1. Richiami. v = x 2 + y 2.

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1 Gli elementi del prodotto cartesiano 1 Richiami R 2 = x, y R} sono detti vettori Ogni vettore v è una coppia ordinata ed i numeri reali x e y sono detti le componenti di v In particolare si denota con 0 = (0, 0) il vettore nullo In R 2 sono definite le seguenti operazioni che lo rendono uno spazio vettoriale euclideo (1) La somma di due vettori v 1 = (x 1, y 1 ) e v 1 = (x 1, y 1 ) è il vettore v 1 + v 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (2) La moltiplicazione di un vettore v = per uno scalare λ R è il vettore λv = (λx, λy) (3) La norma di un vettore v = è il numero La norma soddisfa le seguenti proprietà v 0 v = 0 v = 0 λv = λ v v = x 2 + y 2 v + w v + w (disuguaglianza triangolare) per ogni v, w R 2 e λ R (4) Il prodotto scalare di due vettori v 1 = (x 1, y 1 ) e v 2 = (x 2, y 2 ) è il numero v 1 v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 Il prodotto scalare soddisfa le seguenti proprietà v 1 v 2 = v 2 v 1 v 1 (λv 2 ) = λ(v 1 v 2 ) v 1 (v 2 + v 3 ) = (v 1 v 2 ) + (v 1 v 3 ) v 1 v 1 = v 1 2 v 1 v 2 v 1 v 2 (disuguaglianza di Schwarz) per ogni v 1, v 2, v 3 R 2 e λ R Nel piano euclideo, in cui sono stati scelti un origine O ed un sistema di assi cartesiani, ogni vettore v è rappresentato geometricamente da segmento orientato il cui primo estremo è l origine O Il secondo estremo del vettore individua univocamente un punto P del piano di modo che la coppia ordinata indica sia le componenti del vettore v = sia le coordinate del punto P = In particolare il vettore nullo 0 individua l origine O Viceversa due punti del piano, P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ), individuano un vettore il cui primo estremo è P 1 e il secondo estremo è P 2 Tale vettore, denotato P 2 P 1, ha componenti P 2 P 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) Infine, dato un punto P 1 = (x 1, y 1 ) ed un vettore v = (h, k), il secondo estremo del vettore v, il cui primo estremo è in P 1, individua un punto, denotato con P 1 + v, le cui coordinate sono P 1 + v = (x 1 + h, y 1 + k) Quanto visto si estende naturalmente al prodotto cartesiano di n copie di R R n = v = (x 1,, x n ) x 1 R,, x n R} 1

2 2 2 Elementi di topologia La distanza (euclidea) tra due punti del piano, P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ), è definita come e si ha (1) (2) Dato P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 e δ > 0 l insieme P 1 P 0 = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 x 1 x 0 P 1 P 0 y 1 y 0 P 1 P 0 B(P 0, δ) = P R 2 P 1 P 0 < δ} = R 2 (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 < δ 2} è detto palla o intorno (aperto) di centro P 0 e raggio δ In particolare P 0 B(P 0, δ) per ogni δ > 0 Le seguenti definizioni esprimono le proprietà di vicinanza di un punto ad un insieme Sia A R 2 un insieme Def 1 Un punto P 0 R 2 è interno ad A se esiste δ > 0 tale che B(P 0, δ) A, in altre parole se δ > 0 tale che P R 2 e P P 0 < δ si ha P A L insieme dei punti interni di A si chiama parte interna e si denota con A Poiché un punto interno appartiene necessariamente ad A, si ha A A L insieme A è detto aperto se tutti i suoi punti sono interni ad A, cioè, se A= A Def 2 Un punto P 0 R 2 è di accumulazione per A se per ogni δ > 0 si ha (B(P 0, δ) \ P 0 }) A, in altre parole se δ > 0 P A tale che 0 < P P 0 < δ L insieme A è detto chiuso se tutti i punti di accumulazione di A appartengono ad A Si può dimostrare che A è aperto se e solo se il suo complementare CA è chiuso Def 3 L insieme A è limitato se esiste M > 0 tale che A B(O; M) dove O è l origine, cioè se P O M P A o equivalentemente x 2 + y 2 M 2 A Le definizioni date si estendono a R n in modo naturale

