Funzioni continue. quando. se è continua x I.

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Mariangela Molinari
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1 Funzioni continue Definizione: f() si dice continua in 0 D f quando (*) 0 f () f ( 0 ) Definizione: f() si dice continua in I D f se è continua I. Avevamo già dato questa definizione parlando del f (). 0 Punti di discontinuità Un punto 0 (per il quale abbia senso calcolare f () cioè un punto di accumulazione (**) del 0 dominio) si dice punto di discontinuità per f() quando non si verifica la (*). Si possono avere tre tipi di discontinuità: Discontinuità di prima specie quando 0 f () l 0 + f () l con l l Si dice anche che la funzione ha un salto in 0. 8

2 (**) 0 è un punto di accumulazione quando posso avvicinarmi quanto voglio ad 0 da destra e/o da sinistra all interno del dominio di f(). Esempio: consideriamo per esempio f () < + Poiché f () e + f () la funzione ha in 0 una discontinuità di prima specie. Discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due iti (destro o sinistro) è infinito oppure non esiste. Esempi: ) f () tg π f () + f () π 0 è un punto di discontinuità di a specie + π ) f () 0 f () è un punto di discontinuità di a specie 83

3 3) ln( ) + specie. f () 0 è punto di discontinuità di a 4) ln 0 > 0 0 f () 0 ma 0 + f () 0 0 punto di discontinuità di specie. 5) f () sen f () non esiste (vedi cap. sui iti) e quindi 0 0 è un punto di discontinuità di specie. 0 Discontinuità di terza specie quando 0 f () l ma f () non è definita in 0 oppure f ( 0 ) l Questa specie di discontinuità viene anche detta discontinuità einabile perché se f () non è definita in 0 possiamo porre f ( 0 ) l oppure, se era già definita, cambiare la definizione di f () in 0 ponendo appunto f ( 0 ) l e rendendola così continua in 0. 84

4 Esempio f () ma ( ) Quindi f () ma f () 0 è un punto di discontinuità di 3 a specie. Nota: anche f () ha in 0 un punto di discontinuità di 3 a specie poiché f () (quindi il ite esiste ed è finito) ma la funzione non è definita in 0. Esercizi Studia i punti di discontinuità delle seguenti funzioni: ) ) 3) 4) e e [ ± [ [ 0 [ 0 discontinuità discontinuità discontinuità discontinuità 3 3 a a a a specie] specie] specie] specie] 5) [ discontinuità a specie]

5 Esempi di funzioni continue La funzione costante f () k è continua R Infatti qualunque sia 0 f () k ( f ( 0 )) 0 La funzione f () è continua R poiché 0 0 ( f ( 0 )) Le funzioni polinomiali f () a 0 + a + a a n n sono continue R Le funzioni razionali fratte f () N() D() a + a + a a n n b 0 + b + b b m sono m continue : D() 0 Le funzioni goniometriche y sen, y cos sono continue R mentre y tg è continua π + kπ La funzione esponenziale y a ( a > 0 a ) è continua R La funzione logaritmica y log a ( a > 0 a ) è continua > 0 86

6 I teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati) ) Se f () e g() sono funzioni continue in 0 allora ± g( ) g( ) ( se g( ) g( 0 ) 0) sono ancora funzioni continue in 0. (La dimostrazione si basa sulle operazioni con i iti ) ) Se g() è una funzione continua in 0 e f è continua in g( 0 ) allora f o g è continua in 0. 3) Se f () è una funzione continua in un intervallo I e strettamente crescente (o decrescente) in I allora la funzione f è continua in f (I) (immagine di I) Esempio: La funzione esponenziale y e è continua in R e strettamente crescente. La funzione logaritmo reali positivi). y ln è continua quando > 0 (infatti il codominio di y e sono i 87

7 4) Teorema di Weierstrass Se f () è continua in un intervallo chiuso e itato [ a, b] allora esistono il massimo assoluto M e il minimo assoluto m. Osservazione: se alcune ipotesi del teorema non sono verificate non è detto infatti che f () ammetta massimo e minimo assoluti. Se per esempio f () è continua su un intervallo non itato può non avere massimo e minimo assoluti (es. y ; y e ) Se la funzione è continua in ( a, b) (intervallo itato ma aperto) può non avere massimo e minimo assoluti. Esempio : + 0 < < In questo caso i valori e 3 sono estremo inferiore e superiore ma non appartenendo al codominio di f() non sono minimo e massimo assoluti. Se la funzione è definita in un intervallo chiuso e itato ma non è continua in tutti i suoi punti può non avere massimo e minimo assoluti. Esempio: < ( 0) Il minimo assoluto è m ma non c è massimo assoluto. 88

8 5) Teorema dei valori intermedi Se f () è una funzione continua in [ a, b] allora f () assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo assoluto. Per ogni m l M esiste almeno un [ a, b] : l 6) Teorema di esistenza degli zeri Se f () è continua in un intervallo I ed esistono, con < aventi immagini f ( ), f ( ) discordi allora esiste (almeno) un punto c compreso tra e tale che f ( c) 0 ( c si dice zero della funzione) f ( ), f ( ) di segno opposto < c < f ( c) 0 Infatti è intuitivo che per passare da P (per esempio sopra all asse ) a P (sotto all asse ) con un grafico continuo almeno una volta il grafico taglierà l asse. NOTA : Questo teorema è utilizzato per studiare l esistenza di soluzioni di un equazione 0 89

9 Esempio: utilizzando il teorema di esistenza degli zeri possiamo dimostrare che un equazione di 3 grado ammette sempre una soluzione reale. 3 Infatti risolvere l equazione a + b + c + d 0 significa trovare gli zeri di 3 a + b + c + d Consideriamo, per semplicità, a > 0 (se a fosse negativo basta cambiare segno ) e studiamo i iti di f () quando ±. Si ha + e + (sono forme indeterminate ma basta mettere in evidenza 3 ) Allora esisteranno < : f ( ) e f ( ) sono discordi (più precisamente f ( ) negativo e f ( ) positivo) Ma allora, per il teorema di esistenza degli zeri (la funzione è chiaramente continua in R ),esisterà 3 almeno un valore c, con < c < : f ( c) 0 e quindi l equazione a + b + c + d 0 ha almeno una soluzione reale. Osserviamo inoltre che l equazione di 3 grado o ha sola soluzione reale oppure ne ha tre (nella figura centrale due sono coincidenti) (più di 3 non può averne). 90

10 Esercizi Teoremi funzioni continue ) La funzione + ammette massimo e minimo assoluti in [, ]? Determina m ed M. m ; M 4 ) Si può applicare il teorema di Weierstrass alla funzione y nell intervallo [, ]? Perché? 3 3) L equazione ha (almeno) uno zero appartenente all intervallo [,]? Perché? *4) Studiare l equazione ln + 0 Per capire se l equazione ha soluzioni possiamo scrivere l equazione come ln e considerare che le soluzioni possono essere pensate come le ascisse dei punti di intersezione tra la curva y ln e la retta y. [ no ] [ si ] y ln y Quindi graficamente vediamo che c è una soluzione dell equazione poiché c è una intersezione tra i due grafici. Infatti considerando la funzione ln +, e e abbiamo: f ( ) f + < 0 e f ( ) f ( ) 0 + > 0 e e e quindi applicando il teorema di esistenza degli zeri c, < c < : f ( c) 0 e Nota: la soluzione approssimata dell equazione consiste nello stringere l intervallo, ) in cui si trova lo zero ( 9

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