Gli intervalli di R. (a, b R, a b)

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1 Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione: Per ogni x D, se x x 0 < δ allora (x) (x 0 ) < ε D R si dice continua, se è continua in ogni punto del suo dominio D. In simboli, D R è continua in x 0 D se: [ ] ε > 0 δ > 0 x D d(x, x 0 ) < δ = d ( (x), (x 0 )) < ε Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 1/14 Gli intervalli di R. (a, b R, a b) Deinizione Gli intervalli di R sono: (a, b R, a b) 1 (a, b) = {x R a < x < b} (Intervallo aperto e limitato); [a, b) = {x R a x < b} (Intervallo limitato, né aperto, né chiuso); 3 (a, b] = {x R a < x b} (Intervallo limitato, né aperto, né chiuso); 4 [a, b] = {x R a x b}, (intervallo chiuso e limitato, o intervallo compatto); 5 (, b) = {x R x < b}, (semiretta aperta); 6 (, b] = {x R x b}, (semiretta chiusa); 7 (a, ) = {x R a < x}, (semiretta aperta); 8 [a, ) = {x R a x}, (semiretta chiusa); 9 L intera retta reale R. (Intervallo aperto e chiuso). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue /14

2 Proprietà caratteristica degli intervalli di R Proprietà caratteristica degli intervalli di R Un sottoinsieme I di R è un intervallo di R se, e solo se, soddisa la proprietà seguente: Se x, y appartengono a I, x < y e t R è un qualunque punto compreso tra x e y, cioè allora anche t appartiene a I. x < t < y (Se si assume questa proprietà caratteristica, anche un singolo punto e l insieme vuoto sono intervalli). Esercizio: Dimostrare che l intersezione di due intervalli è sempre un intervallo (magari vuoto). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 3/14 Funzioni continue su un intervallo. (Zeri) Teorema (Teorema degli Zeri) Sia I R una unzione deinita su un intervallo I R e continua su I. Siano a, b due punti appartenenti a I, con a < b. Supponiamo che i valori (a) e (b) abbiano segni opposti. (Vale a dire, (a) < 0 e (b) > 0, o viceversa). Allora esiste (almeno) un punto α (a, b) in cui si ha (α) = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 4/14

3 Funzioni continue su un intervallo (Valori Intermedi) Teorema (dei Valori Intermedi) Ipotesi: 1 I R intervallo; I a, b I ; a < b; (a) < (b); R unzione continua su I ; 3 c R soddisa: (a) < c < (b). Tesi: x 0 (a, b) (x 0 ) = c In breve, le unzioni continue da R a R trasormano intervalli in intervalli: Se I R è unzione continua su un intervallo I, la sua immagine (I ) è anch essa un intervallo. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 5/14 Proprietà dei Valori Intermedi? = Continuità I R, I intervallo di R. Supponiamo che soddisi la Proprietà dei Valori Intermedi (di Darboux): Per ogni coppia di punti x 1, x I, assume tutti i valori compresi tra (x 1 ) e (x ). Possiamo concludere che è continua? Risposta: No sin 1 x 0 (x) = x 0 x = 0 Esercizio: Dimostrare che questa unzione soddisa la proprietà dei valori intermedi, ma non è continua (in 0). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 6/14

4 Continuità della unzione inversa Teorema (Continuità della unzione inversa) Sia I un intervallo e sia I R una unzione continua e strettamente crescente (oppure strettamente decrescente) su I. Poniamo J = (I ) (J è un intervallo di R). Allora: 1 La unzione I J è invertibile; La unzione inversa J 1 I è continua. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 7/14 Esempi di unzioni inverse: ( ) e ( ) (a) [0, + ) ( ) [0, + ) (b) [0, + ) ( ) [0, + ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 8/14

5 Esempi di unzioni inverse: Seno, Arcoseno (a) - [ π, π ] sin [ 1, 1] - (b) [ 1, 1] arcsin [ π, π ] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 9/14 Esempi di unzioni inverse: Coseno, Arcocoseno (a) [0, π] cos [ 1, 1] - - (b) [ 1, 1] arccos [0, π] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 10/14

6 Esempi di unzioni inverse: Tangente, Arcotangente (a) ( π, π ) tan (, + ) (b) - (, + ) arctan ( π, π ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 11/14 Esempi di unzioni inverse: exp a, log a (a > 1) (a) (, + ) exp (0, + ) - (b) (0, + ) log (, + ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 1/14

7 Teorema di Weierstrass Teorema (Weierstrass) Una unzione [a, b] R continua su un intervallo compatto (cioè chiuso e limitato) I = [a, b] è limitata. Inoltre esistono nell intervallo I un punto nel quale la unzione assume il suo valore massimo e un punto nel quale la unzione assume il suo valore minimo. La tesi aerma che esistono in [a, b] (almeno) un punto p e (almeno) un punto q per i quali si ha, per ogni x [a, b], (q) (x) (p) (1) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 13/14 Osservazione Corollario del teorema di Weierstrass Se [a, b] R è una unzione continua su un intervallo compatto (cioè chiuso e limitato) [a, b], allora la sua immagine ([a, b]) è anch essa un intervallo compatto: ([a, b]) = [m, M] () dove m e M sono il minimo valore e il massimo valore di sul suo dominio I = [a, b]. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 14/14