Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.

Transcript

1 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco) Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 6y + 9y = 5xe x.

2 . Si consideri il problema di Cauchy: y + x y +x = x y (0) = a. Prima di risolverlo, stabilire l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione (in base alla teoria). b. Risolvere il problema di Cauchy. Curve e integrali di linea. Si consideri l arco di ellisse γ di equazioni parametriche ( ) [ r (t) = cos t, sin t, per t 0, π ]. Si calcoli l integrale di linea γ xyds.

3 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione log (5 x y f (x, y) = ) arctan y x Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: f (x, y) = sin(x y 4 ) y 5 (x +y ) per (x, y) (0, 0) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è continua in (0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.

4 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x + y ) ( + x y). 4

5 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco) Equazioni differenziali. a. Risolvere il problema di Cauchy y + 9y = 0 y (0) = y (0) =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 9y = 4 sin (x). 5

6 . Si consideri il problema di Cauchy: y + y cotg x = x y ( π ) = 0 a. Prima di risolverlo, stabilire l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione (in base alla teoria). b. Risolvere il problema di Cauchy. Curve e integrali di linea. Si consideri l arco di curva γ di equazioni parametriche r (t) = ( e t cos t, e t sin t, t ) per t [0, log ]. Calcolare l integrale di linea γ e z ds. 6

7 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione y x + x y f (x, y) = log (x + y ) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: x 5 y 9 per (x, y) (0, 0) f (x, y) = (x +y 4 ) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo caso vale oppure no la formula del gradiente. c. Stabilire se f è differenziabile nell origine. [Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest ordine] 7

8 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x y ) ( x + y). 8

9 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco) Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 6y = e x cos (x). Nell applicare il metodo di somiglianza, si richiede di usare il metodo dell esponenziale complesso. 9

10 . Risolvere il problema di Cauchy: y = y x+ y (0) = 5 precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: r (t) = ( R Ch t, R Sh t ), t [, ] con R > 0 fissato. Stabilire se è regolare o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari sulla curva. Calcolare la lunghezza della curva. 0

11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f (x, y) = log (4 x y) arcsin (x + y ) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: e x y +y f (x, y) = x +y per (x, y) (0, 0) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo caso vale oppure no la formula del gradiente. c. Stabilire se f è differenziabile nell origine. [Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest ordine]

12 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x + y ) ( + x y ).

13 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco) Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = 4x.

14 . Si risolva il problema di Cauchy: y = y tan x y (0) = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazione polare: ( ) θ ρ = R sin per θ [ π, π]. a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari della curva (non i valori singolari del parametro). b. Calcolarne quindi la lunghezza. 4

15 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione log (x +y ) f (x, y) = x + y 5 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: x 6 y 9 cos x per (x, y) (0, 0) f (x, y) = (x +y 4 ) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è continua in (0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta. 5

16 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = (x y) ( + x y ). 6

17 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 6y + 9y = 5xe x. Es Tot. Punti α + 6α + 9 = 0 α = Integrale generale dell omogenea: z (x) = e x (c + c x). Soluzione particolare dell equazione completa. Metodo di somiglianza, cerco y (x) = e x (Ax + B) y (x) = e x ( Ax B + A) y (x) = e x (4Ax + 4B 4A) e x (4Ax + 4B 4A) + 6 ( Ax B + A) + 9 (Ax + B)} = 5xe x (4Ax + 4B 4A) + 6 ( Ax B + A) + 9 (Ax + B) = 5x 4A A + 9A = 5 4B 4A B + 6A + 9B = 0 A = 5 A = 5 B + A = 0 B = 0 Una soluzione particolare dell equazione completa è allora e l integrale generale della completa è: y (x) = e x (5x 0) = 5e x (x ) y (x) = e x (c + c x) + 5e x (x ). 7

18 . Si consideri il problema di Cauchy: y + x y +x = x y (0) = a. Prima di risolverlo, stabilire l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione (in base alla teoria). b. Risolvere il problema di Cauchy. a. Equazione lineare del prim ordine, il coeffi ciente a (x) = x +x è continuo per x, il più ampio intervallo contenente x = 0 in cui a (x) è continua è (, ), e questo è l intervallo in cui la soluzione del problema sarà definita e C. b. Risolviamo: a (x) = x +x A (x) = log + x = log ( + x ) perché nell intervallo considerato è + x > 0. } y (x) = e log(+x ) c + e log(+x ) x dx = c + + x } + x x dx Imponiamo ora la condizione iniziale = y (0) = c + 4 = + x c + ( + x ) } 4/. 4 c = 4 e la soluzione è y (x) = + x 4 + ( + x ) } 4/ 4. Si consideri l arco di ellisse γ di equazioni parametriche ( ) [ r (t) = cos t, sin t, per t 0, π ]. Si calcoli l integrale di linea γ xyds. 8

