CAPITOLO VI LIMITI DI FUNZIONI

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1 CAPITOLO VI LIMITI DI FUNZIONI. CONCETTO DI LIMITE Esula dallo scopo di questo libro la trattazione della teoria sui iti. Tuttavia, pensando di fare cosa gradita allo studente, che deve possedere questa nozione come background, riteniamo più utile presentare, come richiamo, le interpretazioni grafiche di tale concetto. Sia data, a tal proposito, una funzione reale f ( ) definita su un insieme E R e sia, appartenente o no all insieme, un punto di accumulazione di E. In generale quando si pensa al concetto di ite si fa riferimento alla scrittura In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia che f ( ) tendere ad un elemento dell insieme l ovvero l,,,, dove con si indica tutta la retta reale (, ). Così si potrebbero presentare ben sedici casi con scritture quali: l l che si possono racchiudere nella seguente espressione ± l ± A volte, però, il ite non esiste ed allora occorre studiare il comportamento in un sottoinsieme di un intorno completo di avendosi casi come i seguenti: su E essendo E un sottoinsieme di R ed un suo punto di accumulazione; la situazione tende a complicarsi maggiormente in termini di casistica. 8

2 Siano ed l due numeri reali finiti. Elenchiamo qui di seguito i vari casi possibili: ) ite finito quando tende ad un numero finito l l O ( ) l P(, ) il ite è rappresentato proprio dal punto P O ) ite finito quando tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi a) b) l l O O l l 8

3 Notasi che scrivere formalmente l ed l fornisce un informazione aggiuntiva sulla tendenza dall alto e dal basso della nostra funzione f ( ) verso la retta l. c) d) l l O O l l ESEMPI b) c) La funzione è definita su tutta la retta reale tranne che nel punto (cfr. capitolo precedente). Segue allora che: e O 8

4 a) d) e O ) ite infinito quando tende ad un numero finito comprendente i seguenti due casi a) ite destro e sinistro coincidenti ± o ± O O 8

5 ± o ± b) ite destro e sinistro differenti b ) e e 85

6 b ) e l l a e a a > l O N.B ± a ± ) ite infinito quando tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi a) e (, ) (, ) O 86

7 e o più in generale n e n O b) e (, ) O (, ) ( ) o più in generale n ( ) e ( ) n e ( ) O 87

8 c) e O e o più in generale n e n O d) e O 88

9 ( ) e ( ) O Sia f ( ) sin Si dimostra che Risulta pertanto: sin non esiste o meglio oscilla tra e. Si consideri allora l insieme E R : con n nπ su E sin ( sin nπ) N n n N O In ogni intorno di zero la curva compie infinite oscillazioni che vanno via via infittendosi a mano a mano che ci si avvicina a zero. 89

10 . TEOREMI SUI LIMITI In questo paragrafo ci proponiamo di enunciare i più importanti teoremi che regolano le operazioni sui iti di funzione. Teorema dell unicità del ite: il ite di una funzione, se esiste, è unico. Teorema della permanenza del segno: se, al tendere di ad, la funzione f ( ) tende al ite l, esiste un intorno di in cui, escluso tutt al più, la funzione assume lo stesso segno del suo ite.. OPERAZIONI SUI LIMITI Limite della somma (o differenza) di due (o più) funzioni. Primo caso Date due funzioni f ( ) ed g( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con un punto di accumulazione, appartenente o no all insieme F G, risulta: [ ] ± g( ) ± g( ) ± l l posto l e g( ) l Quindi il ite della somma di due o più funzioni è uguale alla somma dei iti delle singole funzioni. Siano f ( ) 6 e g( ) Si ha: e g( ) 6 da cui [ ] ± g( ) ± g( ) ± 6 ± 6 9

