Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 29 Gennaio 2016

Transcript

1 Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 29 Gennaio 2016 Nome Cognome Matricola Punteggi 10 cfu Teoria Ex.1 Ex.2 Ex.3 Ex. 4 Ex.5 /6 /5 /5 /5 /5 /5 Tutte le soluzioni vanno copiate in questo fascicolo, non verrà raccolta nessuna brutta copia. I risultati non copiati negli appositi riquadri verranno considerati errati. Ogni affermazione deve essere correttamente giustificata, la presenza di un risultato corretto non è sufficiente. 1

2 TEORIA Definizione di intorno di un numero reale Definizione di limite: lim x x x Teorema della permanenza del segno Formula di Leibniz per gli integrali Definizione di matrice trasposta di una matrice mxn Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica nxn sia semidefinita negativa 2

3 STUDIO FUNZIONE Data la funzione determinare il suo dominio f (x) = 2x + 1 x Identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è positiva ( f (x) > 0) e ove è nulla. Calcolare la derivata prima della funzione Identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è crescente Dire se la funzione è limitata inferiormente e se è limitata superiormente e se f (x) ammette massimo e/o minimo. Sul retro di questo foglio calcolare i limiti rilevanti ed abbozzare un grafico della funzione 3

4 Integrali Calcolare, se esistono, i seguenti integrali 2π 0 5, 0 x < 1, f (x) dx, dove f (x) = x 2, 1 x < π, cos(x), π x. 2 0 ln(x 3) x 3 dx = 4

5 Equazione differenziale Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale y 3t + 4 = 0. Calcolare la soluzione particolare y(x) della suddetta equazione differenziale che soddisfi la condizione y(0) = 6 Calcolare, se esiste, una soluzione costante della seguente equazione differenziale y y = y x 2 5

6 Algebra lineare Dati calcolare: A = b = det(a) = la matrice inversa, se esiste, di A A 1 = risolvere il sistema lineare Ax = b dove x = (x 1, x 2, x 3 ) T 6

7 Funzioni a più variabili Si consideri il problema di ottimizzazione soggetto a scrivere il gradiente di f (x, y) f (x, y) = min f (x, y) = (x 3) 2 + (y 1) 2 (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 1 trovare i punti stazionari di f (x, y) e dire se appartengono alla R.A.={(x, y) R 2 (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 1}, Scrivere l insieme di livello k della funzione f (x, y) Γ k = Disegnare la regione ammissibile rappresentare le curve di livello e risolvere il problema di ottimizzazione. 7

8 Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 29 Gennaio 2016 Nome Cognome Matricola Punteggi 10 cfu Teoria Ex.1 Ex.2 Ex.3 Ex. 4 Ex.5 /6 /5 /5 /5 /5 /5 Tutte le soluzioni vanno copiate in questo fascicolo, non verrà raccolta nessuna brutta copia. I risultati non copiati negli appositi riquadri verranno considerati errati. Ogni affermazione deve essere correttamente giustificata, la presenza di un risultato corretto non è sufficiente. 8

9 TEORIA Definizione di funzione dispari Definizione di limite: lim x 3 + (x 1)3 (x 3) + Teorema di Rolle Teorema di Hôpital II, forma [± / ± ] Definizione di minore di ordine r di una matrice Definizione di gradiente di una funzione f (x, y, z) di 3 variabili reali a valori reali 9

10 STUDIO FUNZIONE Data la funzione determinare il suo dominio f (x) = x + 3 3x Identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è positiva ( f (x) > 0) e ove è nulla. Calcolare la derivata prima della funzione Identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è crescente Dire se la funzione è limitata inferiormente e se è limitata superiormente e se f (x) ammette massimo e/o minimo. Sul retro di questo foglio calcolare i limiti rilevanti ed abbozzare un grafico della funzione 10

11 Integrali Calcolare, se esistono, i seguenti integrali e 2x sin(2x) dx = π/2 0 e 2x sin(2x)dx = x 4 dx = 11

12 Equazione differenziale Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale y (t 2 + 1) = 2ty. Calcolare la soluzione particolare y(x) della suddetta eq. differenziale che soddisfi la condizione y(0) = 10/3 Calcolare, se esiste, una soluzione costante della seguente equazione differenziale y = y2 2y 1 + x 2 12

13 Algebra lineare Dati calcolare: A = b = det(a) = la matrice inversa, se esiste, di A A 1 = risolvere il sistema lineare Ax = b dove x = (x 1, x 2, x 3 ) T 13

14 Funzioni a più variabili Data la funzione g (x, y) = y ln x 2y + xy 2 determinarne il dominio e rappresentarlo graficamente scriverne il gradiente g (x, y) = dire dove la funzione è differenziabile scrivere la matrice hessiana nel generico punto (x, y) trovarne i punti stazionari e caratterizzarli 14