19 ( r (t) = ) sin t, cos t, r (t) = sin t + cos t π xyds = cos t sin t sin t + cos tdt γ = 0 π 0 cos t sin t + sin tdt sin t = u; cos tdt = du; u [0, ] = 0 ( ) = /. u + u du = [ ( + u ) /] 0 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione log (5 x y f (x, y) = ) arctan y x Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No Dev essere: 5 x y > 0 log ( 5 x y ) 0 x 0 arctan y x 0 Quindi: 5 e x + y < 5 x 0, y 0 9

20 E = (x, y) R : 5 e x + y < 5, x 0, y 0 } E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: f (x, y) = sin(x y 4 ) y 5 (x +y ) per (x, y) (0, 0) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è continua in (0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta. a. sin ( x y 4) y 5 (x + y ) = sin ( x y 4) (x + y ) y 5 (x + y ) = f + f. La funzione f è positivamente omogenea di grado e continua fuori dall origine, perciò f (x, y) (0, 0) per (x, y) (0, 0). Quanto a f, sin ( x y 4) f (x, y) = (x + y ) x y 4 (x + y ) = g (x, y), dove la funzione g è positivamente omogenea di grado e continua fuori dall origine, perciò g (x, y) (0, 0) per (x, y) (0, 0). Di conseguenza anche f (x, y) (0, 0) per (x, y) (0, 0), perciò f è continua in (0, 0). 0

21 b. quindi esiste f x (0, 0) = 0; f (x, 0) = 0, f (0, y) = y5 y 4 = y, quindi esiste f y (0, 0) =. Perciò f è derivabile nell origine con f (0, 0) = (0, ). c. La funzione è differenziabile nell origine se f (x, y) + y x + y 0 per (x, y) (0, 0). f (x, y) + y x + y = Ora, sin(x y 4 ) y 5 (x +y ) + y x + y = sin ( x y 4) y 5 + y ( x + y ) (x + y ) 5/ = g (x, y). g (x, x) = sin ( x 6) x 5 + x ( x ) = sin ( ) x 6 + 6x 5 (x ) 5/ 5/ x 5 6x5 5/ x 5 ± 6 per x 5/ 0±, in particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y) (0, 0), perciò f non è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x + y ) ( + x y). Sommando membro a membro fx = x ( + x y) + ( x + y ) = 0 f y = y ( + x y) ( x + y ) = 0 (x + y) ( + x y) = 0 = y = x o y = x +. Se y = x, la prima equazione dà x ( + x) + x = 0 x ( + x) = 0 = x = 0, x = che dà i punti stazionari: ( (0, 0),, ).

22 Se y = x +, la prima equazione dà: x + y = 0, che dà ancora (0, 0). Calcoliamo la matrice hessiana. fx = x + x xy + y f y = y + xy y x f xx = + 6x y f xy = x + y f yy = + x 6y [ ] + 6x y x + y Hf (x, y) = x + y + x 6y Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 Hf (0, 0) = definita positiva, 0 Hf [ ] + x y x + y =. x + y + x y (0, 0) è punto di minimo relativo. (, ) [ = (, ) ] indefinita, punto di sella.

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali Es Tot. Punti. a. Risolvere il problema di Cauchy y + 9y = 0 y (0) = y (0) =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 9y = 4 sin (x). a. Integrale generale dell omogenea: Risolviamo il problema di Cauchy: α + 9 = 0 α = ±i z (x) = c cos (x) + c sin (x). z (x) = c sin (x) + c cos (x). z (0) = z (0) = = c = c =, c = z (x) = cos (x) sin (x). b. Metodo di somiglianza. Poiché il termine noto 4 sin (x) risolve l equazione omogenea, cerchiamo y (x) = x (c cos (x) + c sin (x)) y (x) = c cos (x) + c sin (x) + x ( c sin (x) + c cos (x)) y (x) = ( c sin (x) + c cos (x)) + x ( 9c cos (x) 9c sin (x)) ( c sin (x) + c cos (x))+x ( 9c cos (x) 9c sin (x))+9x (c cos (x) + c sin (x)) = 4 sin (x)

