FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI. f(x, y) = ax + by + c. f(x, y) = x 2 + y 2

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1 0.1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI Sia A R 2. Una applicazione f : A R si chiama funzione reale di due variabili reali ESEMPI: 1. La funzione affine di due variabili reali: 2. f(x, y) = ax + by + c f(x, y) = x 2 + y Come per le funzioni di una sola variabile reale, una funzione di due variabili reali é definita su un dominio di definizione Esempio. Le funzioni precedenti sono definite per qualsiasi valore di x e di y e quindi per qualsiasi coppia (x, y) La funzione f(x, y) = (x 1)(y 1) non é definita per x = 1 e neppure per y = 1, mentre é definita per ogni coppia (x, y) tale che x 1 e y Data una funzione di due variabili f(x, y) definita in un insieme A R 2, possiamo definire due funzioni parziali ottenute considerando fissando un valore della x = x 0 oppure un valore della y = y 0, ovvero: f(x, y 0 ) e f(x 0, y) Ovviamente, per ogni scelta del valore y 0 otteniamo una funzione della sola variabile y e per ogni scelta del valore x 0 otteniamo una funzione della sola variabile y. 0.4 Esempio: f(x, y) = 4x + 3y + 2 Se fissiamo y = 1 otteniamo la funzione della sola variabile x: f(x, 1) = 4x Se fissiamo x = 2 otteniamo la funzione della sola variabile y: f(2, y) = y + 2 1

2 0.5 Piú in generale, se indichiamo con y 0 un qualsiasi valore prescelto per y, otteniamo la funzione della sola variabile x: f(x, y 0 ) = 4x + 3y Se indichiamo con x 0 un qualsiasi valore prescelto per x, otteniamo la funzione della sola variabile y: f(x 0, y) = 4x 0 + 3y Una funzione di due variabili f(x, y) associa ad ogni coppia di numeri reali (x, y) il valore z = f(x, y). Esempio. 1 f(x, y) = (x 1)(y 1) 1 f(2, 3) = (2 1)(3 1) = = 1 2 Analogamente alle funzioni di una variabile reale, il grafico di una funzione di due variabile reale sará costituito dai punti (x, y, z) dello spazio tridimensionale tali che z = f(x, y). 0.7 Esempio. Il punto (x, y, z) = (2, 3, 1 2 ) appartiene al grafico della funzione 1 (x 1)(y 1) perché (2 1)(3 1) = = 1 2 Curve di livello. Data una funzione f(x, y) e un valore z possiamo chiederci quali sono le coppie di valori (x, y) tali che f(x, y) = z. L insieme delle (x, y) che verificano f(x, y) = z costituisce una curva di livello. 0.9 Funzione di produzione. F (K, L) = 12 K 1 4 L 3 4 Se si impiegano 2 unitá di capitale e 3 unitá di lavoro si ottengono 12 ( ) unitá di prodotto. 2

3 Se desideriamo produrre 100 unitá di prodotto, quali combinazioni di capitale e lavoro danno il risultato cercato? L insieme delle coppie (K, L) tali che F (K, L) = 100 é una curva di livello della funzione F, che prende il nome di isoquanto Funzione di utilitá. U(x, y) = x 1 2 y 1 2 Se si consumano 1 unitá del bene x e 1 unitá del bene y si ottiene un livello di utilitá pari a Se desideriamo raggiungere un livello di soddisfazione pari a 10, quali combinazioni di consumo danno il risultato cercato? L insieme delle coppie (x, y) tali che U(x, y) = 10 é una curva di livello della funzione U, che prende il nome di isoutilitá o curva di indifferenza Distanza nel piano. La distanza di due punti P e Q di coordinate rispettivamente (x p, y p ) e (x q, y q ) é data da d(p, Q) = (x q x p ) 2 + (y q y p ) Sulla retta, l intorno di semi-ampiezza δ di un punto x 0 é definito come l insieme dei punti che distano da x 0 meno di δ. La stessa definizione si puó applicare nel piano, ottenendo degli intorni circolari di raggio δ, indicato con I δ (x 0, y 0 ) Consideriamo un insieme A R 2. Un punto (x 0, y 0 ) A si dice - interno ad A se esiste un intorno I δ (x 0, y 0 ) tutto contenuto in A - esterno ad A se esiste un intorno I δ (x 0, y 0 ) non contenente nessun punto di A - di frontiera se qualsiasi intorno I δ (x 0, y 0 ) contiene sia punti di A che punti che non appartengono ad A. Un insieme costituito di soli punti interni si definisce aperto. 3

