2. FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI

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1 FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI Determinaione del dominio Y Sia D un sottoinsieme dell insieme R R indicato anche con R Graficamente possiamo pensare a D come ad una ona del piano cartesiano secondo la seguente figura In modo analogo possiamo considerare un sottoinsieme D dell insieme R R R (n volte) indicato anche con R n DEFINIZIONE (funione reale di n variabili reali) O D X (Funione reale di n variabili reali) : (Funione che associa ad ogni elemento ( n ) di D R n uno ed un solo numero reale f( n ) di R) OSSERVAZIONI Dal punto di vista grafico una funione reale di due variabili reali è rappresentata da una superficie dello spaio Il dominio è un sottoinsieme del piano a ciascun punto () di D la funione fa corrispondere un punto Q dello spaio avente come quota f() Q( ) OSSERVAZIONE Data una parabola di equaione a b c per rappresentarla graficamente è sufficiente conoscere: b b ac le coordinate del vertice V a a le eventuali ascisse dei punti di interseioni con l asse delle ascisse: risolvendo l equaione di grado associata a b c l ordinata del punto di interseione con l asse delle ordinate Data una circonferena di equaione a b c per rappresentarla graficamente è sufficiente conoscere: a b le coordinate del centro C a b la lunghea del raggio r c a b Una curva di equaione nell ipotesi che adbc rappresenta un iperbole traslata c d d a b avente gli asintoti di equaione e e passante per il punto ( ) c c d wwweasmathsaltervistaorg

2 ESEMPI Determinate il dominio delle seguenti funioni: Il dominio è rappresentato da R { } D ( ) R Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi quelli appartenenti dalla retta di equaione { } D ( ) R Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi quelli appartenenti alla parabola di equaione D {( ) R } Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che rendono positiva l espressione ossia l insieme dei punti esterni alla circonferena di equaione uniti ai punti della circonferena stessa 5 ln( ) D ( ) { R > } Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che rendono positiva l espressione ossia tali che > D ( ) R Per determinare il dominio è necessario pertanto risolvere il sistema Risolviamo la disequaione fratta: wwweasmathsaltervistaorg

3 > > Le seguenti figure mostrano la soluione grafica delle due disequaioni I punti appartenenti alla parte di piano evideniata con i segni e rendono rispettivamente positive e negative le espressioni e Il seguente diagramma è stato costruito utiliando la regola dei segni e sono stati considerate le due figure precedenti La soluione del sistema iniiale è data dall insieme dei punti interni alle one di piano evideniate con i segni dai punti della retta ed escludendo i punti della parabola 7 ( ) { } D > R wwweasmathsaltervistaorg

4 Per determinare il dominio è necessario risolvere il sistema > ossia > Le seguenti figure mostrano la soluione grafica delle due disequaioni I punti appartenenti alla parte di piano evideniata soddisfano le due precedenti disequaioni Nel seguente diagramma è mostrato l insieme delle soluioni Esso è stato individuato prendendo i punti che appartengono contemporaneamente ai due precedenti insiemi ossia ne abbiamo considerato l interseione APPLICHIAMO Determinate graficamente i domini delle seguenti funioni: ln ( ) ln wwweasmathsaltervistaorg

5 Linee di livello Abbiamo visto che una funione di due variabili f ( ) è rappresentata da una superficie Prendiamo ora un piano parallelo al piano la cui equaione è (dal momento che i punti che vi appartengono hanno le tera coordinata uguale a ) Supponiamo che esso intersechi la superficie lungo una curva dello spaio Ovviamente questa curva chiamiamola l appartenendo al piano di equaione sarà costituita da punti aventi la tera coordinata uguale a l h l linee di livello DEFINIZIONE (linea di livello) (Linea di livello) : (Curva del piano che è proieione ortogonale di l ) Ovviamente variando il valore di si possono avere diverse linee di livello Osservandone la f disposiione è possibile avere delle informaioni sulla superficie di equaione ( ) ESEMPI Sia che ha dominio R Questa è l equaione di un piano (funione lineare ossia di primo grado) Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano abbiamo Applicando il metodo di sostituione segue L ultima equaione rappresenta un fascio di rette aventi il coefficiente angolare a uguale a b che è un numero indipendente dal parametro Quindi ci troviamo di fronte ad un fascio di rette improprio (ossia un insieme di rette fra loro parallele) OSSERVAZIONI Ricordiamo a tal proposito che due rette non verticali risultano parallele quando hanno i coefficienti angolari uguali Se l equaione della retta è scritta in forma implicita a b c il coefficiente angolare è a uguale a b Se l equaione è scritta in forma implicita m q allora il coefficiente angolare è m wwweasmathsaltervistaorg 5

