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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: derivate, grafici e studio di funzione 6 dicembre Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 Indice 1 Derivate Esercizi di carattere teorico Vero o falso Relazione tra aspetti grafici ed analitici Date alcune condizioni, individuare il grafico Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc Dato il grafico, individuare/scegliere un espressione analitica plausibile per f Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della derivata prima e seconda in un punto Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e seconda in un intervallo Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della derivata Elenco delle tabelle 1.1 Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e l andamento della funzione in tale intervallo Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x 0 e la tipologia di punto Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (simili considerazioni possono essere applicate se la funzione, anziché crescere, cala) Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima, derivata seconda

3 2 ELENCO DELLE TABELLE 1.5 Tabella relativa all esercizio 1 della sezione (vedi grafico 1.7(a).)

4 Capitolo 1 Derivate Richiami di teoria Segno delle derivate e grafico della funzione Segno delle derivate in un intervallo La relazione tra il segno delle derivate e l andamento di una funzione in un intervallo, è sintetizzata nella figura 1.1 e nella tabella 1.1. Segno delle derivate in un punto e punti notevoli La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, è sintetizzata nella figura 1.2 e nella tabella 1.2. Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti E possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra funzione, derivata prima e seconda e grafico della funzione. La relazione tra funzione e derivata è sintetizzata nella tabella 1.3. La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate (prima e seconda) è sintetizzata in tabella

5 4 CAPITOLO 1. DERIVATE Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e l andamento della funzione in tale intervallo. sgn f (x) sgn f (x) monotonìa concavità grafico + crescente verso l alto 1.1(a) + 0 crescente nulla (retta) 1.1(b) crescente verso il basso 1.1(c) 0 0 costante nulla (retta) 1.1(d) + decrescente verso l alto 1.1(e) - 0 decrescente nulla (retta) 1.1(f) decrescente verso il basso 1.1(g) 1.1 Esercizi di carattere teorico Vero o falso Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Nel caso in cui un affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio. 1. Se in un punto x = x 0 una funzione è continua, allora sarà derivabile in quel punto. 2. Se in un punto x = x 0 una funzione non è derivabile, allora non sarà continua in quel punto. 3. Per una certa funzione, risulta che f (x 1 ) > f (x 2 ). Allora in x = x 1 la funzione varrà più che in x = x Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo punto non implica che la funzione sia positiva in quel punto. 5. Il grafico della derivata f di una certa funzione f è una retta orizzontale nell intervallo [3, 7]. Allora la funzione f è una retta obliqua in tale intervallo. 6. Il grafico della derivata f di una certa funzione f è una retta obliqua nell intervallo [3, 7]. Allora la funzione f è una retta orizzontale in tale intervallo.

6 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 5 (a) f > 0; f > 0 (b) f > 0; f = 0 (c) f > 0; f < 0 (d) f = 0; f = 0 (e) f < 0; f > 0 (f) f < 0; f = 0 (g) f < 0; f < 0 Figura 1.1: Comportamento di una funzione in un dato punto. 1.2 Relazione tra aspetti grafici ed analitici Date alcune condizioni, individuare il grafico Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo per esclusione, ovvero come segue: Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le varie condizioni Condizione 1: Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva Condizione 2: Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva... per le altre condizioni Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, è quello corretto; altrimenti si passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra....

7 6 CAPITOLO 1. DERIVATE Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x 0 e la tipologia di punto. sgn f (x 0 ) sgn f (x 0 ) tipo punto grafico + / 1.2(a) + 0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.2(b) / 1.2(c) + minimo 1.2(d) 0 0 flesso a tangente orizz. 1.2(e) massimo 1.2(f) + / 1.2(g) - 0 flesso a tangente obliqua discendente 1.2(h) / 1.2(i) Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto La procedura appena proposta è di tipo algoritmico ; con un po di esperienza, è possibile applicarla in modo più flessibile. Esercizio 1 Di una data funzione si sa che: f < 0 in (3, + ); f = 0 in x = 3; f non è derivabile in x = 3. Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.3, rappresenta tale funzione. Esercizio 2 Di una data funzione si sa che:

8 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 7 Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (simili considerazioni possono essere applicate se la funzione, anziché crescere, cala). Funzione f Derivata f è costante cresce poco cresce molto cresce sempre meno cresce di più è una retta obliqua cresce verso asintoto orizzontale cresce verso asintoto obliquo cresce verticalmente vale zero ha valori piccoli ha valori grandi è positiva, ma calante è positiva e crescente è una retta orizzontale tende a zero tende ad asintoto orizzontale ha asintoto verticale Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima, derivata seconda. Funzione f Derivata f Derivata seconda f asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale estremante (min o max) vale zero non zero flesso obliquo non zero vale zero cuspide discontinua continua punto angoloso discontinua discontinua

9 8 CAPITOLO 1. DERIVATE (a) f > 0; f > 0 (b) f > 0; f = 0 (c) f > 0; f < 0 (d) f = 0; f > 0 (e) f = 0; f = 0 (f) f = 0; f < 0 (g) f < 0; f > 0 (h) f < 0; f = 0 (i) f < 0; f < 0 Figura 1.2: Comportamento di una funzione in un dato punto. f > 0 in (, 1) e f < 0 in (1, 2); f è discontinua in x = 4; f (x) = 1 in (4, + ). Stabilire quale, fra i grafici in figura 1.4, rappresenta tale funzione Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile Esercizio 1 Rappresentare graficamente funzioni che soddisfino le condizioni seguenti: f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva e la derivata seconda negativa; f sia negativa in (, 4) e positiva in ( 4, + ) ed inoltre valga f(5) < f( 6)