4 0.14 Limite di funzioni di due variabili. Prendiamo una funzione f(x, y) definita in A R 2. Consideriamo un punto (x 0, y 0 ) di accumulazione per l insieme A. Si dice che f(x, y) tende al limite l R per (x, y) che tende a (x 0, y 0 ) e si scrive lim f(x, y) = l (x,y) (x 0,y 0) se, per ogni ɛ > 0 é possibile trovare un intorno I δ (x 0, y 0 ) di centro (x 0, y 0 ) e semi-ampiezza δ tale che per ogni punto (x, y) A I δ (x 0, y 0 ) si abbia f(x, y) l < ɛ 0.15 Attenzione Se la funzione f(x, y) ammette un limite per (x, y) che tende (x 0, y 0 ) allora le funzioni parziali f(x, y 0 ) e f(x 0, y) convergono allo stesso limite, ma se le due fuzioni parziali convergono ad uno stesso limite non é detto che la funzione f(x, y) ammette limite Data una funzione f(x, y), le sue derivate parziali nel punto (x 0, y 0 ) sono definite come le derivate delle funzioni parziali f(x, y 0 ) e f(x 0, y). Le derivate parziali si indicano con f x oppure f x, f y f y Esempio: f(x, y) = ln x+2y x 3y f x (x, y) = x 3y x+2y x 3y (x+2y) (x 3y) 2 = 5y (x+2y)(x 3y) f y (x, y) = x 3y x+2y 2(x 3y)+3(x+2y) (x 3y) 2 = 5x (x+2y)(x 3y) Il vettore costituito dalle due derivate parziali prime si chiama gradiente e si indica con f(x, y) 0.17 f(x, y) = (x 2 + xy 2 ) f x = 2x + y 2 f y = 2xy 4

5 0.18 f(x, y) = x ln y f x = ln y f y = x y 0.19 f(x, y) = 3x 2 y 5xy 3 + 2x 3y f x = 6xy 5y f y = 3x 2 15xy f(x, y) = x 2 + 4xy + y 2 f x(x, y) = 2x + 4y f y(x, y) = 4x + 2y 0.21 f(x, y) = e x f x(x, y) = e x f y(x, y) = f(x, y) = e x ln y f x(x, y) = e x f x(x, y) = 1 y 0.23 f(x, y) = e x ln(x y) f x(x, y) = e x ln(x y) + e x 1 x f y(x, y) = e x 1 y 0.24 Le derivate delle funzioni parziali si chiamano derivate prime. Il vettore formato dalle due derivate parziali f x(x, y), f y(x, y) si chiama gradiente della funzione o derivata prima e si indica con f(x, y) Esempio. x 2 + y 2 = (2x, 2y) 5

6 0.25 La funzione di due variabili di primo grado é la funzione affine f(x, y) = ax + by + c Analogamente a quanto visto per le funzioni di una variabile con la retta, cosí per le funzioni di due variabili ci interessiamo a quelle funzioni che sono bene approssimabili da una funzione di primo grado. Se una funzione f(x, y) e approssimabile in un punto (x 0, y 0 ) da una funzione di primo grado, diciamo che essa é differenziabile in quel punto e la funzione di primo grado prende nome di piano tangente Attenzione! L esistenza delle due derivate parziali prime é condizione solamente necessaria per la differenziabilitá. Una condizione sufficiente é che le derivate parziali prime siano continue. Nel caso in cui la funzione sia differenziabile, l espressione del piano tangente é Il termine f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) 0.27 f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) si indica con df e prende il nome di differenziale totale della funzione Esempio 1. Calcolare il differenziale totale df della funzione f(x, y) = x 2 + y 2 nel punto (x 0, y 0 ) = (2, 3). df = 2x 0 (x x 0 ) + 2y 0 (y y 0 ) = 2 2(x 2) + 2 3(y 3) Esempio 2. Calcolare il differenziale totale df della funzione f(x, y) = x 2 + xy y 2 nel punto (x 0, y 0 ) = (2, 1). df = (2x 0 + y 0 ) (x x 0 ) + (x 0 2y 0 ) (y y 0 ) = ( )(x 2) + (2 2 1) (y 3) 0.28 Esempio 3. Calcolare il differenziale totale df della funzione f(x, y) = x 2 + y 2 punto (x 0, y 0 ) = ( 2, 1). df = x0 (x x 0 ) + y0 (y y 0 ) = x 2 0 +y 2 0 x 2 0 +y 2 0 nel 6