3 3 Funzioni continue Una funzione f : A R n R m è una legge che assegna ad ogni punto P A uno ed un solo elemento Q = f(p ) R m L insieme A è detto dominio ed R m codominio Il sottoinsieme del codominio f(p ) R m P A} è detto immagine di f Se m = 1, f è detta funzione scalare, se m > 1 f è detta vettoriale, infine se n = m, f è detta campo In generale, si hanno n-variabili indipendenti P = (x 1,, x n ) R n e m-variabili dipendenti Q = (f 1 (P ),, f m (P )) R m, di modo che la funzione Q = f(p ) si può scrivere come f : y 1 = f 1 (x 1,, x n ) y m = f m (x 1,, x n ) Le m funzioni scalari f 1 : A R,, f m : A R sono le componenti della funzione f, hanno tutte lo stesso dominio A R n e lo stesso codominio R Una funzione scalare (di due variabili indipendenti) è una funzione z = f con dominio A R 2 e codominio R L equazione z = f definisce un insieme di R 3 (x, y, z) R 3 A, z = f} chiamato grafico della funzione Dato c R l equazione f = c definisce un insieme di R 2 A c = R 2 A, f = c}, chiamato insieme (o linea) di livello di f di quota c Una curva (nel piano) è una funzione γ(t) = (x(t), y(t)) con dominio A R e codominio R 2 Le funzioni x(t) e x(t) sono dette componenti della curva e sono funzioni scalari con dominio A R e codominio R La curva γ si denota spesso con x(t) γ : t A y(t) L immagine di γ γ(a) = R 2 t A } è detta traccia o traiettoria della curva Un campo (bidimensionale) è una funzione F = (u, v) con dominio A R 2 e codominio R 2 Le funzioni u e v sono dette componenti del campo e sono funzioni scalari con dominio A R 2 e codominio R La definizione di funzione continua è la naturale estensione di quella data per funzioni di una variabile Def 4 Sia f : A R n R m una funzione Dato P 0 A, f è continua in P 0 se ɛ > 0 δ > 0 tale che se P A e P P 0 < δ allora f(p ) f(p 0 ) < ɛ La funzione f è continua in B A se f è continua in tutti i punti di B, f è detta continua se è continua sul suo dominio Equivalentemente f è continua in P 0 se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che P A B(P 0, δ) implica f(p ) B(f(P 0 ), ɛ) Se z = f è una funzione scalare con dominio A R 2, f è continua in (x 0, y 0 ) A se ɛ > 0 δ > 0 tale che A e (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ implica f f(x 0, y 0 ) < ɛ Una classe particolare di funzioni continue sono le funzioni infinitesime 3

4 4 Def 5 Una funzione ω : A R n R m è infinitesima (in zero) se 0 A, ω(0) = 0 ed ω è continua in A In altre parole se ɛ > 0, δ > 0 tale che se v A e v < δ allora ω(v) < ɛ In particolare, una funzione f è continua in P 0 se e solo se f(p ) = f(p 0 ) + ω(p P 0 ), dove ω è infinitesima La continuità delle funzioni vettoriale può essere ricondotto allo studio della continuità di funzioni scalari poiché vale il risultato seguente Teo 1 Una funzione f : A R n R m, f(p ) = (f 1 (P ),, f m (P )) è continua in P 0 A se e solo se tutte le sue componenti f 1 : A R,, f m : A R sono continue in P 0 In particolare, una curva γ : x(t) y(t) è continua se e solo se sono continue le funzioni x(t) e y(t) ed un campo F = (u, v) è continuo se e solo se sono continue le funzioni u e v La proposizione seguente mostra la continuità di alcune funzioni elementari Prop 1 Le seguenti funzioni scalari con dominio R 2 sono continue π 1 = x proiezione sull asse x π 2 = y proiezione sull asse y f a = x + y f m = xy In molti casi la continuità di una funzione scalare è conseguenza del seguente teorema, della continuità delle funzioni scalari di una variabile e della precedente proposizione Teo 2 (Continuità della funzione composta) Siano f : A R n R m e g : B R m R p funzioni continue tali che per ogni P A, f(p ) B Allora la funzione composta g(f(p )), definita da A in R p, è continua Il precedente teorema vale anche localmente Q 0 = f(p 0 ), allora g(f(p )) è continua in P 0 Se f(p ) è continua in P 0 e g(q) è continua in Esempio 1 La funzione f = x y è continua sul suo dominio A = R 2 y 0 } Infatti poiché π 2 = y e φ(t) = 1 t sono continue rispettivamente in R2 e R\0}, essendo π 2 (A) R\0}, la funzione g = φ(π 2 ) = 1 y è continua in A; la funzione vettoriale G = (x, 1 y ) è continua in A poiché le sue componenti π 1 = x e g = 1 y sono continue in A; poiché G e f m = xy sono continue rispettivamente in A e R 2, essendo G(A) R 2, la funzione f = f m (π 1 (x), g) = f m (G) è continua in A Si dimostra facilmente, come conseguenza dei due precedenti risultati che somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni scalari continue sono funzioni continue sul loro dominio naturale

