Calcola il valore dei seguenti limiti precisando quando si tratta di una forma indeterminata di quale forma si tratta:

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1 Calcola il valore dei seguenti iti precisando quando si tratta di una forma indeterminata di quale forma si tratta: 2x 2 5x 3 1. x 3 x x 3 2x 2 5x 3 x non e una forma indeterminata, basta sostituire 3 e si ha = = = x 3 + x 2. x 4 3x e una forma indeterminata del tipo perche al numeratore abbiamo x3 + x = x3 = + e al denominatore abbiamo x4 3x = x4 = + = = 0 13 = 0 ma il denominatore e un infinito di ordine superiore e domina rispetto al numeratore e quindi l indeterminazione di eina facilmente x 3 + x x 4 3x = x 3 + x x4 3x = x3 x4 = x 3 x = 1 4 x = qui non abbiamo forme indeterminate, abbiamo una divisione per zero perche il x 3 + x 3 denominatore si annulla in corrispondenza di 3, l unico problema e capire se il ite destro sia + o. Basta analizzare il segno del denominatore considerando un valore che approssima 3 per eccesso (e un ite destro!), prendiamo ad esempio 3,1 ed avremo x 3 = 3,1 3 = 0,1 > 0 per cui il denominatore e positivo. Il numeratore e 5, sempre positivo ed i rapporto di due quantita positive e un numero positivo per cui potremo scrivere 5 x 3 + x 3 = ( ) 2 x 1 x 1 qui non abbiamo forme indeterminate, abbiamo una divisione per zero perche il denominatore si annulla in corrispondenza di 1, l unico problema e capire se il ite sia + o. Il numeratore e pari a 2, sempre positivo, il denominatore e un quadrato e quindi, indipendentemente dal segno della base sara sempre positivo. Il rapporto di due numeri positivi e positivo per cui avremo 2 ( ) 2 x 1 x 1 = + Si noti che sia il ite destro che quello sinistro danno sempre +

2 ( ) Non abbiamo forme indeterminate ed in questo caso avremo ( ) = 5. x3 + x + 2 x3 + x + 2 x3 = se molitplichiamo per se stesso una quantita negativa un numero dispari di volte otterremo un numero negativo x 4 5x 6. x 2 3x +1 e una forma indeterminata del tipo perche al numeratore abbiamo x 4 5x = x 4 = + e al denominatore abbiamo x2 3x +1 = x2 = + ma il numeratore e un infinito di ordine superiore e domina rispetto al denominatore e quindi l indeterminazione di eina facilmente x 4 5x x 2 3x +1 = x 4 5x x 4 x 2 3x +1 = x 2 = x 4 x 2 = x2 = x 5 qui non abbiamo forme indeterminate, abbiamo una divisione per zero perche il x 0 x 2 denominatore si annulla in corrispondenza di 0 ed il numeratore in corrispondenza di 0 vale -5, l unico problema e capire se il ite sia + o. Il numeratore per x=0 e pari a -5, sempre negativo, il denominatore e un quadrato e quindi, indipendentemente dal segno della base sara sempre positivo. Il rapporto tra un numero negativo ed un numero positivo e negativo per cui avremo 2x 5 = x 0 x 2 8. ( x 3 x 1) ( x 3 x 1) = Non abbiamo forme indeterminate ed in questo caso avremo x 3 = + se molitplichiamo per se stesso una quantita positiva un numero dispari di volte otterremo un numero positivo 9. 9x 3 7x + 5 2x 3 + 4x 2 1 e una forma indeterminata del tipo perche al numeratore abbiamo 9x 3 7x + 5 = 9x 3 = + e al denominatore abbiamo 2x 3 + 4x 2 1 = 2x 3 = + numeratore e denominatore hanno lo stesso ordine per cui il ite e il rapporto dei coefficienti di grado massimo al numeratore ed al denominatore

3 9x 3 7x + 5 2x 3 + 4x 2 1 = 9x 3 7x + 5 2x3 + 4x 2 1 = 9x 3 9x 3 = 2x3 2x = = 9 2 x x 2 x 2 4x + 4 in questo caso abbiamo una forma indeterminata 0 perche il numeratore si 0 annulla per x=2 e stessa cosa fa il denominatore x 2 4x + 4 = = = 0 il denominatore e un quadrato di binomio, abbiamo infatti x 2 4x + 4 = (x 2) 2 per cui l argomento del ite si semplifica x 2 x 2 4x + 4 = x 2 (x 2) = 1 2 x 2 e quindi avremo x 2 x 2 x 2 4x + 4 = x 2 1 x 2 il ite sara quindi, in particolare sara + nel caso di ite destro (denominatore positivo) e nel caso di ite sinistro (denominatore negativo). x 2 3x 11. x 0 x 2 7x in questo caso abbiamo una forma indeterminata 0 perche il numeratore si annulla 0 per x=0 e stessa cosa fa il denominatore. Se semplifichiamo la x al numeratore e la x al denominatore avremo x 2 3x x 2 7x = x 3 x 7 e quindi il ite sara x 0 x 2 3x x 2 7x = x 0 x 3 x 7 = 3 7