6 Disegniamo ora alcune rette del fascio trovato Per esempio dando a valori e 5 otteniamo le rette di equaioni di seguito riportate che sono quindi alcune linee di livello Facciamo vedere anche la loro rappresentaione grafica sul piano 5 5 Sia che ha dominio R Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano abbiamo Applicando il metodo di sostituione segue L ultima equaione rappresenta un fascio di parabole con la concavità rivolta verso il basso (il coefficiente di è negativo) Disegniamo ora alcune parabole del fascio aventi tutte l ascissa del vertice uguale a a b Per esempio dando a valori e otteniamo le parabole di equaioni di seguito riportate che sono pertanto alcune linee di livello Facciamo vedere anche la loro rappresentaione grafica sul piano O 5 5 O wwweasmathsaltervistaorg

7 7 Sia che ha dominio ( ) { } D R Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano abbiamo Applicando il metodo di sostituione abbiamo: L ultima equaione rappresenta un fascio di circonferene concentriche aventi il centro di coordinate C() Dando a valori e 5 otteniamo le circonferene di equaioni di seguito riportate Facciamo vedere anche la loro rappresentaione grafica sul piano APPLICHIAMO Determinate graficamente i domini delle seguenti funioni ed alcune linee di livello ( ) ln 5 e ln 7 8 e O O 5 wwweasmathsaltervistaorg

8 Massimi e minimi DEFINIZIONI (intorno di un punto punto di accumulaione di frontiera ed interno insieme aperto e chiuso insieme limitato) (Intorno di un punto P ) : (Insieme dei punti P per i quali d(pp )<r con r numero reale positivo) Nel piano R un intorno è costituito dai punti interni ad una circonferena di centro P e raggio r Dato un punto P ed un insieme D P P r (P è punto di accumulaione dell insieme D) : (Comunque consideriamo intorni I di P risulta I D{P } ) B I A I (P è un punto di frontiera dell insieme D) : (Comunque consideriamo intorni I di P risulta sia I D{P } che I D {P } essendo D il complementare di D) (P è un punto interno all insieme D) : (Se esiste un intorno I di P tale che I D) Nella figura a sinistra il punto A è sia di accumulaione per D sia punto di frontiera mentre B è punto di accumulaione ma anche interno (Insieme aperto) : (Insieme formato da soli punti interni) (Insieme chiuso) : (Insieme che contiene anche i suoi punti di frontiera) (Insieme limitato) : (Esiste un intorno I tale che D I) Insieme chiuso Insieme aperto DEFINIZIONI (limite di una funione funione continua) Dati una funione reale di n variabili reali f(p)f( n ) definita in un insieme D e un punto P di accumulaione per D ( lim f ( P) l PP ) : J intorno di l I intorno di P ( tale che P I D { P } risulta f(p) J(l)) Tale definiione continua a valere anche nel caso in cui P tende ad infinito o l è infinito l P wwweasmathsaltervistaorg 8

9 tenendo presente che nel piano un intorno di infinito può essere considerata la ona esterna al cerchio di raggio r e sulla retta un intervallo ]a [ è intorno di e ] a[ è intorno di (La funione f è continua nel punto P ) : ( lim f ( P) f ( P ) PP (La funione f è continua nell insieme D) : ( P D f è continua in P) ) ESEMPIO Sia R avente come dominio Se sostituiamo a il numero la funione diventa che è una funione reale nella sola variabile il cui grafico è la proieione ortogonale sul piano della curva interseione tra la superficie ed il piano di equaione Analogo discorso nel caso di interseione tra un piano di equaione e la superficie DEFINZIONI(derivata pariale funione differeniabile) Dati una funione reale di n variabili reali f(p) f()definita in un insieme D e un punto P ( ) interno a D Se in f poniamo abbiamo che f( ) è una funione nella sola variabile (Derivata pariale prima rispetto alla della f()) : ( lim questo esista e sia finito) Tale derivata si indica con f ( ) f o con h f ( h ) f ( ) h nel caso che h Se in f poniamo abbiamo che f( ) è una funione nella sola variabile h wwweasmathsaltervistaorg