7 2 (x ( 2)) + 1 (y 1) = ( 2)2 +(1) 2 ( 2)2 +(1) (x + 2) (y 1) 0.29 I punti del dominio della funzione in cui le due derivate prime si annullano f x = f y = 0 si chiamano punti stazionari della funzione. Esempio 1: Trovare i punti stazionari della funzione f(x, y) = x 2 + y 2 Soluzione: f x (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y Basta { risolvere il sistema: 2x = 0 2y = 0 quindi l unico punto stazionario é l origine (0, 0) 0.30 Esempio 2: Trovare i punti stazionari della funzione f(x, y) = x 2 + xy + y 2 x Soluzione: f x (x, y) = 2x + y 1, f y (x, y) = 2y + x Basta risolvere il sistema: 2x + y 1 = 0 2y + x = 0 l unico punto stazionario é ( 2 3, 1 3 ) 0.31 Poiché le derivate parziali prime sono delle funzioni di due variabili reali, possiamo definire le loro derivate parziali e cosí via. Quante sono le derivate parziali seconde? Le derivate parziali prime sono due f x e f y A partire da ciascuna di queste si possono definire le due derivate parziali seconde. In totale quindi avremo quattro derivate parziali seconde: f xx, f xy, f yx, f yy 0.32 Esempio 1. f(x, y) = x 2 + y 2 f x = 2x f y = 2y 7

8 0.33 xx = 2 xy = 0 yx = 0 yy = 2 Esempio 2. f(x, y) = 2xy + y 2 f x y = f y = xx = xy = yx = yy = xy+y 2 x+y 2xy+y 2 y 2 2xy+y 2 xy (2xy+y 2 ) 3 2 xy (2xy+y 2 ) 3 2 2xy+y 2 (x+y) 2 (2xy+y 2 ) Domanda: f xy = f yx? Risposta, in generale NO, ma se le due derivate parziali seconde sono continue, allora sono uguali Le derivate parziali seconde di una funzione di due variabili formano la cosidetta matrice hessiana: ( fxx f xy f yx f yy ) che risulta una matrice simmetrica se le derivate parziali miste sono continue. Il determinante della matrice hessiana f xx f yy 2f xy si chiama semplicemente hessiano della funzione f e si indica con H(x, y) Esempio. f(x, y) = x 3 4x y 2y 2 f x = 3x 2 4y f y = 4x 4y 8

9 xx = 6x xy = 4 yy = 4 H(x, y) = 24x Estremi di funzioni di due variabili. Definizione. Un punto (x 0, y 0 ) é un punto di massimo locale per la funzione f(x, y) se esiste un intorno I δ (x 0, y 0 ) tale che f(x, y) < f(x 0, y 0 ) per ogni (x, y) I δ (x 0, y 0 ) \ {(x 0, y 0 )}. Un punto (x 0, y 0 ) é un punto di minimo locale per la funzione f(x, y) se esiste un intorno I δ (x 0, y 0 ) tale che f(x, y) > f(x 0, y 0 ) per ogni (x, y) I δ (x 0, y 0 ) \ {(x 0, y 0 )} Teorema. Sia f(x, y) una funzione di due variabili definita su un insieme A R 2. Se (x 0, y 0 ) é un punto interno ad A, se f(x 0, y 0 ) esiste se (x 0, y 0 ) é un estremo della funzione f ALLORA f(x 0, y 0 ) = (0, 0) 0.39 Attenzione! Il contrario non é vero. I punti stazionari non sono tutti punti di massimo o di minimo! In particolare pu capitare che il punto (x 0, y 0 ) sia un punto di massimo se ci si avvicina secondo una certa direzione e sia invece un punto di minimo se ci si avvicina secondo un altra direzione. In questo caso si parla di punto di sella. Esempio: f(x, y) = x 2 y 2 L unico punto stazionario é (0, 0). Tuttavia se consideriamo la funzione parziale f(x, 0) = x 2 il punto (0, 0) é un punto di minimo, se invece consideriamo la funzione parziale f(0, y) = y 2 il punto (0, 0) é un punto di massimo Come determinare se un punto stazionario é un punto di massimo, di minimo o di sella? Consideriamo le tre derivate parziali seconde f xx, f yy e f xy. 9

10 Consideriamo l espressione H(x, y) = f xx f yy f 2 xy Se H(x, y) > 0 e f xx < 0 allora si ha un massimo locale Se H(x, y) > 0 e f xx > 0 allora si ha un minimo locale Se H(x, y) < 0 si ha un punto di sella. Se H(x, y) = 0 allora questo metodo non permette di arrivare a delle conclusioni Consideriamo una curva di livello di una funzione di due variabili reali F (x, y) = k. Per definizione, la curva di livello é l insieme dei punti del piano di coordinate (x, y) tali che F (x, y) abbia un valore costante k, ovvero: F (x, y) k = 0 Un insieme di punti del piano puó essere descritto da una curva nel piano. Come facciamo a esprimere la y in funzione della x ovvero a trovare l equazione y = φ(x) della curva nel piano? 0.42 Esempio. Consideriamo due beni e indichiamo con x la quantitá del primo bene e con y la quantitá del secondo bene. Indichiamo con p x e p y i rispettivi prezzi unitari. La funzione che associa il costo ad ogni paniere di consumo (x, y) é data da: 0.43 F (x, y) = p x x + p y y La curva di livello di questa funzione é data dalle equazioni del tipo F (x, y) = p x x + p y y = k Ad esempio: p x x + p y y = 1000 Cosa indicano le coppie x e y che risolvono questa equazione? Le soluzioni della precedente equazione indicano le combinazioni di consumo che costano esattamente