24 c sin (x) + c cos (x) = sin (x) c = c = 0 c =, c = 0 Integrale generale dell equazione completa: y (x) = x cos (x) y (x) = x cos (x) + c cos (x) + c sin (x).. Si consideri il problema di Cauchy: y + y cotg x = x y ( π ) = 0 a. Prima di risolverlo, stabilire l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione (in base alla teoria). b. Risolvere il problema di Cauchy. Equazione lineare del prim ordine. Il più ampio intervallo contenente x = π in cui cotg x è definita e continua è (0, π). a (x) = cotg x A (x) = a (x) dx = cos x sin x dx = log sin x = log (sin x) perché nell intervallo considerato è sin x > 0. Integrale generale: } y (x) = e c log(sin x) + e log(sin x) xdx = sin x c + } x sin xdx = c + sin x x cos x}. sin x Imponiamo la condizione iniziale y ( π ) = 0 e abbiamo 0 = c +, c =, + sin x x cos x y (x) = sin x Curve e integrali di linea. Si consideri l arco di curva γ di equazioni parametriche r (t) = ( e t cos t, e t sin t, t ) per t [0, log ]. 4

25 Calcolare l integrale di linea γ e z ds. r (t) = ( e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), ). r (t) = e t + 4 γ ds = e t + 4dt log [ e z ds = e t + 4e t dt = 0 ( e t + 4 ) log /] 4 0 = [ (e t + 4 ) ] / log = [ () / 6 /] = ( ) 6 / Sia E R l insieme di definizione della funzione y x + x y f (x, y) = log (x + y ) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No Dev essere: x + y > 0 log ( x + y ) 0 y x 0 5

26 Quindi: E = (x, y) R : x + y >, x + y 4, y x } E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: x 5 y 9 per (x, y) (0, 0) f (x, y) = (x +y 4 ) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo caso vale oppure no la formula del gradiente. c. Stabilire se f è differenziabile nell origine. [Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest ordine] a. quindi f (x, 0) = f (0, 0) =. x x5 (x ) = x f (0, y) = y9 (y 4 ) = y, f (0, 0) =. y 6

27 In particolare, f è derivabile in (0, 0), con f (0, 0) = (, ). b-c. Posto v= (cos θ, sin θ), per calcolare D v f (0, 0) consideriamo g (t) = f (t cos θ, t sin θ) = (t cos θ)5 (t sin θ) 9 ( (t cos θ) + (t sin θ) 4) = t cos5 θ t 5 sin 9 θ ( cos θ + t sin 4 θ ). (t cos θ) 5 (t sin θ) 9 = ((t cos θ) + (t sin θ) 4) Se cos θ 0, per t 0 è Se cos θ = 0, per t 0 è Per confronto: g (t) t cos5 θ cos 4 = t cos θ, θ D v f (0, 0) = g (0) = cos θ g (t) = t5 sin 9 θ t 4 sin 8 θ = t sin θ D v f (0, 0) = g (0) = sin θ = ± per θ = π. f (0, 0) (cos θ, sin θ) = (, ) (cos θ, sin θ) = cos θ sin θ, che non è uguale per ogni θ al valore D v f (0, 0). Pertanto la formula del gradiente non vale. In particolare, f non è differenziabile. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x y ) ( x + y). Sommando membro a membro si ha fx = x ( x + y) ( x y ) = 0 f y = y ( x + y) + ( x y ) = 0 x ( x + y) y ( x + y) = 0 (x y) ( x + y) = 0 che dà y = x o y = x. Sostituendo nella prima equazione y = x si ha x = 0, x = 0 che dà il punto stazionario (0, 0). 7

28 Sostituendo nella prima equazione y = x si ha x (x ) = 0 x = 0 che dà il punto stazionario ( ),. Quindi i punti stazionari sono i due detti. x = Calcoliamo la matrice hessiana. fx = x x + xy + y f y = y + xy y + x f xx = 6x + y f xy = x + y f yy = + x 6y [ ] [ ] 6x + y x + y x + y x + y Hf (x, y) = =. x + y + x 6y x + y + x y Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 Hf (0, 0) = indefinita, 0 Hf (0, 0) è punto di sella. ( ) [ ] 0, = indefinita, 0 ( ), punto di sella. 8

29 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 6y = e x cos (x). Es Tot. Punti Nell applicare il metodo di somiglianza, si richiede di usare il metodo dell esponenziale complesso. α + α 6 = 0 Integrale generale dell omogenea: α = ± 5 = z (x) = c e x + c e x.. Cerco una soluzione particolare dell equazione completa col metodo di somiglianza: e x cos (x) = Re e x( +i) quindi cerco una soluzione particolare dell equazione del tipo w + w 6w = e x( +i) w (x) = Ae x( +i) w (x) = A ( + i) e x( +i) w (x) = A ( + i) e x( +i) } Ae x( +i) ( + i) + ( + i) 6 = e x( +i) A 8 6i + i 6} = A = 5 i = 5 + i 9

