Prova A dell esame di ANALISI MATEMATICA

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1 Prova A dell esame di ANALISI MATEMATICA Docente: Prof.sa P. Cavaliere 7 giugno 2013 ISTRUZIONI Svolgere i seguenti esercii attenendosi alle domande in essi formulate e MOTIVANDO LE RISPOSTE IN MODO CHIARO ED ESAURIENTE. Non è consentito l uso di calcolatrici, libri ed appunti. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato SCRITTO IN MODO CHIARO E LEGGIBILE scrivendo sulla 1 a pagina cognome e nome e numero di matricola, nonché anno di appartenena e il numero di CFU dell esame che si sta sostenendo. Quesito preliminare: Fornire le definiioni di: 1. intervallo; 2. punto di accumulaione; 3. funione continua; 4. funione arcocoseno. Es. 1: Determinare, se esistono, tutti e soli i numeri complessi C che soddisfano l equaione 4 ( 3 27i) = 0, e rappresentare le soluioni nel piano complesso. Es. 2: Descrivere le principali proprietà (dominio, comportamento agli estremi del dominio, eventuali asintoti, derivabilità, intervalli di monotonia, intervalli di concavità e convessità) della funione tracciandone un grafico qualitativo. x 2 (log x 1), Es. 3: Determinare, se esiste, la famiglia di tutte e sole le primitive della funione log x x(2 log x). Es. 4: Studiare il carattere della serie ( 1) n arctan(n3 ) n 2. 1

2 2 Risoluione Quesito preliminare: 1. un sottoinsieme X di R, con X, si dice un intervallo se, e soltanto se, x, y X,x<y: { R : x y} X ; ossia, se e soltanto se, per ogni coppia di punti distinti dell insieme il segmento dell asse reale da essi individuato è sempre interamente contenuto nell insieme X 2. sia X un sottoinsieme non vuoto di R. Un punto x o R è detto un punto di accumulaione per l insieme X se, e soltanto se, U I(x o ):X (U \{x o }) ; ossia, se e soltanto se, in ogni intorno U di x o R cade sempre almeno un punto dell insieme X diverso da x o. 3. sia f : X R R. f è detta continua in un punto x o X se, e soltanto se, ɛ >0 δ >0t.c. f(x) f(x o ) <ɛ x Xt.c. x x o <δ. Ne segue quindi che una funione è sempre continua nei punti isolati del suo dominio di definiione, in ogni altro punto x o X -che è chiaramente un punto d accumulaione- la funione è continua se, e soltanto se, converge in x o al valore f(x o ). 4. la funione arcocoseno è la funione inversa della restriione della funione coseno all intervallo 0,π. È quindi definita in 1, 1 ed ha valori su 0,π ed è strettamente decrescente. Es. 1: Si osserva che un numero C soddisfa l equaione (1) 4 ( 3 27i) = 0 se, e soltanto se, (2) 4 = 0 oppure ( 3 27i) = 0. La prima equaione in (5) è soddisfatta da tutti e soli i numeri C tali che = 2, i.e. da tutti e soli i punti del piano complesso della circonferena di centro l origine e raggio 2. Per la seconda equaione in (5) si osserva che (3) ( 3 27i) = 0 3 =27i 3 = 3 3, π = 3, π kπ al variare di k Z. 3 Per rappresentare le soluioni dell equaione (4) nel piano bisogna quindi disegnare la circonferena di centro l origine e raggio 2 ed i punti P o := 3, π 6, P 1 := 3, 5π 6 e P 2 := 3, 3π 2. Es. 2: Detto X il dominio della funione x 2 (log x 1), si ha che X :=, 0 0, + e la funione è derivabile almeno due volte in X essendo prodotto di funioni derivabili almeno due volte. La funione f è pari. È sufficiente quindi studiare f 1 = f 0,+. Si osserva che

3 3 1. f 1 > 0ine, +, f 1 (x) =0inx = e, f 1 < 0 in 0,e 2. lim x 0 + f 1 = 0, quindi la funione f 1 è prolungabile per continuità in 0 f 3. lim x + f 1 (x) = lim 1(x) x + x =+, quindi la funione f 1 non ammette asintoti a +. Inoltre la funione f 1 è derivabile due volte e f 1(x) =x(2 log x 1), f 1 (x) := log x, Con lo studio di opportune disequaioni si ottiene quindi che 1. f 1 in 0, e, f 1 in e, + ex = e è un punto di minimo relativo per f 1 2. lim x 0 + f 1 = 0, quindi la funione f 1 è prolungabile per continuità in 0 e qui presenta una tangente oriontale 3. f 1 è concava in 0, 1 e ed è convessa in 1 e, +. Il punto x = 1 e è un punto di flesso per f 1. Es. 3: La funione log x x(2 log x) è continua nel suo dominio di definiione e quindi ammette primitive. Osservando che (log x) = 1 x ed effettuando la sostituione t = log x, si ha che t dt = t 2 log t 2 + c al variare di c R, 2 t) quindi tutte e sole le primitive della funcione f assegnata sono log x 2 log log x 2 + c al variare di c R. Es. 4: La serie ( 1) n arctan(n3 ) n 2, a segni alterni, converge assolutamente, quindi semplicemente. Infatti arctan(n 3 ) n 2 π = π 1 < + 2n 2 2 n 2