5 31 Proprietà delle funzioni continue scalari I seguenti due teoremi valgono solo per funzioni scalari, poiché solo R è un insieme ordinato Teo 3 (Teorema di Weierstrass) Sia f : A R 2 R una funzione continua con A chiuso e limitato, allora esistono P 1 A e P 2 A tali che f(p 1 ) f(p ) f(p 2 ) P A I valori f(p 1 ) = min P A f(p ) e f(p 2 ) = max P A f(p ) sono detti, rispettivamente, minimo e massimo assoluto di f su A La condizione che A sia chiuso e limitato non si può eliminare Esempio 2 La funzione f = x 2 + y 2 con R 2 è continua e sup (x,y) R 2 f = +, poiché lim x + f(x, x) = + Quindi f non ammette massimo assoluto in R 2 1 La funzione f = con A = R 2 x 2 + y 2 < 1 } è continua e sup 1 x 2 y 2 (x,y) R 2 f = +, poiché lim x 1 f(x, 0) = + Quindi f non ammette massimo assoluto in A La definizione che segue estende a R 2 il concetto di intervallo Def 6 Un insieme A R 2 è connesso per archi se, per ogni P 0, P 1 A, esiste una curva γ continua x = x(t) γ : t [0, 1] y = y(t) tale che P 0 = (x(0), y(0)), P 1 = (x(1), y(1)) e (x(t), y(t)) A per ogni t [0, 1], cioè esiste una curva continua γ di estremi γ(0) = P 1 e γ(1) = P 2, la cui traccia è contenuta tutta in A Teo 4 (Teorema dei valori intermedi) Sia f : A R n R una funzione continua con A connesso per archi Dato c R tale che inf P A f(p )} < c < sup P A f(p )}, allora esiste P 0 A per cui f(p 0 ) = c Sia z = f continua con dominio A connesso per archi, allora il teorema dei valori intermedi assicura che se inf f < c < sup f, l equazione f = c ammette almeno una soluzione (x 0, y 0 ) A Ovviamente se c < inf f o c > sup f l equazione f = c non ha soluzioni Se c = inf f, rispettivamente c = sup f, l equazione f = ha soluzione solo se f ammette minimo assoluto, risp massimo assoluto In particolare, se f è continua ed A è connesso per archi, chiuso e limitato, l immagine di f è un intervallo chiuso f(a) = [min f(p ), min f(p )] P A P A La condizione che A sia connesso per archi non può eliminare Esempio 3 Sia f = 1 xy con A = R 2 xy 0 } La funzione è continua, inf (x,y) A f = e sup (x,y) A f = + poiché Tuttavia l equazione 1 xy lim f(x, x) = + lim x 0 = 0 non ha soluzioni f(x, x) = x 0 5

6 6 4 Funzioni differenziabili Trattiamo prima il caso di funzioni scalari di due variabili Ricordiamo che un piano in R 3 passante per il punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) è l insieme dei punti P = (x, y, z) che soddisfano l equazione a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 in forma vettoriale ˆn ( P P 0 ) = 0, dove ˆn = (a, b, c) 0 è il vettore normale al piano scegliere c = 1 e l equazione diventa z = z 0 + a(x x 0 ) + b(y y 0 ) Per tali piani la corrispondente equazione parametrica è x = x 0 + h y = y 0 + k z = z 0 + a h + b k Se il piano non è parallelo all asse z, si può h, k R, o, in forma vettoriale, P = P 0 + ˆv h + ŵ k P = (x, y, z) dove ˆv = (1, 0, a) e ŵ = (0, 1, b) sono i vettori direzionali Il piano è, quindi, generato dalla retta P = P 0 + ˆv h, intersezione del piano con il piano parallelo al piano xz, e la retta P = P 0 + ŵ k, intersezione del piano con il piano parallelo al piano yz (entrambe le rette passano per P 0 ) La definizione di funzione differenziabile traduce l idea geometrica di funzione il cui grafico ammette piano tangente Def 7 Sia z = f una funzione scalare con dominio A R 2 Dato (x 0, y 0 ) A punto interno di A, f è differenziabile in (x 0, y 0 ) se esiste un vettore (a, b) R 2 tale che f = f(x 0, y 0 ) + a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ω(x x 0, y y 0 ) con ω infinitesima In tal caso si pone (x 0, y 0 ) = a derivata parziale di f rispetto a x (x 0, y 0 ) = b derivata parziale di f rispetto a y ( f(x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ), ) (x 0, y 0 ) gradiente di f Il piano in R 3 di equazione z = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(y y 0 ) si chiama piano tangente al grafico di f nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) R 3 differenziabile in ogni punto di A, si dice che f è differenziabile Se A è aperto ed f è Il piano tangente passa per il punto P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) = (P 0, f(p 0 )) con vettore normale ˆn = ( (x 0, y 0 ), (x 0, y 0 ), 1) e vettori direzionali (1, 0, a) e (1, 0, b) Dalle definizione di funzione differenziabile si ha che [ ] f f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(y y 0 ) ω(x x 0, y y 0 ) = (x 0, y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0 = (x 0, y 0 ) Il modulo del numeratore è la distanza (nello spazio) tra il punto (x, y, f) sul grafico della funzione ed il corrispondente punto (x, y, f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(y y 0 )) sul piano

