Grafico delle funzioni elementari

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Muzio Massaro
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1 Grafico delle funzioni elementari Funzione lineare y = m + q m, q R C.E. R Non Limitata

2 Funzione valore assoluto y= C.E. R Limitata inferiormente in = 3 Funzione potenza y = n, n N, pari C.E. R Limitata inferiormente da = Non itata superiormente 4

3 Funzione potenza y= n, n N, dispari C.E. R Non itata, strett. crescente 5 Funzione potenza y= α, α R α= α> α< C.E.: R: Limitata inferiormente da = Non itata superiormente Strett. crescente 6 3

4 Funzione potenza y = m n, m, n Z Funzione esponenziale y = a C.E. R Limitata inferiormente, strett. crescente se a>, Strett. decrescente se <a< 8 4

5 Funzione logaritmo y = log a C.E. > Non itata, strett. crescente se a>, Strett. decrescente se <a< 9 Le coniche: la circonferenza ( ) +(y y ) = r + y = r (, y ) 5

6 Le coniche: l ellisse ( ) a + (y y ) b = a + y b = (, y ) Le coniche: l iperbole a - y b = 6

7 Le coniche: l iperbole equilatera y = k k < k > 3 Le coniche: la parabola y = a + b + c a > > 4 7

8 Le funzioni trigonometriche Funzioni trigonometriche elementari: y=sin, y=cos, y=tg, y=cotg Relazioni fondamentali: (sin ) + (cos ) =, tg = sin cos, cotg = cos sin 5 Le funzioni trigonometriche cotgα sinα tgα α cosα 6 8

9 Le funzioni trigonometriche y = sin C.E. R Immagine: [-,] Periodo=π 7 Le funzioni trigonometriche y = cos C.E. R Immagine:[-,] Periodo=π 8 9

10 Le funzioni trigonometriche y=tg C.E. R\ π + kπ Non Limitata Periodo=π 9 Le funzioni trigonometriche y=cotg C.E. R\ π + kπ Non Limitata Periodo=π

11 Le funzioni trigonometriche inverse la funzione arcoseno y=arcsin C.E. R: immagine:[ π, π ] Le funzioni trigonometriche inverse la funzione arcocoseno y=arcos C.E. R: Immagine: [, π]

12 Le funzioni trigonometriche inverse la funzione arcotangente y=arctg C.E. R Immagine: [ π,π ] 3 Operazioni sui grafici: traslazione sull asse X f(+k) f() f(- k) 4

13 Operazioni sui grafici: traslazione sull asse Y f()+k f() f()-k 5 Operazioni sui grafici: contrazione e dilatazione in direzione verticale y=kf() k > (dilatazione) f() k < (contrazione) 6 3

14 Operazioni sui grafici: compressione e dilatazione in direzione orizzontale y=f(k) k > (compressione) k < (dilatazione) 7 Operazioni sui grafici: y= f() y= ln() y=ln() 8 4

15 sin C.E.=R\ f(),,998,., Def. sia f() definita in A R, e sia un punto di accumulazione per A. Si dice che f() ha ite per che tende a, se : I f()- ε f() ε - δ (, ) ε δ ε escluso al più 5

16 In simboli f ( ) f ( ) y U f() l O V 6

17 Def. si definisce ite destro di f() per che tende a + : se f ( ) : f() - (, ) Def. si definisce ite sinistro di f() per che tende a - : se : f() - f ( ) (, ) 7

18 Teorema (unicità del ite) se f ( ) è unico Dimostrazione. Per assurdo: supponiamo che : con No Dimostrazione f ( ) in I(, f ( ) in I(,, ) ), Fissato f ( ) f ( ) No Dimostrazione f ) f ( ) ( in I(, ), min(, Assurdo! ) 8

19 Es. y C.E.=R\ ite Def. Sia f() definita in A R, e sia un punto di accumulazione per A. Si dice che f() ha ite + per che tende a, se M, : I(, ) f() M M M f ( ) 9

20 Def. Sia f() definita in A R, e sia un punto di accumulazione per A. Si dice che f() ha ite - per che tende a, se M, : I(, ) risulta M M f() M f ( ) Def. Asintoto verticale Se f ( ) Allora la retta verticale si chiama Asintoto verticale

21 asintoto verticale Def. Sia f() definita in A R, si dice che f() ha ite, per che tende a +, se:, K : I( K, ) risulta f()-l ε f ( )

22 Def. Asintoto orizzontale Se f ( ) Allora la retta orizzontale y si chiama Asintoto orizzontale arctg y asintoto orizz.

23 Def. Sia f() definita in A R, si dice che f() ha ite +, per che tende a + se: M, K : ( K, ) risulta M f()( M, ) M f ( ) Teorema (algebra dei iti) Se: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ), g( ), g( ) 3

24 Convenzioni con a, a a, a ( ) b, b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Convenzioni con a a Forme Indeterminate,,,, 4

25 a,, a a a,, a a Teorema del confronto Siano f(), f (), f () tre funzioni definite in sia un punto di accumulazione per A e f( ) f ( ) f( ) A R Se Allora f( ) f( ) f ( ) 5

26 Dimostrazione Se f ( ) ( ) allora per definizione di ite: f : f ( ) I, ) ( : f ( ) I, ) ( f ) f ( ) f ( ) ( I(, ), min(, ) Casi particolari di Teorema Se ; per I(,) es. f ( ) sin f f ( ) g( ) g( ) M ( ) g( ) 6

27 Dimostrazione. Per il teorema del confronto f ( ) g( ) M f ( ) Es. sin Limite di funzione composta Siano g:a B e f :B R : g( ) con = f(y ) y e y y f ( ) f ( g( )) 7

28 Limiti Notevoli sen() tg() cos( ) log a ( ) log a e e a log e a = misura dell angolo in radianti PH=sin QA=tg sin area( AO P) area( AOP) area( AOQ) sin tg sin cos H 8

29 9 Es. ) cos ( ) cos )( cos ( cos.. arctg e e e e

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