11 Secondo caso Ci si pone adesso il problema se il teorema di cui sopra continui a valere anche quando la tenda a valori infiniti. La risposta a tale quesito è affermativa. Siano f ( ) 6 e g( ) Si ha: e g( ) da cui [ ] ± g( ) ± g( ) ± Terzo caso Ci si pone ora nel caso generale in cui il valore del ite può essere anche infinito e si afferma che la regola, indipendentemente da dove tende, vale secondo i risultati riportati nella seguente TABELLA DELLA SOMMA l' l, l' > l l l'??? indica che il teorema generale della somma in questi casi (uno e l altro ) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso indeterminato o di indecisione. 9

12 Siano f ( ) 5 e g( ) Risulta: e g( ) da cui [ f g ] ( ) ( ) che, come è evidente dalla tabella, è un caso di indecisione. Limite del prodotto di due (o più) funzioni. Date due (o più) funzioni f ( ) ed g( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con un punto di accumulazione, appartenente o no all insieme F G, risulta: [ ] g( ) g( ) l l posto l e g( ) l cioè il ite del prodotto di due (o più) funzioni è uguale al prodotto dei iti delle singole funzioni. Siano f ( ) 5 e g( ) Risulta: e g( ) 6 da cui [ ] g( ) g( ) ( ) 6 6 9

13 Quanto sopra detto si può riassumere nella seguente TABELLA DEL PRODOTTO l' l' l ll' ll'?? l ll' ll'?? l, l' >? indica che il teorema generale del prodotto in questi casi (uno e l altro o ) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o di indeterminazione. Siano f ( ) e g( ) Risulta: e g( ) Segue che: [ f g ] ( ) ( ) ( ) che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione. 9

14 Limite del quoziente di due funzioni Date due funzioni f ( ) ed g( ), con g( ), definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con un punto di accumulazione, appartenente o no all insieme F G, risulta: f ( ) g( ) l g( ) l posto l e g( ) l cioè il ite del quoziente di due funzioni è uguale al rapporto tra i iti delle singole funzioni considerate. Siano f ( ) 5 e g( ) Risulta: Segue che: e g( ) 6 f ( ) g( ) 6 Quanto sopra enunciato si può riassumere nella seguente TABELLA DEL QUOZIENTE l' l'? l l l l' l' l l l l' l'???? 9

15 ? indica che il teorema generale del quoziente in questi casi (entrambi oppure entrambi ) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o di indeterminazione. ESEMPI ) Siano f ( ) e g( ) Risulta: Segue che: e g( ) f ( ) g( ) che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione. ) Siano f ( ) e g( ) Risulta: e g( ) Segue che: f ( ) g( ) che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione. Limite della potenza di una funzione Se, al tendere di ad, la funzione f ( ) tende ad un numero finito l, indicando con n un intero qualsiasi, risulta: [ f ] ( ) n l n cioè il ite di una potenza è uguale alla potenza del ite. 95

16 Siano ( ) f ( ) 5 e n Risulta: e [ f ( ) ] 8 Quanto detto si può riassumere nella seguente TABELLA DELL ELEVAMENTO A POTENZA [ ] g( ) ± ± ± g( ) l l' l l'? l l' l l' ±? ±? l l se ' è pari se ' è dispari? indica che il teorema generale della potenza in questi casi (uno e l altro ± oppure entrambi oppure uno ± e l altro ) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o di indeterminazione. 96

17 ESEMPI ) Siano f ( ) e g( ) Risulta: e g( ) da cui si ha [ f ] ( ) g( ) che è una forma indeterminata. ) Siano ( ) f ( ) e g( ) Risulta: e g( ) da cui segue [ f ] ( ) g( ) che è un altra forma di indecisione. ) Siano f ( ) ( ) e g( ) Risulta: e g( ) da cui si ottiene [ f ] g( ) ( ) ( ) che è ancora un caso di indecisione. 97

18 Limite della radice n-esima di una funzione Se, al tendere di ad, la funzione f ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicando con n un intero positivo, risulta: n n l con la sola ipotesi restrittiva che, punto di accumulazione dell insieme di definizione della, deve essere anche un punto di accumulazione dell insieme di definizione della n f ( ). Quindi il ite della radice n- esima di una data funzione è uguale alla radice n-esima del ite della funzione stessa. Osservazione: la tabella della radice si può ricavare da quella dell elevamento a potenza ricordando che con m, n interi positivi. n m [ f ( ) ] [ f ( ) ] m n ESEMPI ) Sia f ( ) e n Allora n 8 ) Sia f ( ) e n Allora n ) Sia f ( ) e n Allora n 98