30 w (x) = 5 + i ex( +i) y (x) = Re = e x 6 ( 5 + i ex( +i) ) = e x 6 (5 cos (x) + sin (x)) Integrale generale della completa: y (x) = c e x + c e x e x 6 Re (5 i) (cos (x) + i sin (x)) (5 cos (x) + sin (x)).. Risolvere il problema di Cauchy: y = y x+ y (0) = 5 precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione a variabili separabili. Soluzioni costanti y = ±, che non soddisfano la condizione iniziale. Integrale generale: dy y = dx x + ( y ) dy = log x + + c y + log y y + = log x + + c, per c R. Discutiamo i moduli. Per x in un intorno di 0 e y in un intorno di 5 si ha ( ) y log = log (x + ) + c y + che richiede di porre le condizioni x > e < y <. Imponendo la condizione y (0) = 5 abbiamo c = ( ) log 5 8 = log 4 = log 5 0

31 y log y + = log (x + ) y (x + ) = y + che è soluzione nell intervallo (, + ). y (x + ) = y + 4 y (x) = (x+) 4, + (x+) 4 Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: r (t) = ( R Ch t, R Sh t ), t [, ] con R > 0 fissato. Stabilire se è regolare o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari sulla curva. Calcolare la lunghezza della curva. r (t) = ( R Ch t Sh t, R Sh t Ch t ) = R Sh t Ch t (Ch t, Sh t) r (t) = R Sh t Ch t Ch t + Sh t. Poiché r (t) = 0 per t = 0, r (0) = (R, 0) è un punto singolare della curva, che è regolare a tratti. L = = 6R = R r (t) dt = 0 R Sh t Ch t Ch t + Sh tdt Sh t Ch t + Sh tdt = 6R [ ( + Sh ) / ]. [ ( + Sh t ) /] 4 0 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f (x, y) = log (4 x y) arcsin (x + y ) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No

32 Dev essere: 4 x y > 0 x + y arcsin ( x + y ) 0 Quindi (poiché la parabola y = 4 x sta tutta sopra la circonferenza): E = (x, y) R : 0 < x + y } E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: e x y +y f (x, y) = x +y per (x, y) (0, 0) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo caso vale oppure no la formula del gradiente. c. Stabilire se f è differenziabile nell origine. [Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest ordine] f (x, 0) = ex x x per x 0,

33 quindi f (0, 0) =. x f (0, y) = e y + y y = ( y + y4 + o ) y 4 + y y = y4 + o ( y 4) y = y + o ( y ) y per y 0, f (0, 0) = 0. y In particolare, f è derivabile in (0, 0), con f (0, 0) = (, 0). b-c. Posto v= (cos θ, sin θ), per calcolare D v f (0, 0) consideriamo g (t) = f (t cos θ, t sin θ) = e(t cos θ) (t sin θ) + (t sin θ) = + (t cos θ) (t sin θ) + (t sin θ)4 + o ( t 4) + (t sin θ) t = (t cos θ) + (t sin θ)4 + o ( t 4) t Se cos θ 0, per t 0 è Se cos θ = 0, per t 0 è Per confronto: g (t) t cos θ t D v f (0, 0) = g (0) = cos θ g (t) = (t sin θ)4 + o ( t 4) t t sin 4 θ D v f (0, 0) = g (0) = 0 per θ = ± π. f (0, 0) (cos θ, sin θ) = (, 0) (cos θ, sin θ) = cos θ, che non è uguale per ogni θ al valore D v f (0, 0). Pertanto la formula del gradiente non vale (in particolare, f non è differenziabile). 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = ( x + y ) ( + x y ). fx = x ( + x y ) + x ( x + y ) = x ( + x ) = 0 f y = y ( + x y ) y ( x + y ) = y ( y ) = 0

34 La prima equazione dà x = 0, mentre la seconda dà y = 0 o y = ±. Punti stazionari: ( (0, 0), 0, ± ). Calcoliamo la matrice hessiana. fx = x + 4x f y = y 4y Hf (x, y) = f xx = + x f xy = 0 f yy = y [ ] [ ] + x 0 + 6x 0 0 y = 0 6y. Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 Hf (0, 0) = definita positiva, 0 Hf (0, 0) è punto di minimo relativo. ( 0, ± ) [ ] 0 = indefinita, 0 ( 0, ± ) punti di sella. 4

