Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali

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1 Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali In questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) = 1 x y, in particolare in alto è rappresentato il grafico e in basso il dominio della funzione definito da: D f = { (x, y) R : x + y 1 }.

2 Esempio di curve di livello In questo lucido è rappresentato il grafico di una funzione reale di due variabili reali e alcune sue curve di livello.

3 Alcune esemplificazioni del concetto di limite In questo lucido sono rappresentati i grafici delle funzioni f(x, y) = xy3 x +y + 1 e g(x, y) = xy x +y + 4. Per la prima si ha che lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 1 mentre non esiste il limite della seconda per (x, y) (0, 0), infatti questa, ristretta ad un qualsiasi intorno dell origine (nel lucido è segnato in rosso un intorno di raggio 0.1), assume sempre tutti i valori reali compresi tra 3 e 5.

4 In questo lucido, in alto è rappresentata una sezione del grafico rappresentato nel lucido precedente. Da questa sezione si dovrebbe vedere meglio che in ogni intorno dell origine la funzione assume tutti i valori reali compresi tra 3 e 5. In particolare è segnato in rosso un intorno dell origine di raggio 0.1 e la parte del grafico corrispondente. In basso è rappresentato il grafico di una funzione che tende a per (x, y) (0, 0): f(x, y) = xy3 x +y +. Si vede abbastanza chiaramente che avvicinandosi lungo qualunque curva (in particolare in figura ne sono evidenziate 3), i valori della funzione tendono sempre a.

5 In questo lucido, in alto è rappresentato il grafico della funzione x +y + 4, che non ammette limite per (x, y) (0, 0). In particolare sono evidenziate sul piano xy tre curve che tendono all origine. Sul grafico sono evidenziti in blu i valori che la funzione assume in corrispondenza di queste tre curve, in particolare si può osservare che, avvicinandosi all origine, i valori della funzione tendono a limiti diversi (3, 4 e 5) a seconda della curva scelta. In basso è rappresentato il grafico della funzione: f(x, y) = xy x +y + 4. Avvicinandosi all origine lungo qualsiasi retta (nel grafico ne sono segnate tre) i valori della funzione tendono 4 a 4, mentre avvicinandosi lungo la parabola segnata in rosso, i valori della funzione tendono a 5, per cui anche questa funzione non ammette limite per (x, y) (0, 0). xy

6 Derivate direzionali Nella prima parte di questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) = 4 + x + 4xy. In nero sul piano xy è rappresentata la retta passante per il punto ( ( 1, ) 1 e parallela al versore v =, ) ( 1 + t ) descritta da: 1 + t, t R. mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla retta. Nella seconda parte del lucido è riportato il grafico della funzione reale di variabile reale g(t) = t + t che si ottiene restringendo la funzione f(x, y) alla retta precedente. Essendo g derivabile in t = 0, la funzione f ammette derivata lungo la direzione v = (, ) nel punto ( 1, ) 1 e si ha Dv f ( 1, ) 1 = 4.

7 Nella prima parte di questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) = 6 + x 1 + 4xy. In nero sul piano xy è rappresentata la retta passante per il punto ( ( 1, ) 1 e parallela al versore v =, ) ( 1 + t ) descritta da: 1 + t, t R. mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla retta. Nella seconda parte del lucido è riportato il grafico della funzione reale di variabile reale g(t) = 8 + t + 3 t + t che si ottiene restringendo la funzione f(x, y) alla retta precedente. Essendo g non derivabile in t = 0 (si vede chiaramente la presenza di un punto angoloso nel grafico) a causa della presenza del modulo, la funzione f non ammette derivata lungo la direzione v = (, ) nel punto ( 1, ) 1.

8 Derivabilità e continuità Nella prima parte di questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: { xy x f(x, y) = +y + 4 per (x, y) per (x, y) = 0. ( ) In nero sul piano xy è rappresentata la retta passante per il punto (0, 0) e parallela al versore v = 1 5, 5 descritta da: ( ) t 5 1, t R, mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla retta. Nella seconda t 5 parte del lucido è riportato il grafico della funzione reale di variabile reale g v (t) = 8 5t 5+16t + 4 che si ottiene restringendo la funzionef(x, y) alla retta precedente. Si vede che g v è derivabile in t = 0. Inoltre g v sarebbe stata derivabile in t = 0 per ogni scelta del versorev. Nonostante questo fatto si vede chiaramente nella prima parte del lucido che f(x, y) non è continua in (0, 0) (f (x, x) 5 per x 0 + ).

9 Differenziabilità e piano tangente Nella prima parte di questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: { xy x f(x, y) = +y + 4 per y) 0 4 per (x, y) = 0 e un piano passante per il punto (0, 0, 4). Si vede chiaramente che tale piano non è tangente al grafico e che in generale non esiste un piano tangente al grafico nel punto (0, 0, 4). Nella seconda parte del lucido è riportato il grafico della funzione f(x, y) = 1 + x + y, e due piani tangenti rispettivamente nei punti (0, 0, 1) e (0.5, 0.5, 1.5).

10 Nella prima parte di questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da f(x, y) = 1 + x + y, il piano tangente al grafico nel punto (0, 0, 1) e la distanza (in blu) tra il piano tangente e il grafico. Si può notare che per (x, y) (0, 0) la distanza tra il grafico e il piano tangente tende a zero più velocemente della distanza tra (x, y) e (0, 0). Nella seconda parte del lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da f(x, y) = 1 + x + y, un piano passante per il punto (0, 0, 1) e la distanza (in blu) tra il piano e il grafico. Si può notare che per (x, y) (0, 0) la distanza tra il grafico e il piano tangente tende a zero, però non tende a zero più velocemente della distanza tra (x, y) e (0, 0), e quindi il piano non è tangente al grafico.

11 Proprietà geometriche del gradiente In questo lucido è rappresentato il grafico di una funzione reale di due variabili reali. Sul piano xy sono segnate due curve di livello e il vettore gradiente (in rosso) in tre diversi punti delle curve di livello. Si può notare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello e individua la direzione di massima pendenza del grafico.

12 Estremanti e punti stazionari Nella prima parte del lucido è rappresentato il grafico di una funzione che presenta un massimo globale a alcuni massimi locali. Nella seconda parte è rappresentato il grafico di un massimo locale ingrandito. Inoltre in blu sono rappresentati i valori della funzione calcolata lungo due curve passanti per il punto di massimo e parallele rispettivamente all asse delle x e delle y.

13 Nella prima parte del lucido si può osservare il grafico di una funzione differenziabile che presenta un massimo. In corrispondenza del punto di massimo è stato rappresentato anche il piano tangente che ovviamente risulta essere orizzontale. Nella seconda parte è rappresentao il grafico di una funzione con un punto di sella e il piano tangente in tale punto.

14 Punti di sella e integrali Nella prima parte del lucido si può osservare il grafico di una funzione differenziabile che presenta un punto di sella. In corrispondenza del punto di sella è stato rappresentato anche il piano tangente che ovviamente risulta essere orizzontale. Nella seconda parte è rappresentao il grafico di una funzione con evidenziato il volume compreso tra il grafico e il piano xy. Tale volume (con segno) rappresenta l integrale doppio della funzione sul rettangolo considerato.