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1 Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora f non ha altri iti per 0. La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag. 92 del libro di testo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi sui iti cap4a.pdf 1

2 Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista f() = l R. Se l > 0, allora esiste un intorno I( 0 ) del 0 punto 0, tale che f() > 0 per ogni I( 0 )\{ 0 }. y l I( 0 ) 0 La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag del libro di testo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi sui iti cap4a.pdf 2

3 Corollario al teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista f() = l R e che esista un intorno I( 0 ) del punto 0, 0 tale che f() 0 per ogni I( 0 )\{ 0 }. Allora l 0. y l I( 0 ) 0 La dimostrazione è svolta a lezione. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi sui iti cap4a.pdf 3

4 Limiti delle funzioni elementari Ricordando i grafici delle funzioni elementari abbiamo: c = c c = c (c costante) + = 2 = + 3 = { se n è disp. n = + se n è pari. { 0 se α > 0 = 0 +α + se α < 0 = = = + + n = + + α = { + se α > 0 0 se α < 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti delle funzioni elementari cap4a.pdf 4

5 Limiti delle funzioni elementari 0 +log() = e = 0 sin() = cos() = tan() = log() = e = + sin() = + cos() = + tan() = + c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti delle funzioni elementari cap4a.pdf 5

6 Operazioni con i simboli + e Ricordiamo che R = { } R { } è detta retta reale estesa. Definiamo le operazioni su R. Immaginiamo che gli operandi di queste operazioni siano i risultati del calcolo di certi iti. Somma Prodotto +(+ ) = + +( ) = R (+ )+(+ ) = + ( )+( ) = (+ ) = +, ( ) = R + (+ ) =, ( ) = + R (+ ) (+ ) = +, ( ) ( ) = +, (+ ) ( ) = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 6

7 Divisione + = = 0, + = +, + =, 0 R = R + = + R = R\{0} Non sono definite le seguenti operazioni: (+ )+( ), ± (± ) 0, ±, 0 0 0, 0 0, 1 Sono dette forme indeterminate perchè il risultato non è sempre lo stesso. Esse devono essere indagate e risolte caso per caso, con opportune regole. Ad esempio, (+ ) +( ) potrebbe dare come risultato l R, oppure +, oppure, a seconda di cosa rappresentano i vari infiniti. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 7

8 Algebra dei iti Teorema. Se f() = l 1 R e g() = l 2 R, allora, 0 0 quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha (f()+g()) = f()+ g() = l 1 +l (f() g()) = f() g() = l 1 l (f() g()) = ( f()) ( g()) = l 1 l f() f() 0 g() = 0 g() = l 1 (g() 0, I( 0 )\{ 0 }) l 2 0 Es. + ( 2+ 1 ) 1 = = 2+ 1 = 2+0 = 2 + c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 8

9 Esempi di forme indeterminate Vediamo se possiamo applicare il teorema dell algebra dei iti. Calcoliamo (supponendo di poter applicare l algebra dei iti) 2 1? + (2 1) + 1 = = + +3 ( +3) + +3 = + + =forma indeterminata + Quindi l algebra dei iti, da sola, NON permette di risolvere il ite Vediamo un secondo ite: 2 +2 ( 2 +2)? = ( ) = 0 =forma indeterminata 0 Anche qui l algebra dei iti, da sola, NON dà alcun aiuto. Vediamo come risolvere queste forme ideterminate c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 9

10 Forme indeterminate + + (3 2 +1) = + 3 (2) = + +1 forma indeterminata Devo procedere in altro modo: [ ( + (3 2 +1) = )] ( ) ( 3 = ) 3 = + (1 0+0) = + risultato corretto In un polinomio, quando +, prevale sempre il monomio di grado massimo: + (3 2 +1) = + 3 = + + ( ) = + ( 43 ) = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 10

11 Forme indeterminate generate da rapporti di polinomi Es Lavoro come prima, sia sul numeratore che sul denominatore = = 2 + = = +2 4 = 2 = = = = = +2 2 = 2 1 = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 11

12 Forme indeterminate 0 generate da rapporti di polinomi 0 Es = In questo caso si raccoglie al numeratore ed al denominatore la potenza minima, si semplifica e poi si applica l algebra dei iti = 0 Es = ( +2) (1+ 2 ) = = 2 4 (1 2) = =. ( 4) = (1 2) = = ( 4) 0 2 (1 2) = (1 2) = 4 0 = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Algebra dei iti cap4a.pdf 12

13 Primo Teorema del confronto. Supponiamo che f ammetta ite l 1 R per 0 e la funzione g ammetta ite l 2 R per 0. Se esiste un intorno I( 0 ) di 0 tale che f() g() per ogni I( 0 )\{ 0 }, allora l 1 l 2. y l 2 l 1 I( 0 ) 0 La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag. 94 del libro di testo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi del confronto cap4a.pdf 13

