Capitolo 3. Le funzioni elementari

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1 Capitolo 3 Le funzioni elementari Uno degli scopi di questo capitolo è lo studio delle funzioni reali di variabile reale, ossia funzioni che hanno come dominio un sottoinsieme di R e codominio R. Lo studio di questo tipo di funzioni è semplice perché sono rappresentabili graficamente nel piano cartesiano. Se f : A R R è una funzione allora il suo grafico è definito come Γ(f) = {(, ) R = f()}. Quando non viene specificato il dominio di una funzione si intende che esso coincida con il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione è definita. Questo sottoinsieme viene chiamato insieme di definizione. L uso del grafico è molto utile per intuire alcune proprietà delle funzioni che abbiamo visto nei capitoli precedenti. Prendiamo, ad esempio, una funzione = f() il cui grafico è il seguente La retta = 0 ha con il grafico di f tre intersezioni: ciò significa che a 0 corrispondono tre controimmagini. Quindi deduciamo che la funzione rappresentata non può essere iniettiva. Deduciamo la seguente osservazione: una funzione f reale di variabile reale è iniettiva se ogni retta orizzontale ha massimo un punto di intersezione con il grafico di f. Sempre seguendo la stessa strada possiamo dire che una funzione f reale di variabile reale è suriettiva se ogni retta orizzontale ha almeno un punto di intersezione con il grafico di f. Questo metodo è molto utile in una dimostrazione di tipo distruttivo, ovvero quando vogliamo mostrare che una funzione non è iniettiva o suriettiva. Introduciamo le seguenti nozioni. Sia f : (a, b) R R. Siano, due qualsiasi elementi di (a, b) tali che <. Allora diremo che: se f() > f() in (a, b) allora f è ivi strettamente decrescente; Intuire non vuol dire dimostrare: infatti le intuizioni possono portare a conclusioni corrette, ma solo la dimostrazione ci assicura che le nostre intuizioni sono corrette o sbagliate. 3

2 Capitolo 3 - Le funzioni elementari se f() < f() in (a, b) allora f è ivi strettamente crescente; se f() f() in (a, b) allora f è ivi decrescente; se f() f() in (a, b) allora f è ivi crescente. Nei primi due casi f si dice strettamente monotona, negli ultimi due si dice monotona. Esempio 3.. È chiaro che una funzione strettamente monotona è iniettiva, ma il viceversa non è vero. Se prendiamo infatti la funzione f : [0, ] R la cui legge è { [0, ) f() = 3 [, ] si vede subito che è iniettiva ma non monotona. Può essere utile alle volte capire se il grafico di una funzione possiede simmetrie rispetto agli assi del sistema di riferimento. Sia f : A R una funzione in cui per ogni A si ha che A. Allora f si dice pari se per ogni A abbiamo che f( ) = f(), mentre si dice dispari se per ogni A abbiamo che f( ) = f(). Una funzione si dice limitata se l insieme delle immagini è limitato. Si ha inoltre che una funzione f : R R è detta periodica di periodo T > 0 se f( + T ) = f() per ogni R. 3. Funzioni potenza con esponente intero positivo Si definisce funzione potenza con esponente intero positivo la funzione f : R R e legge f() = n, n N. Le proprietà di questa funzione dipendono dai valori che assume n: Se n = 0 allora si ha la funzione costante f() =. Se n è pari allora la funzione è non negativa, pari, decrescente per < 0, crescente per > 0. Se n è dispari allora la funzione è crescente, dispari, negativa per < 0, positiva per > 0. = = Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

3 3. Funzioni radice Funzioni radice La funzione radice è la funzione reale la cui legge è f() = n not = n, n N {0, }. Il dominio è R + se n è pari. Se n è dispari allora il dominio è R. Questa funzione è la funzione inversa della funzione potenza. Le proprietà di questa funzione dipendono dal valore che assume n: Se n è pari, la funzione è definita per 0, strettamente crescente e non negativa. Se n è dispari, la funzione è definita in R, strettamente crescente, negativa per < 0 e positiva per > = = Osservazione 3.. Dato il grafico di una funzione bigettiva = f(), come si ottiene il grafico dell inversa? Facciamo il seguente ragionamento. La funzione f si ottiene da f scambiando il ruolo del dominio e codominio, ovvero scambiando il ruolo di e. Dunque se = f() è invertibile, allora = f() è un espressione dell inversa da cui ricavando, se possibile, si avrebbe = f (). Nel grafico questo si traduce in una simmetria rispetto alla retta =. 3 = = Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.5