4 1. Determina il dominio delle seguenti funzioni dopo averle classificate: (esercizio per il debito del trimestre) a) a) D = 7 6 3x 2x + 3x y = b) y = 3x7 2x 6 + 3x 5 5x c) y = 2 x + 4 b) D = in questo caso abbiamo che il denominatore si annulla per x = 0 ma se eseguiamo il ite in corrispondenza di quel valore avremo 3x 7 2x 6 + 3x 3x 6 2x = = 3 x 0 5x x e quindi in corrispondenza di quel valore la funzione e definita per cui il dominio e tutta la retta reale. c) D = {x x 2} la spiegazione e semplice, l argomento della radice quadrata deve essere un numero nonnegativo per cui 2x ; 2x 4 ; x 2 ; x 2 2. Dati grafici delle seguenti funzioni completa (esercizio per il debito del trimestre) - dominio: -codominio: - f(0)=0 - f(3)=2,5 - f(-3)=non definita - la funzione interseca gli assi? SI se sì nei punti di coordinate ( 0; 0) - f(x)>0 per x appartenente all intervallo: (, 3) (0,+ ) - f(x)<0 per x appartenente all intervallo: ( 3,0) -f(x)=0 nei punti x=0 - la funzione è crescente per x appartenente all intervallo: (, 3) ( 2,3) - la funzione è decrescente per x appartenente all intervallo: ( 3, 2) (3, + ) - la funzione ha funzione ha asintoti: orizzontali di equazione: y=1 e y=0 verticali di equazione: NESSUNO obliqui di equazione: NESSUNO

5 3a) f (x) = + f (x) = + x 2 f (x) = f (x) = + + x 2 3b) f (x) = f (x) = + f (x) = + x 2 x 2 + x 2 f (x) = f (x) = f (x) = + + x 2

6 Calcola il valore dei seguenti iti: x 2 8x = = = = 0 x 3 x = 0 2. x 3 5x + 7 x 2 2 = x3 5x + 7 x2 2 = x3 x2 = x 3 x 2 = x = 3 3. x 2 + x 2 = + (e ite destro e x-2 e positivo x pari a 2 per eccesso) 4. ( x 3) = + 2 (il denominatore e un quadrato ed e sempre positivo) x 3 5 x 2 + 5x x 3 2x + 3 = x2 + 5x +1 x3 2x + 3 = x2 x3 = 1 x = 0 6. ( x 3 + x +1) = x 3 = (potenza dispari con base negativa) 3x 2 7. = 3x 2 x 0 = 2 x 0 x 3 x 3 x = 2 3 x 0 x = 3 x 0 x 0 (e nel caso di ite destro e + nel caso del ite sinistro) x 2 3x 8. x 3 x 2 10x + 21 = x(x 3) x 3 x 2 10x + 21 = x(x 3) x 3 (x 7)(x 3) = x x 3 (x 7) = 3 (3 7) = ( x 2 x 5) = x 2 = + 3x 3 5x x 3 + 3x 2 3 = 3x3 5x + 2 5x3 + 3x 2 3 = 3x3 3x 3 = 5x3 5x = = 3 5 x x 3 x 2 6x + 9 = x 3 x 3 (x 3) = 1 2 x 3 (x 3) = (e + nel caso di ite destro e nel caso del ite sinistro) x 2 5x 12. x 0 x 2 2x = x(x 5) x 0 x(x 2) = (x 5) x 0 (x 2) = 5 2

7 1. Rappresenta graficamente i iti 2), 3), 5), 7), 8) e, per essi, indica le equazioni degli eventuali asintoti orizzontali e verticali. 2. Dai la definizione di funzione continua in un punto. Una funzione f: D -> R e continua in un punto x 0 del dominio D se il ite destro f (x) + x x 0 ed il ite sinistro f (x) x x 0 coincidono 3. Calcola il valore dei iti indicati, leggendo il grafico:

8 PUNTEGGI: 3.5: 1.5; 2; 2. Voto minimo: 1 Voto massimo: 10.