19 Limite di funzioni trascendenti composte A) Se, al tendere di ad, la funzione f ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicando con a un intero positivo diverso da, risulta: f ( a ) a l Sia a e f ( ) 5 Quindi a f ( ) ( 5 ) ( 5 ) B) Se, al tendere di ad, la funzione f ( ) tende ad un numero l >, indicando con a un intero positivo diverso da, risulta: log a f ( ) loga l Sia f ( ) e a Allora [ ] ( ) ( ) log f ( ) log log log a 99

20 Analizziamo adesso più da vicino quelle che abbiamo già definito come FORME INDETERMINATE O DI INDECISIONE ) e In questo caso è sufficiente calcolare il ite del solo termine di grado massimo. ESEMPI a) f ( ) 5 b) f ( ) 5 c) f ( ) 5 d) f ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) ) In tal caso si eina l indeterminazione mediante una semplice operazione di scomposizione in fattori. f ( ) e g( ) [ f g ] ( ) ( ) ( ) Scomponendo si ottiene: ( ) ( ) f ( ) e g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ f g ] ( ) ( ) 8

21 ) In questo caso si procede utilizzando il solito metodo della scomposizione in fattori oppure, se ciò non è possibile, la regola di De L Hopital (cfr. capitolo sulle derivate). f ( ) e g( ) f ( ) g ( ) Scomponendo si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) e g( ) ( ) f f ( ) g( ) ( ) ( ) ) Per tale forma di indecisione occorre distinguere i seguenti tre casi: a) il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso grado; il ite è finito ed è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo b ) il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore; il ite è infinito (± a seconda dei casi) g) il grado del numeratore è minore di quello del denominatore; il ite è finito e vale sempre zero, indipendentemente dal caso in cui ci si trova ESEMPI a) f ( ) e g( ) 5 f ( ) g( ) 5

22 b) f ( ) 5 e g( ) 7 f ( ) g( ) 5 7 c) f ( ) e g( ) 5 7 f ( ) g( ) 5 7 5) Tale forma indeterminata ricorre nel calcolo dei iti di funzioni del tipo [ ( )] f g ( ). Per einare l indeterminazione, quindi, si utilizza l identità logaritmica a e log a che ci consente di scrivere: [ f ( ) ] g( ) g( ) log f ( ) e f ( ) e g( ) e e [ ] g( ) log ( log ) Risulta: ( log) log (cfr. capitolo sulle derivate) Dunque: [ f ] ( ) g( ) e

23 6) Anche questa forma di indecisione si presenta nel calcolo dei iti di funzioni del tipo [ ( )] procede, pertanto, come al punto 5). f g ( ). Si f ( ) e g( ) g( ) ( ) e [ f ] Risulta: log log e log log (cfr. capitolo sulle derivate) Dunque: [ f ] ( ) g( ) e 7) Come le precedenti anche tale forma di indeterminazione ricorre nel calcolo dei iti di funzioni del tipo [ ( )] f g ( ). Pertanto si procede come ai punti 5) e 6). f ( ) 5 e g( ) log( 5 ) log( ) ( ) f e e 5 g( ) [ ] ( 5 ) Risulta: log( ) log ( 5 ) 5 Dunque: [ f ] ( ) g( ) e

24 Osservazione: per le funzioni trascendenti del tipo a (a > ), n (n > ), log a (a > ) vale la seguente gerarchia tra gli infiniti: esponenziale-elevamento a potenza-logaritmica cioè una funzione esponenziale tende all infinito più velocemente rispetto ad una potenza che, a sua volta, tende all infinito più velocemente rispetto ad una funzione logaritmica. ESEMPI a) b) log c) log Riportiamo ora qui di seguito alcuni LIMITI NOTEVOLI ) sin ) ± e dove con e si indica il numero di Neper, compreso tra e a ) log a ) cos