10 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 9 (a) (b) (c) (d) Figura 1.3: Grafici relativi all esercizio

11 10 CAPITOLO 1. DERIVATE (a) (b) (c) (d) Figura 1.4: Grafici relativi all esercizio

12 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc Esercizio 1 Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Nel punto x = A la funzione ha derivata prima positiva. 2. Nel punto x = A la derivata prima è crescente. 3. Nell intervallo [B, C] la funzione ha derivata seconda positiva. Esercizio 2 Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(b), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. f (0) < 0; 2. f (x) > 0 in (B, + ); 3. f (A) < f (C); 4. x = B è un punto di non derivabilità; 5. x = B è un punto di cuspide; 6. Il grafico di f sarà discontinuo in x = B. Esercizio 3 Facendo riferimento al grafico rappresentato in 1.5(c), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Il grafico di f (x) sarà una retta orizzontale in (A, B); 2. f (x) = 0 in (A, B); 3. f (x) = 0 in (B, + ); 4. f (x) < 0 in (0, A); 5. x = 0 è un punto angoloso.

13 12 CAPITOLO 1. DERIVATE (a) Grafico relativo all esercizio 1 della sezione (b) Grafico relativo all esercizio 2 della sezione (c) Grafico relativo all esercizio 3 della sezione Figura 1.5: Grafici relativi agli esercizi della sezione 1.2.

14 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI Dato il grafico, individuare/scegliere un espressione analitica plausibile per f Esercizio 1 Una data funzione ha il grafico rappresentato in figura 1.6. Stabilire quale fra le seguenti è un espressione plausibile per la derivata di tale funzione: f (x) = x 2 (3 ln x + 1) (1.1) f (x) = 5 ln x (1.2) f (x) = 2 + x 3x 2 (1.3) Figura 1.6: Grafico relativo all esercizio 1 della sezione Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della derivata prima e seconda in un punto Esercizio 1 Si consideri il grafico di funzione riportato in figura 1.7(a). Completare la tabella 1.5 relativa a tale funzione Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e seconda in un intervallo Esercizio 1 Si considerino le figure riportate nel grafico 1.9. Segnare su di essi dei punti ritenuti significativi, indicandoli con x 1, x 2 e così via, e determinare:

15 14 CAPITOLO 1. DERIVATE (a) Grafico relativo all esercizio 1 della sezione (b) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata prima (in arancione). (c) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata seconda (in arancione). Figura 1.7: Grafici relativi all esempio svolto

16 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 15 Tabella 1.5: Tabella relativa all esercizio 1 della sezione (vedi grafico 1.7(a).) sgn f sgn f sgn f tipo punto x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 il segno della derivata prima; il segno della derivata seconda; le coordinate dei massimi e dei minimi; le coordinate dei punti di flesso; i punti di non derivabilità Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della derivata Esempio svolto Consideriamo la funzione rappresentata in figura 1.8(a). Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima 1.8(b) e la funzione insieme con la sua derivata seconda 1.8(c). Vediamo adesso come è possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo. Grafico della derivata prima

17 16 CAPITOLO 1. DERIVATE in (, 0) f decresce in modo (quasi) costante (è all incirca una retta); perciò f ha un valore costante, negativo, pari al coefficiente angolare di tale retta; in x = 0 la funzione comincia a crescere, per cui passeremo bruscamente da una situazione di derivata negativa ad una di derivata positiva; in altre parole, al punto angoloso x = 0 corrisponde una discontinuità nel grafico della derivata prima; in (0, 1) la funzione cresce sempre meno, per cui la derivata è positiva (perché la funzione cresce), ma sempre più piccola (perché cresce sempre meno); in x = 0 la funzione ha un massimo relativo e la derivata vale zero; in [0, 2] la funzione decresce (per cui la derivata sarà negativa) sempre più rapidamente (per cui f assumerà valori sempre più negativi); in x = 2 sia f che f hanno un asintoto verticale; in [2, 3] la funzione decresce ( f < 0) sempre meno (per cui la derivata assume valori sempre meno negativi); in x = 3, f ha un minimo e la derivata vale zero; in [3, + ) la funzione cresce, per cui la derivata è positiva; in particolare f tende ad un asintoto obliquo, per cui la sua derivata tenderà ad un asintoto orizzontale. Grafico della derivata seconda Esercizio 1 in (, 2), f volge la concavità verso il basso, per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all incirca costante fino a x = 1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero; in x = 2, f (x) ha un asintoto verticale, così come f e f ; in [2, + ), f volge la concavità verso l alto, per cui f > 0; in particolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte in precedenza. Stesso esercizio dell esempio svolto, in relazione ai grafici riportati in figura 1.9.

18 1.2. RELAZIONE TRA ASPETTI GRAFICI ED ANALITICI 17 (a) Grafico della funzione f(x) = 1 x 2 + x. (b) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata prima (in arancione). (c) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata seconda (in arancione). Figura 1.8: Grafici relativi all esempio svolto

19 18 CAPITOLO 1. DERIVATE (a) (b) (c) Figura 1.9: Grafici relativi agli esercizi e