore L. y y = f () scelta di ε y y = f () scelta di ε L + ε L + ε ite finito L L - ε L L - ε f() = L + O O ε ESEMPI: (1) + +1 = 1, (2) + e = 0 ( ε = logε)

5 Ancora un Limite Quando la variabile assume valori vicini ad 0 (diversi da 0 ), i corrispondenti valori di f() crescono arbitrariamente. y scelta di M y scelta di δ M ite infinito M y = f () M y = f () f() = + 0 O δ M O + 0 δ M 1 ESEMPI: (1) 0 2 = + ( δm = 1 ) M

6 Il Limite Può Non Esistere Il ite di una funzione può non esistere: f() =, 0. Non esiste il ite per 0. Infatti, il ite destro e ite sinistro esistono, ma sono diversi: = 1, 0 +f() = 1. 0 f() f() = 1, 0. Non esiste il ite per 0. Infatti, i iti destro e sinistro sono infiniti di segno opposto: = +, 0 +f() =. 0 f() f() = sin. Non esiste il ite per +.

7 Osservazioni sui Limiti per 0 Poiché nella definizione di ite si richiede 0, non ha alcuna importanza l eventuale valore assunto dalla funzione nel punto 0 : f() = 2 per 0 1 per = 0 f(0) = 1, ma 0 f() = 0 g() = 1 2 per 0 0 per = 0 g(0) = 0, ma 0 g() = +

8 Alcuni Limiti da Ricordare + n = + per ogni n N, n 0 n = + a = + log a = 0 + log a = + se n è pari se n è dispari 0 se 0 < a < 1 + se a > 1 se 0 < a < 1 + se a > 1 + se 0 < a < 1 se a > 1 a = + se 0 < a < 1 0 se a > 1

9 Operazioni sui Limiti Se 0 f() = α R e 0 g() = β R, allora si ha: somma: 0 [ f()+g() ] = α+β prodotto: 0 [ f() g() ] = α β f() quoziente: se β 0, 0 g() = α β Le stesse proprietà valgono nei casi +, oppure + 0, 0.

10 Operazioni sui Limiti Se 0 f() = α R e 0 g() = +, allora si ha: somma: 0 [ f()+g() ] = + prodotto: se α 0, 0 [ f() g() ] = f() quoziente: 0 g() = 0 1 In particolare, si ha che 0 g() = 0 + se α > 0 se α < 0 Le stesse proprietà valgono nei casi +, oppure + 0, 0.

11 Ampliamento di R Per c R definiamo le seguenti operazioni: + +c = +, +c = Questo significa che qualunque sia la funzione f che per 0 tende a +, e qualunque sia la funzione g che per 0 tende a c, allora f +g per 0 tende a +. Analogamente per. + + = +, = (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = + c ± = 0 se inoltre c 0, (+ ) c = + se c > 0 se c < 0 ( ) c = se c > 0 + se c < 0

12 Esercizio Calcolare i seguenti iti: ( ( + + ( 2 e ) 2 e e ) ) e

13 Forme Indeterminate Restano indeterminate le operazioni: +, 0 (± ), ± ±, 0 0 Cosa significa per esempio che 0 0 è una forma indeterminata? Significa che se f() e g() tendono a 0 per 0, da questa unica informazione non si può dedurre qual è il comportamento di f() g() al tendere di a 0. ESEMPIO: consideriamo f() =, g() = 3, h() = 2. Si ha 0 f() = 0 g() = 0 h() = 0. Tuttavia, 0 f() g() = +, 0 g() f() = 0, 0 h() f() = 2.

14 Limite di un Polinomio all Infinito Sia P() = a m m +a m 1 m 1 + +a 1 +a 0 un polinomio di grado m 1. Allora: P() = a m m = se a m > 0, se a m < 0. P() = a m m =... (dipende dal segno di a m e dalla parità di m) Il comportamento all infinito di un polinomio è determinato dal termine di grado massimo. Esempi: (1) ( + (23 +1) = ) 2 (2) ( ) = 4 ( ) = + =

15 Limiti Fondamentali Dati due polinomi di grado m e n si ha: P() = a m m +a m 1 m 1 + a 1 +a 0 Q() = b n n +b n 1 n 1 + b 1 +b 0 se m = n, se m < n, + + se m > n e a m b n > 0, se m > n e a m b n < 0, P() Q() = a m ; b n P() Q() = 0; + + P() Q() = + ; P() Q() =.

16 Calcolare i seguenti iti: Limiti Fondamentali Esempi e 3 +5e 2e 3 e 2 +4 (si può risolvere ponendo t = e )

17 Altri Limiti Fondamentali 0 log(+1) 0 sin = 1 = 1 0 e 1 + n = 1 = 0 n N, a > 1 a + log p n = 0 p,n N {0} 0 + n log p = 0 p,n N {0} Esercizio. Calcolare i seguenti iti: log tan 0 0 e 2 1 log(+1) 0 + 2

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