4 Capitolo 3 - Le funzioni elementari 3.3 Funzioni esponenziali La funzione esponenziale è la funzione reale la cui legge è f() = a, a > 0. Per a = la funzione è banalmente la funzione costante =. La funzione esponenziale è strettamente positiva e passante per il punto (0, ) per ogni valore di a > 0. Per a > 0 la funzione risulta essere strettamente crescente, mentre per 0 < a < è strettamente decrescente. a > < a < La funzione esponenziale con a è una funzione iniettiva ma non suriettiva. Senza applicare una restrizione al codominio non è invertibile. Per renderla invertibile dobbiamo restringere il codominio da R a R + {0}. La funzione inversa della funzione esponenziale si chiama funzione logaritmo e sarà oggetto di studio della prossima sezione. 3.4 Funzioni logaritmiche Consideriamo l equazione esponenziale elementare: a = b, a > 0, b > 0. Se b è potenza di a, la risoluzione dell equazione non presenta problemi: basta applicare le proprietà delle potenze. Se b non è potenza di a il problema non è risolubile utilizzando le proprietà delle potenze. Si potrebbe affermare che non esiste una soluzione! Ma questo non è vero Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

5 3.5 - Funzioni goniometriche Nel grafico abbiamo rappresentato = e la retta = 3. L ascissa del punto di intersezione fra le due curve è la soluzione di = 3. Le proprietà della funzione esponenziale, ed in particolare la sua bigettività, ci assicurano l esistenza ed unicità dell equazione. Per descrivere questa unica soluzione ci inventiamo una nuova funzione detta logaritmo. Siano a > 0, a e b > 0. Allora a = b = log a b. Dunque diremo che log a b è l esponente da dare ad a per ottenere b. Si definisce funzione logaritmo la funzione reale avente dominio R + {0}, codominio R e legge f() = log a con a strettamente positivo e diverso da. Dalla definizione di logaritmo si può notare che la funzione logaritmo ed esponenziale sono inverse. a > 0 < a < 3 3 Illustriamo le proprietà della funzione logaritmo per due casi distinti: Se a >, la funzione è strettamente crescente, negativa per 0 < <, positiva per >, nulla per =. Se 0 < a <, la funzione è strettamente decrescente, positiva per 0 < <, negativa per >, nulla per =. Indicheremo con ln la funzione logaritmo la cui base è il numero di Nepero. 3.5 Funzioni goniometriche 3.5. La misura degli angoli nel piano cartesiano In un piano cartesiano consideriamo la circonferenza centrata nell origine e raggio unitario. Come possiamo introdurre gli angoli 3 in un piano cartesiano? La costruzione non è dissimile da quella che si usa per la retta dei numeri reali. Si considera il semiasse positivo Se consideriamo la funzione esponenziale da R in R {0}. 3 Un angolo è la parte di piano compresa fra due semirette che hanno la stessa origine. Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.7

6 Capitolo 3 - Le funzioni elementari delle ascisse come angolo zero. Il senso antiorario è quello degli angoli positivi, mentre il senso orario è quello degli angoli negativi. In figura il raggio vettore OP definisce l angolo positivo α. Lo stesso raggio vettore OP definisce l angolo negativo β, ottenuto da α togliendo l angolo giro. Aggiungendo e togliendo un numero finito di volte l angolo giro da α, si può dedurre che lo stesso raggio vettore definisce infiniti angoli con ampiezza differente. P β O α Come misuriamo gli angoli? Esistono modi differenti. Un modo è l utilizzo del grado sessagesimale e del grado sessadecimale. Si dice che un angolo è ampio grado sessagesimale o sessadecimale se è la trecentosessantesima parte dell angolo giro. Per i gradi sessadecimali si utilizzano come ampiezze numeri reali con la virgola. Ad esempio un angolo che è ampio mezzo grado si scriverà come 0.5. Per i gradi sessagesimali invece si utilizzano oltre ai gradi interi, anche i gradi primi e secondi. Un grado primo (rispettivamente secondo) è la sessantesima parte di un grado (risp. secondo). Un angolo di ampiezza 0.5 è uguale ad un angolo ampio 30. Vi un problema con la misurazione in gradi: vi è una unità di misura. Nel calcolo infinitesimale questo può essere un problema. Allora si utilizza la misura in radianti. La misura in radianti è legata alla misura di archi di circonferenze. Consideriamo un angolo α che è angolo al centro di una circonferenza di raggio R. L angolo α misura radiante se sottende un arco uguale a R. Dunque se una circonferenza di raggio R è lunga πr, un angolo giro misura π radianti, un angolo piatto misura π radianti, un angolo retto misura π radianti. Se un angolo di 30 è la sesta parte dell angolo piatto, allora misurerà π radianti. Poiché un angolo di 6 60 è doppio di uno di 30, allora misurerà π. 3 Quindi, data la misura di un angolo in gradi sessadecimali, possiamo ottenere quella in radianti tramite la formula α rad = π 80 α Il seno e coseno goniometrico Preso un angolo α come in figura, definiamo il coseno e il seno di α come rispettivamente l ascissa e l ordinata del punto di intersezione del raggio vettore che definisce l angolo con la circonferenza goniometrica. 8Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

