LO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO

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Fabriciano Morelli
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1 LO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO Studiando le funzioni reali di una sola variabile reale yf(), abbiamo imparato a distinguere alcune loro caratteristiche fondamentali quali, ad esempio, la continuità e la derivabilità. Ricordo, brevemente ed in maniera informale, che una funzione si dice continua in un punto quando il suo grafico si presenta, in corrispondenza di quel punto, sostanzialmente regolare cioè senza buchi né salti. Il grafico della funzione in fig. è evidentemente regolare in corrispondenza di, quindi la funzione è continua in tale punto. In fig., invece, in corrispondenza di, vi è un evidente salto della funzione che, in tale punto, è quindi chiaramente discontinua fig. - - fig In precedenza, per rendere in maniera intuitiva il concetto di continuità di una funzione, l ho associato all idea di regolarità del suo grafico. Ed in effetti proprio ragionando sulla regolarità si può comprendere, ancora in manierà intuitiva ma sicuramente significativa, il fondamentale concetto di derivabilità. Prendiamo in esame allo scopo i due grafici che seguono: fig. - - fig. - - Andrea Prevete spring

2 Osservando le caratteristiche della curve rappresentanti le funzioni in corrispondenza del punto, non è possibile astenersi dall osservare che in qualche modo la curva di fig. appare più regolare, più liscia nonostante entrambe le funzioni siano in quel punto continue (non ci sono né buchi, né salti). In che modo possiamo formalizzare l idea vaga appena espressa di liscezza del grafico di una funzione? La parola chiave è direzione! Proviamo a chiederci che direzione hanno le due curve quando vale. Allo scopo consideriamo delle porzioni di curva sufficientemente piccole aventi per centro il punto in esame fig. - - fig. - - Affidandoci ancora all intuizione è evidente che nel caso di fig. la curva, nel tratto compreso nel cerchio, è quasi indistiguibile dal segmento di retta tratteggiato. E lo sarebbe ancora di più restringendo ulteriormente il cerchio di osservazione, quindi considerando porzioni di curva via via più piccole! Ma dare una retta vuol dire dare una direzione, quindi la curva di fig. ha in corrispondenza del punto una ben precisa direzione. Non altrettanto si può dire della curva di fig.. Per quanto piccolo rendessimo il cerchio avremmo sempre due distinti comportamenti, uno a sinistra e l altro a destra del punto in questione. Quindi non potremmo assegnare alla curva in quel punto una precisa direzione! Possiamo ragionevolmente concludere che l essere liscia è una proprietà ben definita di una curva rappresentante una funzione, basta verificare la possibilità di assegnare una direzione nel senso che abbiamo appena visto. Ma questo è proprio quello che dobbiamo intendere quando leggiamo che una funzione è derivabile in corrispondenza di un certo valore di! Vuol dire proprio che la curva rappresentante la funzione è liscia nel punto corrispondente a quel valore di! In effetti quando una funzione è derivabile in un punto il valore della sua derivata fornisce proprio quella che sopra abbiamo chiamato la direzione della curva rappresentativa o, come spesso si preferisce dire, la sua pendenza. Quindi derivata minore di zero, pendenza negativa, funzione decrescente in quel punto. Derivata maggiore di zero, pendenza positiva, funzione crescente in quel punto. Derivata uguale a zero? Direzione parallela all asse delle quindi pendenza nulla, funzione né crescente, né decrescente.. stazionaria. I punti per cui la funzione ha questo comportamento vengono detto, appunto, stazionari o di stazionarietà per la funzione. Facciamo ancora appello all intuizione per arrivare ad una conclusione fondamentale. Allo scopo prendiamo di nuovo in esame la fig.. Il punto è di stazionarietà per la funzione rappresentata, dato che la pendenza della curva è in corrispondenza evidentemente nulla. Analizzando un intorno del punto, per esempio quello che in figura corrisponde al cerchio evidenziato, si conclude che comunque ci si sposti a sinistra o a destra di la funzione assumerà valori più piccoli. In altre Andrea Prevete spring

3 parole in la funzione ha un picco, un valore di massimo locale o relativo (locale o relativo perché non si parla di tutta la curva, ma solo di un intorno del punto ). Diamo uno sguardo d assieme a quanto visto con l aiuto della prossima figura... Qui la funzione decresce Questo è un punto stazionario ed in corrispondenza di esso la funzione ha un minimo locale Qui la funzione cresce Questo è un punto stazionario ed in corrispondenza di esso la funzione ha un massimo locale FUNZIONI RAZIONALI FRATTE Fra le funzioni studiate rivestono una particolare importanza le razionali fratte. Rianalizziamo, brevemente, alcuni step caratterizzanti il loro studio. Sia data la funzione razionale fratta: 9 y Il grado del numeratore è pari a quello del denominatore, quindi c è un asintoto orizzontale. Determiniamolo: 9 ± ± Quindi l asintoto cercato è y. Determiniamo i punti di discontinuità. ± 9 Valutiamo il comportamento della funzione a destra ed a sinistra di. Andrea Prevete spring

4 9 9 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quindi è un asintoto verticale e la funzione diverge positivamente quando si avvicina ad da sinistra, diverge negativamente quando si avvicina ad da destra. Procedendo in modo analogo è possibile ricavare lo stesso comportamento per. Divergenza positiva a sinistra, negativa a destra. Determiniamo infine i punti in cui il grafico della funzione taglia l asse delle ascisse. 9 asintoto verticale asintoto verticale asintoto orizzontale Consideriamo ora la funzione: y E ancora, evidentemente, una razionale fratta, ma adesso il numeratore ha grado maggiore del denominatore. Quindi ci aspettiamo un comportamento divergente agli estremi del dominio. Verifichiamolo. Determiniamo ora i punti di discontinuità. Andrea Prevete spring

5 -, quindi un solo punto di discontinuità in corrispondenza del valore. Studiamo il comportamento della funzione a sinistra ed a destra di questo punto L asintoto verticale è caratterizzato, quindi, da una divergenza positiva a sinistra e negativa a destra. Infine determiniamo i punti in cui il grafico della funzione interseca l asse delle ascisse. y f()(^-)/(-) Andrea Prevete spring

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