11 0.44 Cosa indica la funzione che esprime il valore di y che corrisponde ad ogni valore di x tra le soluzioni della precedente equazione? y = φ(x) Indica la quantitá che possiamo acquistare del bene y quando acquistiamo una quantitá x del primo bene, mantenendo costante la spesa al livello Come fare a trovare questa equazione in forma esplicita? In questo caso é semplice: 0.46 y = 1000 p y p x p y x In altri casi é piú difficile, se non a volte impossibile. Esempio: x 2 + y 2 1 = 0 In generale, questa equazione non puó essere esplicitata, puó esserlo localmente, ovvero nell intorno di un punto (x 0, y 0 ) che risolve l equazione. Un teorema permette di calcolare la derivata della y in funzione della x senza passare per la esplicitazione della funzione Teorema della funzione implicita Data una funzione in forma implicita F (x, y) = 0, se esiste un punto (x 0, y 0 ) che risolve l equazione, ovvero se se in tale punto si ha F (x 0, y 0 ) = 0 F y(x 0, y 0 ) 0 allora é possibile esplicitare localmente la funzione ottenendo una funzione y = φ(x) e si ha 11

12 y (x) = F x F y 0.48 Estremi vincolati. Supponiamo di voler cercare il massimo (o il minimo) di una funzione non su tutto il suo insieme di definizione, ma su un sottoinsieme definito da una equazione, ovvero sul sottoinsieme dell insieme di definzione individuato dai punti (x, y) tale che φ(x, y) = 0 Esempio: min f(x, y) = x 2 + y 2 sotto il vincolo φ(x, y) = x + y 1 = In questo caso, si puó risolvere il problema esplicitando il vincolo, ovvero scrivendo: y = 1 x e sostituendo nella funzione obiettivo f(x, y(x)) = x 2 + (1 x) 2 = 2x 2 2x + 1 Riportando il problema della massimizzazione vincolata di una funzione di due variabili alla massimizzazione libera di una funzione di una variabile Cosa fare quando non é possibile esplicitare il vincolo? Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Si voglia massimizzare/minimizzare la funzione sotto il vincolo f(x, y) φ(x, y) = 0 1. Consideriamo la funzione lagrangiana L(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y) 12

13 Cerchiamo i punti stazionari della funzione lagrangiana, ovvero scriviamo e risolviamo il sistema: L x(x, y, λ) = 0 L y(x, y, λ) = 0 φ(x, y) = 0 ovvero f x(x, y) + λφ x(x, y) = 0 f y(x, y) + λφ y(x, y) = 0 φ(x, y) = 0 Le soluzioni (x 0, y 0, λ 0 ) di questo sistema rappresentano dei possibili estremanti per la funzione f condizionata al vincolo φ Si ha inoltre Se f e φ sono dotate di derivate seconde continue, per decidere se i punti stazionari della funzione lagrangiana corrispondono a un massimo o un minimo della f(x, y) sulla curva φ(x, y) = 0 si puó studiare il segno del determinante hessiano orlato 0 φ x(x 0, y 0 ) φ y(x 0, y 0 ) H(x 0, y 0 ) = φ x(x 0, y 0 ) L xx (x 0, y 0 ) L xy (x 0, y 0 ) φ y(x 0, y 0 ) L yx (x 0, y 0 ) L yy (x 0, y 0 ) 0.53 Esempio. Cerchiamo gli estremi della funzione f(x, y) = x 2 +y 2 sotto il vincolo x+y = Scriviamo la funzione lagrangiana: L(x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ(x + y 1) 2. Scriviamo il sistema L x(x, y, λ) = 0 L y(x, y, λ) = 0 φ(x, y) = 0 ovvero 2x + λ = 0 2y + λ = 0 x + y 1 = 0 che risolviamo ottenendo la soluzione (x, y) = ( 1 2, 1 2 ). 13

14 0.54 Per verificare se l estremante ottenuto corrisponde a un minimo o a un massimo, calcoliamo il determinante hessiano orlato nel punto (x, y) = ( 1 2, 1 2 ): 0 φ x(x 0, y 0 ) φ y(x 0, y 0 ) H(x 0, y 0 ) = φ x(x 0, y 0 ) L xx (x 0, y 0 ) L xy (x 0, y 0 ) φ y(x 0, y 0 ) L yx (x 0, y 0 ) L yy (x 0, y 0 ) φ. ovvero H( 1 2, ) = ovvero H( 1 2, 1 2 ) = 4 e quindi il punto (x, y) = ( 1 2, 1 2 ) é un minimo della f condizionata al vincolo 14