7 tangente, mentre il denominatore è la distanza (nel piano) tra e (x 0, y 0 ) La condizione che ω sia infinitesima implica che il rapporto tra tali distanze è arbitrariamente piccolo se e (x 0, y 0 ) sono sufficientemente vicini La differenziabilità implica che in un intorno di (x 0, y 0 ) la funzione f è approssimabile con il polinomio P = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(y y 0 ) (di grado al più uno) ed il resto R = f P = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ω(x x 0, y y 0 ) va a zero più velocemente di (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Posto P 0 = (x 0, y 0 ) e P =, la definizione di funzione differenziabile diviene f(p ) = f(p 0 ) + f(p 0 ) (P P 0 ) + P P 0 ω(p P 0 ) oppure posto h = x x 0 e k = y y 0 f = f(x 0, y 0 )+ (x 0, y 0 )(x x 0 )+ (x 0, y 0 )(y y 0 )+ (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ω(x x 0, y y 0 ) La differenziabilità implica la continuità Teo 5 (Condizione necessaria per la differenziabilità I) Sia f : A R 2 R una funzione differenziabile in P 0 = (x 0, y 0 ) A, allora f è continua in (x 0, y 0 ) Il seguente teorema dà una condizione necessaria per la differenziabilità e fornisce un modo per calcolare le derivate parziali Teo 6 (Condizione necessaria per la differenziabilità II) Sia f : A R 2 differenziabile in (x 0, y 0 ) A, allora esistono finiti (3) (4) f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lim = x x 0 x x 0 (x 0, y 0 ) f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) lim = y y 0 y y 0 (x 0, y 0 ) 7 R una funzione Le condizioni date sono solo necessarie Se esistono finiti i limiti (3) e (4), si dice che f è derivabile in (x 0, y 0 ) Inoltre l esistenza del limite (3) finito equivale al fatto che f(x, y 0 ), pensata come funzione della sola x, mentre y = y 0 è costante, è derivabile in x 0 (nel senso della funzioni di una variabile) e vale (x 0, y 0 ) = df(x, y 0), dx x=x0 dove df dx x=x0 denota la derivata ordinaria calcolata in x 0 Analogamente l esistenza del limite (4) finito equivale al fatto che f(x 0, y), pensata come funzione della sola y, mentre x = x 0 è costante, è derivabile e vale (x 0, y 0 ) = df(x, y 0) dy y=x0 I teoremi sulle funzioni derivabili di una variabile implicano che somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni (di due variabili) derivabili è derivabile Il seguente esempio mostra come la derivabilità sia solo una condizione necessaria Esempio 4 La funzione f : R 2 R f = xy x 2 + y 2 (0, 0) 0 = (0, 0)

8 8 non è continua in (0, 0) e, quindi, non è differenziabile in (0, 0) Tuttavia f è derivabile in (0, 0) e vale (0, 0) = 0 (0, 0) = 0 Proviamo che f non è continua Supponiamo, per assurdo, che sia continua in (0, 0) e consideriamo la curva x(t) = t γ : t R y(t) = t Poiché x(t) = t ed y(t) = t sono continue in t = 0 e (x(0), y(0)) = (0, 0), per il Teorema 2 la funzione composta t 2 f(x(t), y(t)) = t 2 + t 2 = 1 t t = 0 dovrebbe essere continua in 0, il che è assurdo D altra parte f(x, 0) f(0, 0) lim x 0 x lim y 0 per cui f è derivabile in (0, 0) f(0, y) f(0, 0) y x 0 = lim x 0 (x 2 + 0)x = 0 0 y = lim y 0 (0 + y 2 )y = 0, Il seguente teorema dà un altra condizione necessaria che contiene la precedente come caso particolare Teo 7 (Condizione necessaria per la differenziabilità III) Sia f : A R 2 differenziabile in P 0 = (x 0, y 0 ) A Per ogni vettore v = (v 1, v 2 ) R 2 esiste finito f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) (5) lim = t 0 t (x 0, y 0 )v 1 + (x 0, y 0 )v 2 = f(p 0 ) v R una funzione Anche in questo caso le condizioni sono solo necessarie Se esiste finito il limite (5) si pone v (x f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) f(p 0 + tv) f(p 0 ) 0, y 0 ) = lim = lim t 0 t t 0 t e si chiama derivata direzionale lungo il vettore v = (v 1, v 2 ) nel punto (x 0, y 0 ) In particolare, v (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) se v = (1, 0) v (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) se v = (0, 1), per cui il teorema 6 è un caso particolare del teorema 7 Il seguente esempio mostra che l esistenza di tutte le derivate direzionali sia solo una condizione necessaria Esempio 5 La funzione f : R 2 R x 2 y f = x 2 + y 2 (0, 0) 0 = (0, 0) ammette derivate direzionali lungo ogni vettore v = (v 1, v 2 ) R 2 in (0, 0) v1 2v 2 (0, 0) = v v (v 1, v 2 ) (0, 0) v2, 2 0 (v 1, v 2 ) = (0, 0)