10 (Derivata pariale prima rispetto alla della f()) : ( lim questo esista e sia finito) Tale derivata si indica con f ( ) f o con f ( ) f ( ) nel caso che APPLICHIAMO Si rappresenti graficamente la situaione nel caso della derivata pariale rispetto alla OSSERVAZIONI Quando si dovrà effettuare la derivata pariale rispetto ad una delle variabili si dovrà procedere come nel caso delle derivate di una funione ad una variabile considerando le altre variabili costanti Mentre per le funioni reali ad una sola variabile la derivabilità in un punto implica la continuità in esso si può vedere come possono esistere funioni parialmente derivabili in un punto essendo in tale punto non continue La funione che associa ad ogni punto P dell insieme in cui f è derivabile parialmente rispetto alla la derivata pariale in P di f si dice funione derivata pariale prima rispetto alla La funione che associa ad ogni punto P dell insieme in cui f è derivabile parialmente rispetto alla la derivata pariale in P di f si dice funione derivata pariale prima rispetto alla APPLICHIAMO Dopo aver determinato il dominio calcolate le derivate pariali prime rispetto a ciascuna variabile ( ) 5 ( ) 5 e 7 ( ) 8 ln ( ) ln ln 5 ln e e wwweasmathsaltervistaorg

11 (Funione differeniabile in un aperto A) : (Esistono le derivate pariali prime in ogni punto di A e sono in essi continue) Si dimostra che se una funione è differeniabile in un insieme aperto A allora essa è anche continua in esso Le derivate pariali sono a loro volta delle funioni a più variabili Pertanto ha senso considerare le cosiddette derivate pariali del secondo ordine Risulta: f f f f f f f f Le due derivate centrali sono chiamate derivate seconde miste Esse sono indicate brevemente rispettivamente con f f f f Si dimostra il seguente TEOREMA(sull invertibilità dell ordine di derivaione o di Schwar) La funione f() definita in D ammette le derivate pariali prime e seconde miste in un intorno I di un punto P ( ) con I D le derivate pariali seconde miste sono continue in P allora ( P ) f ( P ) f APPLICHIAMO Calcolate le derivate pariali seconde delle seguenti funioni verificando il teorema di Schwar ln( ) 5 e 7 e 8 ln DEFINIZIONI (punto di massimo e di minimo relativo punto di massimo e di minimo assoluto) Siano f() una funione definita in un insieme D R e P ( ) D wwweasmathsaltervistaorg

12 (Il punto P è un punto di massimo relativo per la funione f) : (Esiste un intorno I di P tale che P D : f f ) ( ) ( ) ( ) (Il punto P è un punto di minimo relativo per la funione f) : (Esiste un intorno I di P tale che P D : f f ) ( ) ( ) ( ) Sia A un sottoinsieme del dominio D della funione (Il punto P è un punto di massimo assoluto per la funione f) : P A : f f ) ( ( ) ( ) ( ) (Il punto P è un punto di minimo assoluto per la funione f) : ( P ( ) A : f ( ) f ( ) ) TEOREMA (di Weierstrass) Una funione f() è continua in un sottoinsieme A D A è chiuso e limitato allora Esistono in A due punti P e P tale che P A : f ( P ) f ( P) f ( ) P ossia esistono il massimo ed il minimo assoluto TEOREMA (condiione necessaria per i punti di massimo e di minimo) P è un punto di massimo o di minimo relativo per la funione f() P è interno all insieme di definiione D In D la funione è parialmente derivabile rispetto la e la f allora e f ( ) ( ) Dimostraione Facciamo osservare che l equaione di un piano nello spaio è a b c d Si dimostra che nel caso in cui la funione è f è differeniabile nel punto P l equaione del piano tangente è f f f ( ) ( )( ) ( )( ) Nel caso in cui nel punto P di massimo o di minimo il piano tangente è oriontale ossia ha un equaione del tipo piano tangente P punto di minimo Segue necessariamente che f ( ) f ( )( ) f ( )( ) ossia la tesi wwweasmathsaltervistaorg

