3 LIMITI. 3.1 Operazioni in R {± } x R x + (+ ) = + x + ( ) = x + = 0 x. x R = 0. x > 0 x (+ ) = + x ( ) = x < 0 x (+ ) = x ( ) = = x.

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Pasquale Arturo Longo
6 anni fa
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1 3 LIMITI 3. Operazioni in R {± } R + (+ ) = + + ( ) = R + = 0 = 0 > 0 (+ ) = + ( ) = < 0 (+ ) = ( ) = + > = + 0 = < = 0 = + (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = (+ ) (+ ) = + (+ ) ( ) = Non è possibile dare una definizione nei seguenti casi: ( ) + (+ ); 0 (± ); ± ± ;

2 3.2 DEFINIZIONE DI LIMITE Definizione 3. Siano c (a, b) e f : (a, b) \ {c} R.. Si dice che il ite di f() per che tende a c è uguale ad l R e si scrive f() = l R c se ε > 0 δ > 0 tale che f() l < ε (c δ, c + δ) \ {c}. 2. Si dice che il ite di f() per che tende a c è uguale a + e si scrive f() = + c se M > 0 δ > 0 tale che f() > M (c δ, c + δ) \ {c}. 3. Si dice che il ite di f() per che tende a c è uguale a e si scrive f() = c se M > 0 δ > 0 tale che f() < M (c δ, c + δ) \ {c}. Esempio 3.2 Sia Verifichiamo che f() =, R \ {0}. 2 f() = +. 0 Per calcolare il ite sostituiamo 0 alla. Allora otteniamo: 0 2 = 0 2 = 0 + = +. Fissato un qualsiasi M > 0 possiamo prendere δ = M e otteniamo: f() > M ( ) M, M. = 2 29

3 Esempio 3.3 Sia Abbiamo f() = + e f() = f() =, R \ {0}. = Definizione 3.4 Limite destro Sia f : (a, b) \ {c} R. Si dice che il ite di f() per che tende ac da destra è uguale a + e si scrive c + f() = + se M > 0 δ > 0 tale che f() > M (c, c + δ) \ {c}. Analoghe definizioni valgono per il ite sinistro e per i casi in cui il valore del ite è finito oppure è. Definizione 3.5. Sia f : (a, b) \ {c} R.. Sia f : (a, + ) \ {c} R. Si dice che il ite di f() per che tende a + è uguale ad l R e si scrive f() = l + se ε > 0 M > 0 tale che f() l < ε > M. 2. Sia f : (, b) \ {c} R. Si dice che il ite di f() per che tende a è uguale ad l R e si scrive f() = l se ε > 0 M > 0 tale che f() l < ε < M. Esempio 3.6 Sia f() =, R \ {0}. 30

4 Abbiamo + f() = + = 0 e f() = = 0. Definizione Sia f : (a, + ) \ {c} R. Si dice che il ite di f() per che tende a + è uguale a + ( ) e si scrive se M > 0 N > 0 tale che f() = + ( ) + f() > M (f() < M) > N. 2. Sia f : (, b) \ {c} R. Si dice che il ite di f() per che tende a è uguale a + ( ) e si scrive se M > 0 N > 0 tale che f() = + ( ) f() > M (f() < M) < N. Esempio 3.8 Sia f() = 2, R. Allora f() = = + e f() = ( )2 = =. = 2 Teorema 3.9 (Unicità del ite) Se una funzione ammette ite in un punto, il ite è unico. Dimostrazione. Dimostriamo il teorema nel caso di una funzione f : (a, b) \ {c} R che ammette ite in c (a, b) e supponiamo che esistano l, l 2 R tali che con l l 2. f() = l e f() = l 2 c c Dalla definizione di ite si ha che per ogni ε > 0 esistono δ, δ 2 > 0 tali che f() l < ε (c δ, c + δ ) \ {c} e f() l 2 < ε (c δ 2, c + δ 2 ){c}. 3

5 Sia δ = min{δ, δ 2 }. Applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo l 2 l f() l + f() l 2 < 2ε (c δ, c + δ){c}. Essendo ε piccolo a piacere, deve essere l 2 = l. 3.3 ASINTOTI Definizione 3.0 Sia a < b + e sia f : (a, b) \ {c} R. Si dice che la funzione f ha un asintoto orizzontale di equazione se f() = l oppure f() = l. + = l Esempio 3. La funzione f() = +, R, ha un asintoto orizzontale di equazione =. + 2 Infatti f() = ± = 0 + =. = = Definizione 3.2 Sia c R e sia f : (a, b)\{c} R. Si dice che la funzione f ha un asintoto verticale di equazione = c se c + f() = + oppure c + f() = oppure c f() = + oppure c f() =. 32