9 ma non è differenziabile in (0, 0) Infatti, dato v = (v 1, v 2 ) (0, 0) f(tv 1, tv 2 ) f(0, 0) (tv 1 ) 2 tv 2 lim = lim t 0 t t 0 ((tv 1 ) 2 + (tv 1 ) 2 ) t = v2 1 v 2 v1 2 + v2 2 In particolare si ha che (0, 0) = 0 (se v = (1, 0)) e (0, 0) = 0 (se v = (0, 1)) Tuttavia f non è differenziabile in (0, 0) Infatti, se lo fosse, l equazione (5) implicherebbe v (0, 0) = 0 per ogni v Il seguente teorema dà una condizione sufficiente per la differenziabilità, espressa in termini di continuità delle derivate parziali Teo 8 Sia f : A R 2 R con A aperto Se sono soddisfatte le seguenti tre condizioni (1) f è derivabile in ogni punto A, (2) la funzione è continua in A, (3) la funzione è continua in A, allora f è differenziabile in A Una funzione f che soddisfa le tre condizioni del teorema si dice che è di classe C 1 in A e si scrive f C 1 (A) Dalle proprietà delle funzioni continue e derivabili segue che somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni di classe C 1 è derivabile e, quindi, differenziabile Esempio 6 Sia f : R 2 R la funzione f = x 2 + y 2 = P O 2 (distanza al quadrato di P dall origine O) poiché f è derivabile e le derivate parziali = 2x e = 2y R2 sono funzioni continue, f è di classe C 1 (R 2 ) e, quindi, è differenziabile In particolare, dato un punto P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 il gradiente vale f(x 0, y 0 ) = 2(x 0, y 0 ) in forma vettoriale f(p 0 ) = 2(P 0 O) e la differenziabilità assicura l esistenza del piano tangente al grafico di f nel punto (x 0, y 0, x y2 0 ) di equazione z = x y x 0 (x x 0 ) + 2y 0 (y y 0 ) = 2x 0 x + 2y 0 y (x y 2 0) e la derivata direzionale lungo ogni vettore v = (v 1, v 2 ) R 2 in P 0 v (x 0, y 0 ) = 2x 0 v 1 + 2y 0 v 2 in forma vettoriale v (P 0) = 2(P 0 O) v La definizione si estende naturalmente a funzioni scalari f : A R n R in modo ovvio: il gradiente ( f)(p 0 ) è un vettore di R n le cui n componenti sono le derivate parziali ( ( f)(p 0 ) = (P 0 ),, ) (P 0 ) 1 n Anaologamente per funzioni vettoriali si ha la seguente definizione Def 8 Una funzione f : A R n R m, f(p ) = (f 1 (P ),, f m (P )) è differenziabile in P 0 A se esiste una matrice m n, denotata J f (P 0 ), tale che f(p ) = f(p 0 ) + J f (P 0 ) (P P 0 ) + P P 0 ω(p P 0 ) dove ω è infinitesima La matrice J f (P 0 ) è detta la matrice jacobiana di f in P 0 Analogamente, se A è aperto si dice che f è differenziabile se f è differenziabile in ogni punto di A [risp di classe C 1 (A)] 9

10 10 Nella precedente equazione i vettori sono pensati come vettori colonna e J f (P 0 ) (P P 0 ) è la moltiplicazione della matrice J f (P 0 ) per il vettore colonna P P 0 Nel caso di un campo F = (u, v) in R 2 la definizione diventa ( u v ) = ( u(x0, y 0 ) v(x 0, y 0 ) ) + ( a b c d ) ( ) x x0 + ( (x x y y 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ω1 (x x 0, y y 0 ) 0 ω 2 (x x 0, y y 0 ) Il problema della differenziabilità di una funzione a valori vettoriali si riduce a quello di studiare la differenziabilità delle sue componenti Teo 9 Una funzione f : A R n R m, f(p ) = (f 1 (P ),, f m (P )) è differenziabile in P 0 A se e solo se tutte le componenti f 1 : A R,, f m : A R sono differenziabili in P 0 La matrice jacobiana è data da J f (P 0 ) = f 1(P 0 ) f m (P 0 ) = 1 1 n (P 0 ) 1 (P 0 ) m 1 (P 0 ) m n (P 0 ) In particolare f è di classe C 1 (A) se tutte le sue componenti f 1,, f m sono di classe C 1 (A) Si noti che, se f è una funzione scalare per cui m = 1, si ha J f = f In particolare una curva x(t) γ : t A y(t) è differenziabile se e solo se le componenti x(t) e y(t) sono derivabili (nel senso ordinario di funzioni di una variabile) e la matrice jacobiana di γ (pensata come vettore riga) γ (t) = (x (t), y (t)) t A, si chiama vettore tangente (o vettore velocità) dove x (t) e y (t) sono le derivate ordinarie Analogamente un campo Φ = (u, v) è differenziabile se e solo se sono differenziabili le funzioni u e v La matrice jacobiana è una matrice 2 2 data da J Φ = ( u v ) = ( u v u v ) Il seguente teorema assicura che la composizione di due funzioni di differenziabili è differenziabile Teo 10 (Derivazione in catena) Sia f : A R 2 R una funzione differenziabile in A aperto (1) Sia ϕ : ]a, b[ R R una funzione derivabile tale che f ]a, b[ per ogni A La funzione composta g = ϕ(f) con dominio A e codominio R è differenziabile e vale g = ϕ (f) g = ϕ (f) cioè g(p ) = ϕ per ogni P = A (2) Sia γ una curva γ : x(t) y(t) t ]a, b[ (f(p )) f(p ) differenziabile tale che (x(t), y(t)) A per ogni t ]a, b[ La funzione composta ψ(t) = f(γ(t)) = f(x(t), y(t)) con dominio ]a, b[ e codominio R è derivabile e vale (6) ψ (t) = (x(t), y(t)) x (t) + (x(t), y(t)) y (t) = f(γ(t)) γ (t) per ogni t ]a, b[ )