13 cvd OSSERVAZIONI In generale non vale l inverso del teorema precedente Ossia se in P entrambe le derivate prime si annullano non è detto che esso sia punto di massimo o di minimo DEFINIZIONE (punto critico) I punti che sono soluione del sistema f f ( ) ( ) si chiamano punti critici TEOREMA P è un punto interno a D esiste un intorno I di P in cui la f() è continua come pure le sue derivate pariali prime e seconde f ( ) e f ( ) f detto Hessiano il determinante della matrice f f f indicato con H ( ) H > f ( ) > allora P è un minimo relativo ( ) H > f ( ) < allora P è un massimo relativo ( ) H < allora P non è né massimo né minimo è punto di sella o di flesso ( ) H allora non è possibile affermare nulla sono necessarie ulteriori indagini ESEMPIO Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funione La funione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate pariali prime e seconde wwweasmathsaltervistaorg

14 Risolviamo il sistema I punti critici sono in questi punti P f f e P ± ± Vediamo ora quale segno assume l hessiano Intanto abbiamo f ( ) 8 f ( ) f ( ) f ( ) Poiché H() allora risulta H( P ) < quindi P non è né di massimo né di minimo H( P ) > e siccome f ( ) < P segue che P è punto di massimo relativo Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funione La funione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate pariali prime e seconde Risolviamo il sistema ( ) / f 8 / f La prima equaione si annulla quando oppure quando 8 Nel primo caso abbiamo Nel secondo caso 8 ± quindi una soluione è P () Vediamo ora quale segno assume l hessiano nei punti critici Intanto abbiamo f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Poiché H() 8 allora risulta H( P ) < P ossia l origine degli assi è un punto di sella Possiamo trovare conferma di questo studiando il segno della funione data > Quindi le altre tre soluioni sono: P e P wwweasmathsaltervistaorg

15 5 Scomponendo abbiamo ( ) ( ) > ossia ( )( ) > Studiamo il segno di ciascun fattore della precedente disequaione < > Quindi Pertanto poiché comunque consideriamo intorni di P all interno di essi cadono punti aventi immagine positiva ed altri aventi immagine negativa possiamo confermare che P non è né punto di massimo né di minimo ( ) P H < quindi anche P è un punto di sella Infatti osservando il grafico precedente possiamo notare che anche il punto P è tale che comunque consideriamo suoi intorni al loro interno cadono punti in cui la funione assume segno positivo ed altri in cui la funione assume segno negativo ( ) P H > e poiché > f segue che P è punto di minimo APPLICHIAMO Determinate i massimi ed i minimi relativi ed i punti di sella delle seguenti funioni 5 e e < > Nell intorno dell origine wwweasmathsaltervistaorg

16 7 ( ) ln 8 Massimi e minimi vincolati Spesso si presenta la necessità di determinare i punti di massimo e di minimo di una funione le cui variabili devono soddisfare a determinati vincoli espressi mediante A equaioni In tali casi il vincolo è espresso da un equaione del tipo g() che generalmente rappresenta una curva del piano vi ncolo oppure B disequaioni In tali casi i vincoli sono espressi da un sistema di disequaioni Noi tratteremo solo il caso in cui le disequaioni sono di primo grado a due incognite Quindi l insieme soluione del sistema dei vincoli è un poligono Vediamo alcuni possibili metodi di risoluione Caso A Nell equaione del vincolo una variabile è di I grado ESEMPIO Determinare i massimi e i minimi della funione con vincolo g ( ) wwweasmathsaltervistaorg

17 Considerando l equaione del vincolo isoliamo la variabile che è di I grado nel nostro caso la Risulta e sostituendo nella otteniamo ( ) che dipende dalla sola variabile Determiniamo quindi i massimi ed i minimi utiliando il procedimento seguito nel caso di funioni dipendenti da una variabile Abbiamo per e La situaione è mostrata dal seguente diagramma Quindi la funione assume il massimo per a cui corrisponde ( ) ( ) ed un minimo per a cui corrisponde () () In definitiva la funione data ha un massimo vincolata nel punto P() ed un minimo vincolato in O() APPLICHIAMO Determinate i massimi ed i minimi vincolati delle seguenti funioni con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) 5 con vincolo dato da g ) ( con vincolo dato da g ( ) Utiliando le linee di livello I punti di massimo e di minimo vincolato sono quelli in cui le linee di livello sono tangenti alla curva la cui equaione è quella del vincolo g() l l l ESEMPIO wwweasmathsaltervistaorg 7