25 ESERCIZI PROPOSTI Calcolare i seguenti iti immediati (-8) dopo aver analizzato gli esempi a)-i): a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) d) e) ( ) ( ) ( ) 8 f) ( ) ( ) ± 5 6 ± g) ( ) ( ) ± ± ± h) i) π 6 sin tg π sin π π tg tg ) ( ); ( ) ) ( 7 ) ; ( a a ) a ) ( ) ; ( ) [; ] [; a ] 5 [9; 9] ) ; 6 [; ] 5) ; ; 5

26 6) 7) 6 9 ; 5 6 ; 5 ± 5 8) ; [; ] [; ] 5 ; 9) ; [; ] ) 6 : 6 ; ) ; 5 ; ) ; [ ; ] ) ; [ ; ] 5 6 ) ; 5) ( sin cos) ; ( sin cos) π 6) ( ) 7) ( ) 8) π 5 ; ; π cos cos sin cos 7 ; 5 sin sin 9) ; cos π cos π [; ] [ ; ] [; ] ; ; [; ] ) π tg ; π tg [ ; ] ) tg 5 ; ( tg ) π [5; ] 6

27 ) ( sin cos) ; ( cos sin) π π 6 ; ) π sin cos sin ; π cos π ; ) sin cos 5) π e sincos ; ( e ) ; ( e log) 6) ln( sin) ; ( tg) π π [i; ] [; ] [ ; ] 7) ( e ) 5 ; [ ; ] 8) e ; e ln log cos 9) ln ; e π 5tg cos ) ; ln cos ) log log ( 5 ) ; log( sin) π [ ; ] [; ] [; ] [; ] ) log log log ( ) ; a log( a) [ ; ] ) ; log log ( ) [ ; ] ) log e ; e log 5) log ; log( ) [ ; ] [ ; ] 6) sin log ; ( logsin) 7) log ( ) ; log( ) [; ] [; ] 7

28 8) log log ; log( ) [; ] Calcolare i seguenti iti di funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma indeterminata (-5): a) b) c) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) d) 6 ( 6) ( ) ( ) ( 6) ( ) e) ( 6) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 9 [ ] ( ) ( ) sin sin sin cos f) cos tg sin sin cos ( ) ( ) a a a a g) a a a a a a a a ( a ) ( a a ) a a a 8

29 ) ; [ ; ] a ) a a a ; [ ; ] ) ; 8 9 ; ) 6 a ; a a ; a 5) ; m m 5m 6 6) m m m ; 7) 6 9 ; 8) ( ) 5 5 ; m 5 m m ; m 7 ; [ ; ] ; ) ; b b b b b ; 6 b ) 6 ; 5 7 ; ) ; ; ) 6 9 ; ; ) 9 ; 9 8 ; ) ; 7 6 5; 9 5) ; 8 ; 9

30 6) ; 7 8 ; 7 7) 8 ; 6 ; 8) ; 5 ; 7 9) 6 5 ; ; 5 6 ) ; 6 5 5; 5 7 ) ; 5 ; ) 6 ; ; 5 ) 6 5 ; 6 9 [; ] ) ; 8 ; 5 5) ; ; 8 5 6) ; 6 5 ; 7) ; [; ] 5 7 8) 5 ; ; 6 9) ; ; 7 ) 9 ; 8 ;

31 a ) a a ; 6 ; ) ; 5 7 ; ) ; [ ; ] ) ; 5 6 [; ] 5) log ; e e e [ ; ] Calcolare i iti delle seguenti funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma indeterminata (-5): a) b) c)

32 6 d) 6 6 e) 8 6 ( ) ( ) ( ) 6 sin tg cos sin cos cos sin cos cos f) ( ) π π π π ) ; 5 5 ; ) ; 5 ; 5 ) ; [ ; ] ) ; 5 6 ; 5) 5 6 ; [ ; ]