4 4 Prova B dell esame di ANALISI MATEMATICA Docente: Prof.sa P. Cavaliere 7 giugno 2013 ISTRUZIONI Svolgere i seguenti esercii attenendosi alle domande in essi formulate e MOTIVANDO LE RISPOSTE IN MODO CHIARO ED ESAURIENTE. Non è consentito l uso di calcolatrici, libri ed appunti. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato SCRITTO IN MODO CHIARO E LEGGIBILE scrivendo sulla 1 a pagina cognome e nome e numero di matricola, nonché anno di appartenena e il numero di CFU dell esame che si sta sostenendo. Quesito preliminare: Fornire le definiioni di: 1. intervallo; 2. punto di accumulaione; 3. funione derivabile; 4. funione arcoseno. Es. 1: Determinare, se esistono, tutti e soli i numeri complessi C che soddisfano l equaione 9 ( 4 16i) = 0, e rappresentare le soluioni nel piano complesso. Es. 2: Descrivere le principali proprietà (dominio, comportamento agli estremi del dominio, eventuali asintoti, derivabilità, intervalli di monotonia, intervalli di concavità e convessità) della funione tracciandone un grafico qualitativo. x 2 (1 log x ), Es. 3: Determinare, se esiste, la famiglia di tutte e sole le primitive della funione tan x cos 2 x (2 tan x). Es. 4: Studiare il carattere della serie Breve risoluione n log(2 + cos n) ( 1) n 2. Es. 1: Si osserva che un numero C soddisfa l equaione (4) 9 ( 4 16i) = 0

5 5 se, e soltanto se, (5) 9 = 0 oppure ( 4 16i) = 0. La prima equaione in (5) è soddisfatta da tutti e soli i numeri C tali che = 3, i.e. da tutti e soli i punti del piano complesso della circonferena di centro l origine e raggio 3. Per la seconda equaione in (5) si osserva che (6) ( 4 16i) = 0 4 =16i 4 = 2 4, π 2 = 3, π 8 + kπ 2 al variare di k Z. Per rappresentare le soluioni dell equaione (4) nel piano bisogna quindi disegnare la circonferena di centro l origine e raggio 3 ed i punti P o := 2, π, P 8 1 := 2, 5π, P 8 2 := 2, 9π e P 8 3 := 2, 13π 8 Es. 2: Detto X il dominio della funione x 2 (1 log x ), si ha che X :=, 0 0, + e la funione è derivabile almeno due volte in X essendo prodotto di funioni derivabili almeno due volte. La funione f è pari. È sufficiente quindi studiare f 1 = f 0,+. Si osserva che 1. f 1 > 0 in 0,e, f 1 (x) =0inx = e, f 1 < 0ine, + 2. lim x 0 + f 1 = 0, quindi la funione f 1 è prolungabile per continuità in 0 f 3. lim x + f 1 (x) = lim 1(x) x + =, quindi la funione f x 1 non ammette asintoti a +. Inoltre la funione f 1 è derivabile due volte e f 1(x) =x(1 2 log x), f 1 (x) := (1 + log x), Con lo studio di opportune disequaioni si ottiene quindi che 1. f 1 in 0, e, f 1 in e, +, e x = e è un punto di massimo relativo per f 1 2. lim x 0 + f 1 = 0, quindi la funione f 1 è prolungabile per continuità in 0 e qui presenta una tangente oriontale 1 3. f 1 è convessa in 0, e ef 1 è concava in in 1 e, +. Il punto x = 1 e è un punto di flesso per f 1. Es. 3: La funione tan x cos 2 x (2 tan x) è continua nel suo dominio di definiione e quindi ammette primitive. Osservando che (tan x) = 1 cos 2 x si ha che, effettuando la sostituione t = tan x, si ha che t dt = t 2 log t 2 + c al variare di c R, 2 t) quindi tutte e sole le primitive della funcione f assegnata sono tan x 2 log tan x 2 + c al variare di c R. Es. 4: La serie n log(2 + cos n) ( 1), n 2 a segni alterni, converge assolutamente, quindi semplicemente. Infatti log(2 + cos n) n 2 log 3 1 = log 3 < + n 2 n 2