11 11 (3) Sia Φ :  R2 R 2 Φ( x, ŷ) = (x( x, ŷ), y( x, ŷ)) un campo differenziabile nell aperto  tale che Φ( x, ŷ) A per ogni ( x, ŷ)  La funzione composta f( x, ŷ) = f(φ( x, ŷ)) = f(x( x, ŷ), y( x, ŷ)) con dominio  e codominio R è differenziabile e vale f ( x, ŷ) = (x( x, ŷ), y( x, ŷ)) x f ( x, ŷ) = in forma vettoriale (x( x, ŷ), y( x, ŷ)) ŷ f( x, ŷ) = f(φ( x, ŷ)) J Φ ( x, ŷ) ( x, ŷ) + ( x, ŷ) + (x( x, ŷ), y( x, ŷ)) ( x, ŷ) x (x( x, ŷ), y( x, ŷ)) ( x, ŷ) ŷ per ogni ( x, ŷ)  dove f(φ( x, ŷ)) J Φ( x, ŷ) è la moltiplicazione (riga per colonna) di un vettore riga f per la matrice jacobiana J Φ I tre casi di derivazione in catena enunciati sono conseguenza del seguente teorema Date due funzioni f : A R n R m e g : B R m R p con f(a) B Se f è differenziabile in P 0 A e g è differenziabile in Q 0 = f(p 0 ) B, la funzione composta h(p ) = g(f(p )) con dominio A e codominio R p è differenziabile in P 0 e vale J h (P 0 ) = J g (Q 0 ) J f (P 0 ), dove la moltiplicazione è quella righe per colonne tra la matrice p m J g (Q 0 ) ed la matrice m n J f (P 0 ) Esempio 7 Sia g = x 2 + y 2 = P 0 con dominio R 2 Poiché la funzione f = x 2 + y 2 è differenziabile in R 2 con f = (2x, 2y) = 2(P O) e la funzione ϕ(t) = t è derivabile in ]0, + [ con φ (t) = 1 2, per il teorema di derivazione in catena g è differenziabile in A = t R 2 x 2 + y 2 0 } e vale g x = g y = x 2 + y 2 cioè ( g)(p ) = P 0 P 0 x 2 + y 2 Nell origine g non è derivabile poiché non esistono le derivate parziali in (0, 0): infatti le funzioni g(x, 0) = x e g(0, y) = y non sono derivabili in 0 1 Analogamente, la funzione h = = 1 = con dominio R 2 x 2 + y 2 0 } è x 2 +y 2 differenziabile e, poiché ( t 1 2 ) = 1 2( t) 3, vale P 0 ( h)(p ) = P 0 P 0 3 = 1 P 0 P 0 2 P 0 Esempio 8 Sia γ(t) = (x 0 + v 1 t, y 0 + v 2 t) = P 0 + vt, t R, la retta passante per P 0 = (x 0, y 0 ) con direzione v = (v 1, v 2 ) La curva è differenziabile e γ (t) = (v 1, v 2 ) = v per ogni t R Se f : A R 2 R è differenziabile in P 0 A, allora la funzione composta ψ(t) = f(x 0 + v 1 t, y 0 + v 2 t) è derivabile in 0 e l equazione (6) con t = 0 dà che, ovviamente, coincide con (5) ψ (0) = f(x 0 + v 1 t, y 0 + v 2 t) t=0 = f(p 0 ) v

12 12 Esempio 9 Sia Φ : R 2 R 2 il campo Φ( x, ŷ) = (a x + bŷ, c x + dŷ) dove a, b, c, d R Essendo x( x, ŷ) = a x + bŷ ed y( x, ŷ) = c x + dŷ funzioni di classe C 1 (R 2 ), allora Φ C 1 (R 2 ) e ( ) a b J Φ ( x, ŷ) = ( x, ŷ) R c d 2 Se ad bc 0, un teorema dell algebra lineare assicura che Φ è bigettiva e definisce una trasformazione di coordinate nel piano x = a x + bŷ vecchie: nuove: ( x, ŷ) y = c x + dŷ e, con questa notazione, J Φ ( x, ŷ) = ( bx bx by by ) ( a b = c d Sia f : A R 2 R differenziabile in A aperto, la funzione composta (7) f( x, ŷ) = f(a x + bŷ, c x + dŷ) = f ha dominio  = ( x, ŷ) R2 (a x + bŷ, c x + dŷ) A}, che risulta aperto La regola di derivazione in catena mostra che f( x, ŷ) è differenziabile e f x f ŷ ( x, ŷ) = ( x, ŷ) = x ŷ ( x, ŷ) + ( x, ŷ) + x ŷ ) ( x, ŷ) = ( x, ŷ) = a + c b + d dove e indicano le derivate parziali rispetto alla prima e seconda variabile di f, pensata come funzione delle variabili vecchie, mentre f b bx e f b by indicano le derivate parziali rispetto alla prima e seconda variabile di f, pensata come funzione delle variabili nuove ( x, ŷ) (come suggerisce l equazione (7)) Tuttavia è utile usare due simboli diversi per f, funzione delle vecchie variabili, ed f, funzione delle nuove variabili, per evitare confusione notazionale, come mostra il seguente esempio Siano a = 1, b = 0, c = 1 e d = 1, allora x = x y = x + ŷ ŷ ma f x = + f ŷ = Il concetto di derivate di ordine successivo si definisce in modo ricorsivo Def 9 Sia f : A R 2 R una funzione scalare con A aperto tale che esistano le derivate parziali e in A Se tali derivate sono a loro volte derivabili in A, queste quattro derivate seconde si denotano con o, come matrice 2 2, 2 f 2 = ( ) 2 f = ( ) H f = ( 2 f 2 f = ( 2 f 2 2 f ) = 2 ( ) 2 f 2 f 2 ),