35 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Equazioni differenziali. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = 4x. Es Tot. Punti Integrale generale dell omogenea: ( z (x) = e x α + α + = 0 c cos Metodo di somiglianza, cerco α = ± i 7 ( ) ( )) 7 7 x + c sin x. y (x) = ax + bx + c y (x) = ax + b y (x) = a a + (ax + b) + ( ax + bx + c ) = 4x a = 4 a + b = 0 a + b + c = 0 a = b = 4 + c = 0, c = Soluzione particolare dell equazione completa: y (x) = x x. 5

36 Integrale generale dell equazione completa: ( ( ) ( )) y (x) = e x 7 7 c cos x + c sin x + x x.. Si risolva il problema di Cauchy: y = y tan x y (0) = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione a variabili separabili. Soluzione costante: y = 0, che non soddisfa la condizione iniziale. Altre soluzioni (integrale generale): dy y = sin x cos x dx = log cos x + c y = log cos x + c y per c R. Discutiamo il modulo. Poiché nell equazione compare tan x, l intervallo più ampio contenente x = 0 in cui tan x è definita è ( π, ) π, in cui cos x > 0. Perciò = log (cos x) + c. y Imponendo la condizione y (0) = abbiamo e la soluzione è: = c = log (cos x) + y y (x) = log (cos x) + La soluzione è definita nel più ampio intervallo contenunto in ( π, π ) in cui è log (cos x) + 0, quindi log (cos x) cos x e arccos e < x < arccos e 6

37 Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazione polare: ( ) θ ρ = R sin per θ [ π, π]. a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari della curva (non i valori singolari del parametro). b. Calcolarne quindi la lunghezza. ρ = R sin ( θ ) cos ( θ ) ρ + (ρ ) dθ = R ( θ ds = sin 4 ( ) ( θ = R sin dθ = R θ ) sin dθ ) ( ) ( ) θ θ + sin cos dθ Poiché sin ( θ ) = 0 per θ = 0 e ρ (0) = 0, l origine è punto singolare della curva. π ( L = ds = R θ π ( ) [ ( )] π θ θ sin dθ = R sin dθ = R cos = 4R. γ π ) 0 0 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione log (x +y ) f (x, y) = x + y 5 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No Dev essere: x + y 5 0 x + y > 0; log (x + y ) 0. Quindi E = (x, y) R : < x + y }. 7

38 E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: x 6 y 9 cos x per (x, y) (0, 0) f (x, y) = (x +y 4 ) 0 per (x, y) = (0, 0). a. Stabilire se f è continua in (0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0), calcolando in caso affermativo f (0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta. a. x 6 y 9 cos x (x + y 4 ) x 6 (x + y 4 ) + y 9 cos x (x + y 4 ) 9 x6 (x ) + y (y 4 ) x + y 0, e per il teorema del confronto f (x, y) (0, 0) per (x, y) (0, 0), quindi f è continua. b. f (x, 0) = x6 (x ) = x quindi esiste f x (0, 0) = 0; f (0, y) = y9 (y 4 ) = y, 8

39 quindi esiste f y (0, 0) =. Perciò f è derivabile nell origine con f (0, 0) = (0, ). c. La funzione è differenziabile nell origine se f (x, y) + y 0 per (x, y) (0, 0). x + y f (x, y) + y x + y x 6 y 9 cos x = + y (x +y 4 ) = x6 y 9 cos x + y ( x + y 4) x + y (x + y 4 ) = g (x, y). x + y Ora, g (x, x) = x6 x 9 cos x + x ( x + x 4) (x + x 4 ) x = x6 x 9 cos x + x 5 + x 7 + x 9 (x + x 4 ) x 5 x x 4 x ± per x 0 ±, in particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y) (0, 0), perciò f non è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f (x, y) = (x y) ( + x y ). fx = ( + x y ) + x (x y) = 4x x y y + = 0 f y = ( + x y ) y (x y) = 4y xy x = 0 Sommando membro a membro si ha x x y + y xy = 0 x (x y) y (x y) = 0 ( x y ) (x y) = 0 Sostituendo nella prima equazione y = x si ha = 0 impossibile, y = ±x mentre sostituendo nella prima equazione y = x si ha 4x + x + x + = 0 8x = x = 9

40 che dà il punto stazionario: (, ). Calcoliamo la matrice hessiana. fx = 4x x y y + f y = 4y xy x f xx = x 6xy f xy = x y f yy = y 6xy [ ] [ ] x Hf (x, y) = 6xy x y 4x x y y = xy x y 6xy x y 4y. xy Studiamo ora la natura del punto stazionario: ( Hf, ) [ ] = definita positiva, (, ) è punto di minimo relativo. 40