14 Secondo Teorema del confronto. Siano date tre funzioni: f, g e h e supponiamo che esistano e siano uguali i iti f() = h() = l. 0 0 Se esiste un intorno I( 0 ) in cui siano definite le tre funzioni, tranne al più nel punto 0, tale che f() g() h() I( 0 )\{ 0 }, allora si ha 0 g() = l. y h() g() l 0 f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi del confronto cap4a.pdf 14

15 Funzioni itate Sia f : R R, con dominio dom(f) R. Def. Diciamo che f è itata se il suo insieme immagine im(f) è un insieme itato in R. Def. Diciamo che f è itata inferiormente se il suo insieme immagine im(f) è un insieme itato inferiormente in R. Def. Diciamo che f è itata superiormente se il suo insieme immagine im(f) è un insieme itato superiormente in R. Esempi. f() = sin(), g() = cos(), h() = arctan() sono funzioni itate. ( Infatti im(f) = im(g) = [ 1,1], im(h) = π 2, π ) sono tutti insiemi itati 2 f() = sin() g() = cos() h() = arctan() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Funzioni itate cap4a.pdf 15

16 Esempi di funzioni NON itate. f() = e, è solo itata inferiormente, im(f) = R + g() = log() non è itata, im(g) = R, h() = 2 è solo itata superiormente, im(h) = R {0} f() = e g() = log() h() = 2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Funzioni itate cap4a.pdf 16

17 Sia A dom(f) e B = f(a) (l immagine di A attraverso f). Def. Diciamo che f è itata su A se B è un insieme itato in R. y y B B A A 2 f è itata su A 1 = (1,5). B 1 = (0.2,2.8) è un insieme itato. f non è itata su A 2 = (0,2). Si ha 0 f() = + e B 2 = (1.5,+ ) non è un insieme itato. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Funzioni itate cap4a.pdf 17

18 Funzioni itate (definizione equivalente) Def. Una funzione f è itata in un intorno I( 0 ) del punto 0, se esiste una costante C > 0 tale che f() C, I( 0 ). y y f(i( 0 )) f(i( 0 )) C 0 = 3 0 = 0 I( 0 ) I( 0 ) f è itata nell intorno I(3) ma non è itata nell intorno I(0) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Funzioni itate cap4a.pdf 18

19 OSSERVAZIONE Dire che f è itata nell intorno I( 0 ) NON vuole dire che esiste 0 f() Esempio. Sia f() = sin(). L insieme immagine di f è imf = [ 1,1] è un insieme itato (ammette sia maggioranti che minoranti), quindi f è itata su tutto il suo dominio, cioè su R. Consideriamo anche la seconda definizione data. Abbiamo 1 f() 1 R, quindi possiamo dire che f() C R con C = 1 (vedi def. a pag. 13). Quindi f è itata in un intorno di 0 = +. Tuttavia + f() Infatti f continua a oscillare e la definizione di ite non è soddisfatta per alcun valore di l. (si vedano pag di cap3a.pdf). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Funzioni itate cap4a.pdf 19

20 Corollario al II thm del confronto Def. Se 0 g() = 0, si dice che g è infinitesima per 0. Teorema. Sia f una funzione itata in un intorno di 0 e sia g una funzione infinitesima per 0. Allora 0 (f()g()) = 0, ovvero la funzione prodotto fg è infinitesima per 0. Es. + sin(). f() = sin() è itata: sin() 1 e g() = 1 sin() g() = 0. Allora = è tale che c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Teoremi del confronto cap4a.pdf 20

21 sin() Limite fondamentale 0 Dim. 1 P T = 1 Lavoro con 0, osservo che f() = sin() è pari. Se l angolo POA = allora l arco AP è lungo, e A( OPA) = 2. O H A Infatti AP: 2πr = : 2π, AP= r = ; A( OPA) : πr 2 = : 2π, A( OPA) = 2 A( POA) = e PH OA 2 = sin(), A( TOA) = TA OA = tan() A( POA) A( OPA) A( TOA) ovvero sin() 2 2 tan(). 2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Primo ite fondamentale cap4a.pdf 21

22 Moltiplicando sin() 2 2 tan() 2 per 2 sin() si ha e invertendo il tutto: 1 sin() 1 cos() cos() sin() 1. Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere a 0: cos() = 1, sin() 1 = 1 e quindi = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Primo ite fondamentale cap4a.pdf 22

23 Riferimenti bibliografici Canuto-Tabacco: Sect , 4.1.2, Esercizi Canuto Tabacco: Es. 1, 2, 3 del Cap. 4. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Bibliografia cap4a.pdf 23

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