13 detta matrice hessiana di f Se, inoltre, tutte e quattro le derivate seconde sono continue, si dice che f è una funzione di classe C 2 e si scrive f C 2 (A) Il seguente risultato mostra che per le funzioni di classe C 2 la matrice hessiana è simmetrica Teo 11 (Teorema di Schwarz) Sia f : A R 2 R con A aperto ed f C 2 (A), allora 2 f = 2 f A Il seguente teorema motiva l introduzione della matrice hessiana Teo 12 (Formula di Taylor di ordine 2) Sia f : A R 2 R con A aperto ed f C 2 (A) Dato P 0 = (x 0, y 0 ) A, per ogni A f = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(y y 0 ) + dove ω è infinitesima ( x x 0 y y 0 ) H f (x 0, y 0 ) ( x x 0 y y 0 ) + [(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ] ω(x x 0, y y 0 ) La quantità Q(x x 0, y y 0 ) = ( x x 0 y y 0 ) H f (x 0, y 0 ) ( x x 0 ) è la forma quadratica y y 0 associata alla matrice hessiana ed è esplicitamente da Q(x x 0, y y 0 ) = 2 f 2 (x 0, y 0 ) (x x 0 ) f (x 0, y 0 ) (x x 0 )(y y 0 ) + 2 f 2 (x 0, y 0 ) (y y 0 ) 2 41 Proprietà delle funzioni scalari differenziabili La seguente proposizione fornisce un interpretazione geometrica del gradiente Prop 2 Sia f : A R 2 R, f differenziabile in P 0 A e f(p 0 ) 0 (1) Dato n R 2 con n = 1, sia θ l angolo compreso tra le semirette orientate individuate dai vettori n e f(p 0 ), allora v (P 0) = f(p 0 ) cos θ In particolare, v è massima se n ha la stessa direzione e verso di f(p 0), è nulla se n è perpendicolare a f(p 0 ) e minima se n ha la stessa direzione e verso opposto di f(p 0 ) (2) Sia A c l insieme di livello di quota c = f(p 0 ) Data una curva γ A c = R 2 A, f = f(x 0, y 0 ) } P 0 A c γ : x(t) y(t) t < 1 differenziabile tale che γ(t) A c per ogni t < 1 e γ(0) = P 0, allora f(p 0 ) γ (0) = 0 In particolare la retta tangente all insieme di livello A c nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) ha equazione (x 0, y 0 )(x x 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) = 0 in forma vettoriale f(p 0 ) (P P 0 ) = 0 Poiché f(p 0 ) > 0, il vettore f(p 0 ) individua la direzione di massima crescita per f e risulta perpendicolare all insieme di livello di f passante per il punto P 0 13

14 14 Esempio 10 Sia f = x 2 + y 2 = P 0 2 e P 0 = (x 0, y 0 ) (0, 0) L insieme di livello A c = R 2 x 2 + y 2 = x } y2 0 di quota c = x y0 2 è una circonferenza di raggio c Ricordando che f(p 0 ) = 2(x 0, y 0 ) = 2(P 0 O) (0, 0), la funzione ha la massima crescita nella direzione e verso del vettore P 0 0, applicato in P 0, e la retta tangente in P 0 ad A c ha equazione 2x 0 (x x 0 ) + 2y 0 (y y 0 ) = 0 cioè (P P 0 ) (P 0 O) = 0 In (0, 0) il gradiente è nullo e l insieme di livello di quota 0 si riduce ad un punto Il seguente teorema caratterizza le funzioni che hanno gradiente nullo in tutti i punti di A Prop 3 Sia f : A R 2 R con A aperto e connesso per archi Se f differenziabile in A e = 0 A in forma vettoriale f = 0, = 0 allora f è una funzione costante, cioè esiste c R tale che f = c per ogni A La condizione che A sia connesso per archi non si può eliminare affinché la tesi sia vera Esempio 11 Sia A = R 2 x 0, y R } e f : A R 1 se x < 0 f = 2 se x > 0 La funzione f ha gradiente nullo, ma non è costante La seguente proposizione dà una condizione necessaria per l esistenza di estremi relativi Prop 4 (condizione necessaria del prim ordine per estremi relativi) Sia f : A R 2 R, f differenziabile in P 0 = (x 0, y 0 ) A Se esiste δ > 0 tale che allora f f(x 0, y 0 ) A B((x 0, y 0 ), δ) [rispettivamente f f(x 0, y 0 ) A B((x 0, y 0 ), δ)] (x 0, y 0 ) = 0 (x 0, y 0 ) = 0 in forma vettoriale f(x 0, y 0 ) = 0 Il valore f(x 0, y 0 ) è detto minimo [risp massimo] relativo di f in A e (x 0, y 0 ) punto di minimo [risp massimo] relativo La condizione data è solo necessaria Se (x 0, y 0 ) = 0 e (x 0, y 0 ) = 0, (x 0, y 0 ) è detto un punto critico per f in A Esempio 12 La funzione f = y 2 x 2 ha come punti critici solo l origine (0, 0) f(0, 0) = 0 e f > 0 = f(0, 0) f < 0 = f(0, 0) se y > x se y < x, Tuttavia, per cui f cambia segno in ogni palla di centro (0, 0) e, quindi, (0, 0) non è un punto di estremo relativo La seguente proposizione dà una condizione sufficiente affinchè un punto critico sia di estremo relativo A tal fine sia det H f = 2 f 2 2 f 2 2 f 2 f il determinante della matrice hessiana