33 6) ; 7 7 ; 5 5 7) ; 9 ; 5 9 8) 5 ; 8 9 [ ; ] 9) 5 ; 5 ; 5 ) ; ; ) 7 ; 5 5 ; 5 5 ) ; ; ) 9 6 ; 5 9 ; 5 7 ) 5) ; ; ; ; Calcolare i iti delle seguenti funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata (-): a) ( ) ( ) ( )

34 b) ( ) ( ) ( ) 7 c) ( ) 7 [ ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ] d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) f) cos sin cos cos cos ( cos) ( cos) cos cos cos cos sin ( cos ) cos cos ( cos) sin ( cos) sin cos sin sin π π π π π sin cos sin sin sin sin ( cos) ( ) ( cos ) sin ( cos) sin sin π ( sin) cos ( cos) sin ( cos) sin cos sin π

35 ) ( ); ( ) ) ( ) 5 ; ( ) ) ( ) ; ( ) ) ( 8 ) ; ( 6 8 ) 5) ( ) ( ) ( ) ; ( 8 ) 6) ( 6 ) ; ( ) 7) ( ) 8) ( ) ; ; ( ) ( ) 9) ( ) [ ; ] 5 ; 6 9 ; ; [ ] ; ( ) ) ( ) ; ( ) ) ( 7 ) ; ( ) ) ( ) ; log( ) log( ) [ ] ) log( ) log( ) ; [; ] ; ; ; 5 ; [; ] [ ] 5 6 ; [ log logsin ] 5 5 [; log 5] ; log Calcolare i iti delle funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata (-7): 8 8 a) ( ) ( ) ( ) 5

36 b) c) ( sin) sin sin cos cos cos cos sin cos cos ) ( ) 9 ; 5 ; ) ( ) ; ( ) ; ) ( ) ; [6; ] [ ] ) ( sin) tg ( cos) π tg [; ] 5) cos ; sin tg [; ] 6) tg ; tg sin [ tg tg ] 7) ( ) π ; π sin cos cos [; ] [ ; ] 6

37 Calcolare i seguenti iti di funzioni trigonometriche ricordando che ) ) ) α ) sin n ; sin sin ; sin sin tg ( α) ; α π ; sin sin k sin h sin ( π ) π sin5 tg sin : [n; ] ; k h α ; ; 5 5) 6) 7) 8) 9) tg ; cos [; ] π π tg5 tg5 ; tg 5; 5 cos ; cos ; ; [; ] cos cos tg5 sin tg ; tg ; ) cos ; cos sin ; 9 ) sinπ cosπ ; sin π ; ) ) 5 cos sin sin ; sin cos 5 sin cos π sin ( ) 7 ; ; [ ; ] cos ) cos ; π sin 5) sin cos 5 sin cos ; cos cos sin ( cos) ( cos) ; sin 7 ; 7

38 Dire a quali forme di indecisione conducono i seguenti iti e quindi calcolarli: a a b ) ; b b a ; a a ) ; a a ; a 6 b ) b b ) ; ( ) ; ( ) 5) ( ) 6) ( ) [ ] b b ; ; 7) 5 ; ( ) 8) ( ) ; ( ) 9) ( ) ) ( 9 9 ) 5 ; ) ( ) ; 7 ; ( ) ) ( ) 5 ; ) ( 9 6 ) ) ( 6 8 ) 5) ( ) ; 6 ; b b ; [ ; ] b ; 5 ; [ ; ] [ ; ] 5 ; ( ) 5 ; 8 ; 5 ; [; ] [; ] [; ] 7 ; 5 8

39 6) ; [ ] 7) log( ) log( ) ; ( ) ) ; 9) ) ; ( ) ) ( ) ; ( ) ; ; 5 [; ] [ ; ] ; ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; 5e 6e e e ; 5 5) e e e 6e 6) ( log 5 log ) ; log 5 log [ ] ; log( ) log( ) ; log ; log sin sin 7) ; [; ] tg 8) 9) ) tg ; cos sin ; π cos cos ( cos) sin sin cos cos sin cos sin ; π cos [ ; ] [ ; ] [; ] 9

40 ) sin cos sin ; π 5 sin cos cos ; ) π cos cos ; tg tg tg ;