7 3.5 - Funzioni goniometriche α cos α sin α Come si può notare in figura, le funzioni seno e coseno hanno dominio R ed assumono tutti i valori compresi fra e. = sin = cos Un altra proprietà fondamentale di queste due funzioni è che sono periodiche di periodo π: sin α = sin(α + πk) cos α = cos(α + πk), k Z. Il seno e il coseno sono funzioni dispari e pari, rispettivamente La tangente goniometrica Preso un angolo α come in figura, definiamo la tangente di α come l ordinata del punto di intersezione del prolungamento del raggio vettore che definisce l angolo con la retta =. Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.9

8 Capitolo 3 - Le funzioni elementari α tan α Non è difficile mostrare che Teorema 3.3. tan α = sin α cos α. Dimostrazione. Consideriamo la seguente figura in cui rappresentiamo seno, coseno e tangente di un angolo α. sin α tan α α cos α Consideriamo i seguenti due triangoli rettangoli: Quello che ha come cateti il seno e coseno di α; Quello che ha come cateti la tangente di α e il raggio della circonferenza. Questi due triangoli sono simili perchè hanno angoli uguali: allora i lati omologhi stanno in proporzione. Si ricava quindi che tan α sin α = cos α tan α = sin α cos α. 30Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

9 3.6 - Funzioni goniometriche inverse Dalla definizione geometrica di tangente, e da quest ultimo teorema possiamo subito notare che in π e per tutti i multipli di π la funzione tangente non è definita. 4 3 = tan Un altra proprietà fondamentale della funzione tangente è che è periodica di periodo π: tan α = tan(α + πk), k Z. 3.6 Funzioni goniometriche inverse Le funzioni seno, coseno e tangente non sono invertibili nel loro dominio. Bisogna dunque procedere ad una opportuna restrizione del dominio e codominio. Per la funzione seno consideriamo come dominio l insieme dei numeri reali compresi fra π e π, e come codominio l insieme dei numeri reali compresi fra e. Per la funzione coseno consideriamo come dominio l insieme dei numeri reali compresi fra 0 e π, e come codominio l insieme dei numeri reali compresi fra e. Per la funzione tangente consideriamo come dominio l insieme dei numeri reali compresi fra π e π, e come codominio l insieme R. In questo modo le tre funzioni sono bigettive ed invertibili. Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.3

10 Capitolo 3 - Le funzioni elementari = asin 3 = acos = atan Esercizi Esercizio 3.. È data la funzione f : R R con f() =. Dal grafico di f dedurre se f è iniettiva, suriettiva, bigettiva. Esercizio 3.. Considera la funzione reale chiamata valore assoluto, avente legge: { 0 = < 0. In un piano cartesiano tracciare il grafico della funzione. Esercizio 3.3. Utilizzando le proprietà del valore assoluto si tracci il grafico delle seguenti funzioni:. = + 3 ;. = 3. Esercizio 3.4. Data la funzione f() =, trovare i grafici delle funzioni = f(), = f( ) e = f( ). Esercizio 3.5. Consideriamo una funzione = f(). Allora il grafico di = f() + k è quello di = f() ma traslato di k unità verso l alto se k > 0, verso il basso se k < 0. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni: = 3 + ; = sin 3; = e. Esercizio 3.6. Consideriamo una funzione = f(). Allora il grafico di = f( + k) è quello di = f() ma traslato di k unità verso sinistra se k > 0, verso destra se k < 0. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni: = ( + ) 3 ; = e ; = ln( + ). 3Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

11 3.7 - Esercizi Esercizio 3.7. Utilizzando le proprietà delle traslazioni illustrate nei due esercizi precedenti, tracciare il grafico delle seguenti funzioni: = ( ) 3 + ; = e + ; = ln( ) + ; = 4 + Esercizio 3.8. Trovare l insieme di esistenza delle seguenti funzioni:. = ;. = + ; 3. = ; 4. = + ; 5. = 6. = sin ; + 3 ; 7. = ; 8. = 3; + 9. = ; 0. = e ;. = ln( );. = ln(sin ); 3. = cos sin ; 4. = 3 tan ; 5. = 4 ; 6. = ln( tan ). Appunti di Matematica e Statistica di Nicola Pintus e Piermario Schirru.33