15 Prop 5 (condizione sufficiente del second ordine per estremi relativi) Data f : A R 2 R con A aperto ed f C 2 (A), sia (x 0, y 0 ) A un punto critico di f (1) Se det H f (x 0, y 0 ) > 0 e 2 f (x 2 0, y 0 ) > 0, allora (x 0, y 0 ) è un punto di minimo relativo di f (2) Se det H f (x 0, y 0 ) > 0 e 2 f (x 2 0, y 0 ) < 0, allora (x 0, y 0 ) è un punto di massimo relativo di f (3) Se det H f (x 0, y 0 ) < 0, (x 0, y 0 ) non è né un punto di massimo né un punto di minimo relativo di f (si dice che (x 0, y 0 ) è un punto di sella di f) Il teorema di Schwarz assicura che 2 f (x 0, y 0 ) = 2 f (x 0, y 0 ) Se det H f (x 0, y 0 ) > 0, allora 2 [ f 2 (x 0, y 0 ) 2 f 2 ] 2 2 (x f 0, y 0 ) > (x 0, y 0 ) 0 per cui 2 f (x 2 0, y 0 ) e 2 f (x 2 0, y 0 ) hanno lo stesso segno e sono entrambe non nulle Se det H f (x 0, y 0 ) = 0, le condizioni del second ordine non permettono di stabilire se un punto critico sia un punto di estremo relativo o meno Esempio 13 Le funzioni f = x 4 + y 4 e g = x 4 y 4 sono di classe C 1 (R 2 ), hanno come unico punto critico l origine (0, 0) e come matrice hessiana nell origine la matrice nulla ( ) 0 0 H f (0, 0) = H g (0, 0) = 0 0 Tuttavia, (0, 0) è un punto di minimo assoluto per f poiché x 4 + y 4 0 e (0, 0) è un punto di sella per g poiché g(x, 0) = x 4 ha un minimo assoluto in x = 0 e g(0, y) = y 4 ha un massimo assoluto in y = 0 Esempio 14 (retta dei minimi quadrati) Siano (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) n coppie di punti in R 2 tali che x i x j per almeno una coppia di indici i j Data una retta y = ax + b, non parallela all asse delle ordinate, l errore quadratico associato alla retta è n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2 La retta dei minimi quadrati è definita come la retta y = a 0 x + b 0 che minimizza tale errore i=1 15 Per calcolare i punti critici, siano x i = x i x ŷ i = y i y Tenuto conto che n i=1 x i = 0 e n i=1 ŷi = 0, E(a, b) = x = 1 n y = 1 n n i=1 x i n y i i=1 n (a x i ŷ i ) 2 + n(ax + b y) 2 Ne segue che i punti critici di E(a, b) sono le soluzioni del sistema E(a, b) n = 2 (a x i ŷ i ) x i + 2n(ax + b y)x = 0 a i=1 E(a, b) = 2n(ax + b y) = 0 b i=1

16 16 Poiché n i=1 x2 i > 0, si ricava che l unico punto critico è n i=1 a 0 = x iŷ i n i=1 x i 2 b 0 = y a 0 x Calcoliamo la matrice hessiana in (a 0, b 0 ) ( 1 n H f (a 0, b 0 ) = 2n n i=1 x2 i + x2 x x 1 Poiché n i=1 x2 i > 0, det H f (a 0, b 0 ) > 0 e gli elementi sulla diagonale principale sono strettamente positivi Ne segue che (a 0, b 0 ) è un punto di minimo relativo Si vede che in effetti è un punto di minimo assoluto osservando che E(a, b) E(a, b 0 ) E(a 0, b 0 ) (la prima disuguaglianza è ovvia, la seconda segue osservando che il grafico di E(a, b 0 ) in funzione di a è una parabola con la concavità rivolta verso l alto e vertice (a 0, E(a 0, b 0 )) In conclusione La retta dei minimi quadrati è data da e l errore quadratico è E(a 0, b 0 ) = n y = 1 ) n n i=1 (x i x)(y i y) ( x 2 i x ) 2 (x x) + y 1 n n i=1 1 n n i=1 (x i x) 2 1 n n i=1 (y i y) 2 ( 1 n n i=1 (x i x) 2 1 n n i=1 (x i x) (y i y) ) 2 I teoremi dati si estendono in modo naturale al caso di funzioni scalari di n variabili In particolare, la condizione sufficiente del second ordine risulta la seguente Ricordiamo che, poiché la matrice hessiana H f (x 0, y 0 ) è una matrice n n simmetrica per il teorema di Schwarz, un teorema dell algebra lineare assicura che è diagonalizzabile e gli autovalori sono le soluzioni reali del polinomio di grado n dove I è la matrice identità n n det (H f (x 0, y 0 ) λi) = 0, Teo 13 Se f : A R n R con A aperto ed f C 2 (A), un punto critico (x 0, y 0 ) A è di minimo [risp massimo] relativo se la matrice hessiana ha tutti gli autovalori strettamente positivi [risp strettamente negativi]