6 Esempio 3.3 La funzione f() =, R \ {0} + ha un asintoto verticale di equazione = e un asintoto orizzontale di equazione = 0. Infatti f() = +, f() =. f() = 0, + ± = = + Definizione 3.4 Sia a < b + e sia f : (a, b) \ {c} R. Si dice che la funzione f ha un asintoto obliquo per che tende a + di equazione = m + q se e f() + = m R \ {0} f() m = q R. + Si ha una definizione analoga per l asintoto obliquo per che tende a. Esempio 3.5 La funzione f() = +, R \ {0} ha un asintoto obliquo di equazione =. Infatti m = ± f() = ± 2 + = e q = + f() m = + + = 0. = + = 33

7 3.4 ALGEBRA DEI LIMITI Definizione 3.6 Le seguenti espressioni sono dette forme indeterminate: + ; 0 (± ); ± ± ; 0 0 ; ± ; 0 0 ; (+ ) 0. Teorema 3.7 (Algebra dei iti) Siano f, g : (a, b) R, e β, γ R. Supponiamo che a + f() = β e a + g() = γ. Valgono le seguenti implicazioni: (i) se β + γ non è una forma indeterminata, allora (ii) se β γ non è una forma indeterminata, allora f() + g() = β + γ; a + a + f()g() = β γ; (iii) se γ 0 e β/γ non è una forma indeterminata, allora (iv) se β γ non è una forma indeterminata, allora f() a + g() = β γ ; ( ) g() f() = β γ. a + Dimostrazione. Ricordiamo che a per ogni funzione ϕ : (a, b) R. a ϕ() = l R ϕ() l = 0, + + Se β, γ R le affermazioni (i), (ii), (iii) seguono dalla definizione di ite e dalle seguenti disuguaglianze f() + g() (β + γ) f() β + g() γ ; f()g() βγ = (f() β)g() + β(g() γ) f() β g() + β g() γ ; 34

8 f() g() β γ = ( ) f() β γ + β(γ g()) g()γ f() β γ ) + β g() γ. g()γ I casi in cui β e γ non sono entrambi finiti si trattano in maniera analoga. Esempio 3.8 (Forma indeterminata: + ) Abbiamo Infatti, per +, 2 + = +. ( 2 + = 2 + ) ( + + ) = + ( + 0) = + Esempio 3.9 (Forma indeterminata: + ) Abbiamo Infatti, per +, 2 + = = = + + = ) ( Esempio 3.20 (Forma indeterminata: + ) Abbiamo Infatti, per +, = = = 3 2 ( + + ) +. 35

9 Esempio 3.2 (Forma indeterminata: + ) Abbiamo Infatti, per +, 2 + = = = ) 0. ( + + Esempio 3.22 Forma indeterminata: ± ±. =. Infatti, per +, = ( + = +. Infatti, per +, + + ) = =. + = + = = + = 0. Infatti, per +, + ( + ) 2 ( + ) 2 = 2 ( + = )2 ( + )2 + ( + 0) 2 = + = CONFRONTO TRA INFINITI Il risultato del seguente teorema segue dal Teorema di de l Hôpital (Teorema 5.23) che enunceremo nella Sezione 5. Teorema 3.23 Siano a > 0, a e β, γ > 0. Allora β + a = 0 e (log a ) γ + β = 0 Come conseguenza immediata del Teorema 3.23 abbiamo: 36

10 (log a ) γ + b = 0, a, b > γ R. Infatti: + Infatti: + Infatti: + Infatti: + (log a ) γ b = + (log a ) γ a = +, a > β R. β a + β = = + β a 0 + = +. + b = 0 0 = 0 β = +, (log a ) γ a > β > 0, γ R. β + (log a ) γ = + (log a) γ = 0 + = +. β b = +, a, b > γ R. (log a ) γ + b (log a ) γ = + = b 0 + = + (log a) γ Esempio 3.24 Abbiamo + (log 2 ) ) ( + (log 2 )00 = + 3 ( + 3 ) = (log 2 ) = 0 = 0. ( ) 4 + log /2 4 + log / = + 2 ( + log /2 ) = = + = = t t t + 2 t == t + 2 t = = 0 t + t0 3 t = 0 ln = 0 + t + t ln t = lnt = 0 t + t 37

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