18 Determinare i massimi e i minimi della funione con vincolo g ( ) Le linee di livello hanno equaione e rappresentano un fascio di parabole mentre il vincolo è l equaione di una retta I vertice delle parabole del fascio hanno ascissa b uguale a infatti a Bisogna quindi determinare il valore di per cui la parabola del fascio è tangente alla retta di equaione g ( ) A tal fine consideriamo il sistema formato dalle equaioni del fascio e della retta b ac Condiione di tangena Nella seconda equaione a b e c pertanto 7 ( ) 7 Ossia la parabola tangente la retta ha equaione Troviamo le coordinate del punto di tangena 7 Pertanto il punto P() è punto di massimo (perché?) APPLICHIAMO Determinate i massimi ed i minimi vincolati delle seguenti funioni con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da g ( ) 5 g ( con vincolo dato da ) con vincolo dato da g ( ) Moltiplicatori di Lagrange wwweasmathsaltervistaorg 8

19 Consideriamo come al solito una funione f() che deve essere ottimiata tenendo presente il vincolo espresso dall equaione g() Per la risoluione sono necessari i seguenti teoremi TEOREMA (condiione necessaria) Supponiamo che la funione f() sia dotata di derivate seconde continue nel dominio D la funione g() ammetta derivate prime in D S : g g S D tale che ( ) ( ) ( ) ( λ ) è un punto di massimo o di minimo vincolato allora considerata la funione L(λ) f() λg() () L L L λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) ossia f f g ( ) λ g ( ) ( ) λ g ( ) ( ) TEOREMA (condiione sufficiente) Supponiamo che la funione f() sia dotata di derivate seconde continue nel dominio D la funione g() ammetta derivate prime e seconde in D S : g g S D tale che ( ) ( ) ( ) ( λ ) è una soluione del sistema () detto Hessiano orlato il determinante della matrice g g ( λ ) H o > g L L g L L indicato con H o allora P è un massimo vincolato ( λ ) H < allora P è un minimo vincolato ( λ ) H nulla si può dire bisogna utiliare altri metodi wwweasmathsaltervistaorg

20 ESEMPIO Determiniamo i massimi ed i minimi vincolati della funione con vincolo dato da ( ) g La funione lagrangiana è ( ) ( ) L λ ed il sistema () è λ λ La prima equaione ( ) λ ha come soluione e λ Abbiamo quindi λ λ e λ λ Dall ultimo sistema otteniamo che non dà soluioni λ e che non dà soluioni λ Allora l unico punto critico è Poiché risulta λ λ 8 H segue che 5 H < quindi il punto P() è un punto di minimo vincolato APPLICHIAMO Determinate i massimi ed i minimi vincolati delle seguenti funioni con vincolo dato da ) ( g con vincolo dato da ) ( g con vincolo dato da ) ( g OSSERVAZIONI La funione lagrangiana L(λ) f() λg() coincide con f() nei punti in cui g() ossia nei punti del vincolo λ si chiama moltiplicatore di Lagrange wwweasmathsaltervistaorg

21 5 con vincolo dato da g ( ) con vincolo dato da ( ) con vincolo dato da 7 g g( ) con vincolo dato da g ( ) Caso B Sia f() una funione definita in un dominio D e consideriamo un insieme A chiuso e limitato contenuto in D Sappiamo che per il teorema di Weierstrass esistono in A due punti P e P tali che f P f P f P A: ( ) ( ) ( ) P La ricerca di questi punti di massimo e di minimo assoluti dovrà essere effettuata: nell insieme A dei punti interni di A ed in cui la funione è dotata di derivate pariali prime nell insieme A dei punti interni di A ed in cui la funione non ammette una o entrambe le derivate pariali prime nell insieme A dei punti della frontiera di A Vediamo alcuni possibili metodi di risoluione Metodo più generale ESEMPIO Determiniamo i massimi ed i minimi assoluti della funione nell insieme A individuato dal seguente sistema C Nella figura a fianco è rappresentato graficamente l insieme A Si tratta di un quadrilatero avente i vertici nei punti A() B() C() e D() Iniiamo la nostra ricerca nei punti dell insieme A dei punti interni di A in cui la funione è derivabile parialmente A tal fine risolviamo il sistema f che nel nostro caso è f B A A D wwweasmathsaltervistaorg

22 ( ) ± ± Quindi le soluioni sono P () P P Vediamo ora quale segno assume l hessiano nei punti critici Intanto abbiamo ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f Poiché H() allora risulta ( ) P H nulla si può dire su P Comunque esso cade fuori da A pertanto non indaghiamo ulteriormente H(P ) < quindi P non è né punto di massimo né di minimo H(P ) < quindi P non è né punto di massimo né di minimo Quindi in A non ci sono punti di massimo o di minimo Poiché la funione è derivabile in tutto R l insieme A in cui la funione non ammette una o entrambe le derivate pariali prime è vuoto Esaminiamo infine il comportamento della funione nell insieme A dei punti di frontiera Troviamo intanto l immagine dei punti che sono vertici del quadrilatero ( ) ( ) ( ) ( ) D 8 C 5 8 B 5 A Sul segmento AB abbiamo e Sostituendo nella funione data otteniamo con wwweasmathsaltervistaorg

23 Risulta per situaione è quella mostrata nella seguente figura In corrispondena del punto di ordinata abbiamo un minimo vincolato a cui Quindi nell intervallo che interessa la corrisponde una quota pari a Quindi se indichiamo con E il punto di coordinate risulta f ( E) Sul segmento BC abbiamo con Ponendo nella funione data otteniamo con Risulta per Quindi nell intervallo che interessa la situaione è quella mostrata nella seguente figura In corrispondena del punto di ascissa abbiamo un massimo vincolato a cui corrisponde una quota pari a 5 Quindi se indichiamo con F il punto di coordinate risulta f F ( ) 5 Possiamo sintetiare quanto trovato con la seguente immagine I numeri inseriti nei rettangolini C 8 5 B F 5 E A 5 A D sono l immagine dei punti corrispondenti wwweasmathsaltervistaorg

24 Sul segmento CD abbiamo con Ponendo nella funione data otteniamo ( ) ( ) ossia 7 8 con Risulta 8 per Quindi nell intervallo che interessa la situaione è quella mostrata nella seguente figura In corrispondena del punto di ascissa 7 7 abbiamo un minimo vincolato a cui corrisponde una quota pari a Quindi se indichiamo con G il punto di coordinate risulta f ( G) Sul segmento AD abbiamo con Ponendo nella funione data otteniamo con Risulta per Quindi nell intervallo che interessa la situaione è quella mostrata nella seguente figura Possiamo infine mostrare quanto C 8 G 5B F 5 E A 5 A D trovato In A abbiamo allora trovato F maggiore risulta massimo assoluto e D() come massimi relativi di essi D avendo immagine wwweasmathsaltervistaorg

25 5 Inoltre i punti di minimo relativo sono risultati E e G di essi G avendo immagine minore risulta il minimo assoluto APPLICHIAMO Determinate i massimi ed i minimi assoluti delle seguenti funioni negli insiemi individuati dai sistemi assegnati Utiliando le linee di livello Nel caso in cui la funione f() può essere descritta mediante linee di livello possiamo trovare il massimo ed il minimo assoluto determinando quelle linee di livello corrispondenti al minore e maggiore compatibilmente con i vincoli assegnati wwweasmathsaltervistaorg

26 ESEMPIO Determiniamo il massimo ed il minimo assoluto della funione nell insieme A individuato dal seguente sistema Nella figura a fianco è rappresentato graficamente l insieme A E un pentagono avente i vertici nei punti A() B() C() D() ed O() B C A D Le linee di livello rappresentano parabole aventi il vertice sulla retta di equaione asse delle ordinate dal b B C momento che V e concavità rivolta a verso il basso Quando aumenta le varie parabole hanno il vertice di ordinata crescente visualiiamo la situaione nella seguente figura A 5 Si può osservare che la funione data ha il minimo assoluto nel punto T e (T) ed il massimo assoluto in C() con (C) 5 T D APPLICHIAMO Mediante le linee di livello determinate i massimi ed i minimi assoluti delle seguenti funioni negli insiemi individuati dai sistemi assegnati wwweasmathsaltervistaorg

27 wwweasmathsaltervistaorg 7